河北省唐山市迁安第二高级中学高二数学理下学期期末试题含解析

河北省唐山市迁安第二高级中学高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图所示，AB为⊙O直径，CD切⊙O于D，AB延长线交CD于点C， 若∠CAD＝25°，则∠C为 A．45°          B．40°        C．35°           D．30° 参考答案： B 2. 设f（x）是可导函数，且，则f′（x0）=（　　） A． B．﹣1 C．0 D．﹣2 参考答案： B 【考点】6F：极限及其运算． 【分析】由导数的概念知f′（x0）=，由此结合题设条件能够导出f′（x0）的值． 【解答】解：∵， ∴f′（x0）= =﹣×． 故选B． 3. 下列语句中：①     ②    ③    ④  ⑤ ⑥ 其中是赋值语句的个数为（   ） A．6             B．5              C．4              D．3 参考答案： C 4. 已知P：不等式恒成立，Q：指数函数为增函数，则P是Q的（  ） A．充分不必要条件                   B．必要不充分条件 C．充分必要条件                     D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 5. 设函数f（x）=（x＞0），观察： f1（x）=f（x）=， f2（x）=f（f1（x））=， f3（x）=f（f2（x））=， f4（x）=f（f3（x））=， … 根据以上事实，由归纳推理可得： 当n∈N*且n≥2时，fn（x）=f（fn﹣1（x））=　_________　． 参考答案： 略 6. 已知随机变量服从正态分布，且，（    ）．    A． B． C． D． 参考答案： C ∵， ∴， 由随机变量服从正态分布知， 正态曲线关于对称， ∴， ． 故选． 7. 如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是(     ) A．①﹣分析法，②﹣综合法 B．①﹣综合法，②﹣分析法 C．①﹣综合法，②﹣反证法 D．①﹣分析法，②﹣反证法 参考答案： B 考点：分析法和综合法． 专题：证明题；推理和证明． 分析：根据综合法和分析法的定义，可知由已知到可知进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，进而得到答案． 解答： 解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图： ∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法， 由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法， 故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①﹣综合法，②﹣分析法， 故选：B． 点评：本题以结构图为载体，考查了证明方法的定义，正确理解综合法和分析法的定义，是解答的关键． 8. 函数在区间上的最大值为（   ） A. 2 B. C. D. 参考答案： D 【分析】 求出导函数，利用导数确定函数的单调性，从而可确定最大值． 【详解】， 当时，；时，， ∴已知函数在上是增函数，在上是减函数，. 故选D． 【点睛】本题考查用导数求函数的最值．解题时先求出函数的导函数，由导函数的正负确定函数　的增减，从而确定最值，在闭区间的最值有时可能在区间的端点处取得，要注意比较． 9. 如图，棱长为1的正方体ABCD - A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不含端点），则下列结论错误的是 A. 平面平面 B. 的取值范围是（0，] C. 的体积为定值 D. 参考答案： B 【分析】 根据线面位置关系进行判断． 【详解】∵平面，∴平面平面，A正确； 若是上靠近的一个四等分点，可证此时为钝角，B错； 由于，则平面，因此的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，C正确； 在平面上的射影是直线，而，因此，D正确． 故选B． 【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，考查面面垂直、线面平行的判定，考查三垂线定理等，所用知识较多，属于中档题． 10. 已知，函数,则（   ） A. B. C. D. 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若x，y满足约束条件，则z=3x+3y的最大值为　　． 参考答案： 6 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 化目标函数z=3x+3y为， 由图可知，当直线与线段BC所在直线重合时，直线在y轴上的截距最大， 此时z有最大值为3×0+3×2=6． 故答案为：6． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 12. （5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x（万元） 4 2 3 5 销售额y（万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为　_________　． 参考答案： 65.5 13. 设点是椭圆与圆的一个交点，分别是椭圆的左、右焦点，且，则椭圆的离心率为             ． 参考答案： 14. 已知正整数满足，使得取最小值时，实数对(是            参考答案： (5，10） 15. 已知直线： ax+by=1（其中a，b是实数） 与圆：x2+y2=1（O是坐标原点）相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P（a，b）是以点M（0，1）为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积最小值为　　． 参考答案： （3﹣2）π 【考点】直线与圆相交的性质． 【分析】根据圆的方程找出圆心坐标和半径，由|OA|=|OB|根据题意可知△AOB是等腰直角三角形，根据勾股定理求出|AB|的长度，根据等腰直角三角形的性质可得圆心到直线的距离等于|AB|的一半，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，两者相等即可得到a与b的轨迹方程为一个椭圆，圆M的面积最小时，所求半径为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0，1）的距离最小值，即可得出结论． 【解答】解：由圆x2+y2=1，所以圆心（0，0），半径为1 所以|OA|=|OB|=1，则△AOB是等腰直角三角形，得到|AB|= 则圆心（0，0）到直线ax+by=1的距离为， 所以2a2+b2=2，即a2+=1． 因此，圆M的面积最小时，所求半径为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0，1）的距离最小值，由椭圆的性质，可知最小值为﹣1． 所以圆M的面积最小值为π（﹣1）2=（3﹣2）π． 故答案为：（3﹣2）π． 16. 已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则x y =___________。 参考答案： —2 略 17. 已知椭圆，焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，则=            。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）据报道，某市大学城今年4月份曾发生流感，据资料统计，4月1日，该大学城新的流感病毒感染者有4人，此后，每天新感染病毒的患者的人数平均比前一天新感染病毒的患者的人数多4人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天新感染病毒的患者的人数平均比前一天的新感染病毒的患者的人数减少2人，到4月30日止，该大学城在这30天内感染该病毒的患者总共有600人.问4月几日，该大学城感染此病毒的新患者(当天感染者)人数最多？并求出这一天的新患者的人数. 参考答案： 设4月n号时新患者的人数最多,第i天的新患者的人数为ai人，依题意有: 得：解得：n=10 此时an=40   答4月10号时新感染的患者的人数最多，有40人. 19. 某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下：   第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲的成绩 82 87 86 80 90 乙的成绩 75 90 91 74 95 （Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由； （Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率． 参考答案： 【考点】极差、方差与标准差． 【专题】概率与统计． 【分析】（Ⅰ）解法一：求出，答案一：从稳定性角度选甲合适． （注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适． 答案二：通过乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．） 解法二：求出甲摸底考试成绩不低于90的概率，乙摸底考试成绩不低于90的概率，然后决定选谁合适． （Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．列出这5次摸底考试中任意选取2次所有情况．恰有一次摸底考试两人“水平相当”的情况个数然后求出概率． 【解答】解：（Ⅰ）解法一： 依题意有， 答案一：∵∴从稳定性角度选甲合适． （注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适． 答案二：∵乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适． 解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为； 乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为． 所以选乙合适． （Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b． 从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况． 恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况． ∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率． 【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想． 20. (本小题满分12分）已知点M在椭圆 上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为 P′，并且M为线段PP′的中点，求点P的轨迹方程. 参考答案： 21. 已知直线l的参数方程为（t为参数），在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，若极坐标系内异于O的三点，，都在曲线C上. （1）求证：； （2）若l过B，C两点，求四边形OBAC的面积 参考答案： (1)见证明；(2) 【分析】 （1），，代入曲线C结合三角变换求解即可；（2）联立方程得或,求得坐标，则面积可求 【详解】（1）证明，，都在曲线C上     结论成立 （2）直线l的极坐标方程为 ,或,， 【点睛】本题考查极坐标方程的应用，考查几何意义，准确计算是关键，是中档题 22. 已知函数。（12分） (1)若的单调减区间是,求实数的值; (2)若函数在区间上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围； (3)是函数的两个极值点,。求证：对任意的，不等式恒成立． 参考答案： (1) 由题得, 要使的单调减区