湖北省武汉市重点示范中学高二数学理联考试卷含解析

湖北省武汉市重点示范中学高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知α，β，γ是不重合平面，a，b是不重合的直线，下列说法正确的是                 (　　) A．“若a∥b，a⊥α，则b⊥α”是随机事件 B．“若a∥b，a?α，则b∥α”是必然事件 C．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件 D．“若a⊥α，a∩b＝P，则b⊥α”是不可能事件 参考答案： D ∵若b⊥α，又a⊥α，则必有a∥b，与a∩b＝P矛盾。 2. 设数列｛an｝和｛bn｝都是等差数列，其中a1＝25，b1＝75，且a100＋b100＝100，则数列｛an＋bn｝的前100项之和是(     ) A.1000             B.10000            C.1100                 D.11000 参考答案： B 3. 如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为(　　)  A．20      B．30    C．40      D．50 参考答案： C 略 4. 已知等差数列满足，，则前n项和取最大值时，n的值为 A.20            B.21             C.22             D.23 参考答案： B 略 5. 已知点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线l：3x+2y﹣8=0的异侧，则（　　） A．3x0+2y0＞0 B．3x0+2y0＜0 C．3x0+2y0＜8 D．3x0+2y0＞8 参考答案： D 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域． 【分析】根据点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线l：3x+2y﹣8=0的异侧结合二元一次不等式（组）与平面区域可知，将两点的坐标代入直线方程式的左式，得到的值符号相反． 【解答】解：将点的坐标代入直线的方程，得： 3x0+2y0﹣8；3×1+2×2﹣8， ∵点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线l：3x+2y﹣8=0的异侧， ∴（3x0+2y0﹣8）（3×1+2×2﹣8）＜0， 即：3x0+2y0﹣8＞0 故选D． 6. 学校为了了解高二年级教学情况，对全省班、实验班、普通班、中加班的学生做分层抽样调查．假设我校高二年级总人数为N，其中全省班有学生96人．若在全省班、实验班、普通班、中加班抽取的人数分别为12,21,25,43，则总人数N为 (　　) A．801； B．808； C．853； D．912. 参考答案： B 7. 已知可导函数的导函数为,且满足：①,② ,记,则的大小顺序为(   ) A. B. C. D.  参考答案： C 略 8. 等差数列{an}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则其前13项和为（　　） A．13 B．26 C．52 D．156 参考答案： B 【考点】等差数列的性质． 【分析】由已知，根据通项公式，能求出a7=2，S13运用求和公式能得出S13=13a7，问题解决． 【解答】解：∵2（a1+a1+3d+a1+6d）+3（a1+8d+a1+10d） =2（3a1+9d）+3（2a1+18d） =12a1+72d=24， ∴a1+6d=2， 即a7=2 S13===2×13=26 故选B 【点评】本题考查等差数列的通项公式，前项和公式，注意简单性质的灵活运用． 9. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是         A．若，则          B．若，则 C．若，则             D．若，则 参考答案： B 10. 一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m时，则水面宽为（　　） A． m B．2m C．4.5m D．9m 参考答案： B 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2Py（P＞0），由题意知抛物线过点（2，﹣2），进而求得p，得到抛物线的标准方程．进而可知当y0=﹣3时x02的值，最后根据水面宽为2|x0|求得答案． 【解答】解：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2Py（P＞0），由题意知，抛物线过点（2，﹣2）， ∴4=2p×2．∴p=1．∴x2=﹣2y． 当y0=﹣3时，得x02=6． ∴水面宽为2|x0|=2． 【点评】本题主要考查了抛物线的性质．属基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，，满足的等量关系是___________ 参考答案： 12. 已知函数f（x）=e2x+x2，则f'（0）=　 　． 参考答案： 2 【考点】函数的值． 【分析】先求出f′（x）=2e2x+2x，由此能求出f'（0）． 【解答】解：∵函数f（x）=e2x+x2， ∴f′（x）=2e2x+2x， ∴f'（0）=2e2×0+2×0=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查导数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用． 　 13. 在极坐标系中,过点A（,）引圆的一条切线,则切线长          . 参考答案： 14. 设点满足，则的最大值为        . 参考答案： 10 略 15. 已知F1、F2为椭圆的左右焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若，则= _____________ 参考答案： 7 16. 若行列式中第一行第二列元素的代数余子式的值为4，则a=　   　． 参考答案： 2 【考点】二阶行列式的定义． 【分析】本题直接根据行列式的代数余子式的定义进行计算，即可得到本题结论． 【解答】解：∵行列式中第一行第二列元素的代数余子式的值为4， ∴﹣=4， ∴﹣（a﹣3a）=4， ∴a=2． 故答案为：2． 17. 直线在轴上的截距为__________． 参考答案： 令，解得， 故直线在轴上的截距为． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）已知命题p:；命题q:不等式恒成立. ①若命题q为真命题，求实数的取值范围; ②若命题”p且q”为真命题，求实数的取值范围. 参考答案：   ②命题”p且q”为真命题， …………………………………………………………………12分 实数的取值范围为……………………………………………14分 19. 设实数x,y满足不等式组，求的最小值. 参考答案： 解：根据图象解得， 20. 已知命题p:关于x的不等式对一切恒成立，q:函数是增函数，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数的取值范围． 参考答案： 解：由关于x的不等式对一切恒成立，得          ∴         —————4分        函数是增函数，得           ∴                    —————8分 如果p真且q假，则，此不等式组无解；—————10分 如果p假且 q真，则，解得————————13分 所以实数a的取值范围为     ————————————14分 略 21. (本小题满分12分)  如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2， M、N分别是A1B1、A1A的中点.      （1）求的长；    （2）求cos< >的值；（3）求证：A1B⊥C1M. 参考答案： 如图，建立空间直角坐标系O—xyz. （1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1） ∴| |=. （2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2） ∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}， ·=3，||=，||= ∴cos<，>=. （3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}， ={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥， ∴A1B⊥C1M. 22. 小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示． （Ⅰ）根据图中的数据信息，求出众数x1和中位数x2（精确到整数分钟）； （Ⅱ）小明的父亲上班离家的时间y在上午7：00至7：30之间，而送报人每天在x1时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A）的概率． 参考答案： 【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图． 【专题】概率与统计． 【分析】（Ⅰ）众数为出现频率最高的数，体现在直方图中应为最高矩形所在区间两端点的中点，中位数是从小到大排列中间位置的数，在直方图中其两边的小矩形面积相等， （Ⅱ）考查几何概型，条件中已有父亲上班离家的时间y，再设报纸送达时间为x，关于两个变量的不等式围成平面区域内的点为所有可能，收到报纸即报纸送到时间早于父亲上班时间即想x≤y，围成平面区域为梯形，利用几何概型转化为面积之比求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）众数最高矩形所在区间的中点，则x1=7：00 由频率分布直方图可知6：50＜x2＜7：10即410＜x2＜430 ∴20×0.0033+20×0.0117+（x2﹣410）×0.0233 =20×0.0100+20×0.0017+（430﹣x2）×0.0233   解得x2=6：59， （Ⅱ）设报纸送达时间为x，则小明父亲上班前能取到报纸等价于，如图 所求概率为P=1﹣= 【点评】本题（Ⅰ）考查在丢失原始数据的情况下利用直方图求解一些数据，尤其是众数，中位数和平均数，要理解并记忆，（Ⅱ）概率不是古典概型就是几何概型，事件可一一列举多位古典概型，否则为几何概型，设报纸送达时间为x，关于x、y的二元一次不等式组对应平面区域，转化为几何概型，求面积之比．