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2022年天津北辰区体育中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 命题“”的否定是
(A)对 (B)不存在
(C)对 (D)
参考答案:
A
2. 已知函数,若对区间[0,1]内的任意实数,都有成立,则实数a的取值范围是( )
A. [1,2] B. [e,4] C.[1,2)∪[e,4] D. [1,4]
参考答案:
D
对任意实数,都有,则,,分类讨论:①时,恒成立,在单调递减, .②时,恒成立,在单调递增, ③时,在单调递增,单调递减,
(Ⅰ)即时,
(Ⅱ)即时,
令恒成立,在恒成立,,综上可得,实数的取值范围是,故选D.
3. 如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为BD1的中点,则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是( )
A.①④ B.②③ C.②④ D.①②
参考答案:
A
【考点】平行投影及平行投影作图法.
【分析】由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影,首先确定关键点P、A在各个面上的投影,再把它们连接起来,即,△PAC在该正方体各个面上的射影.
【解答】解:从上下方向上看,△PAC的投影为①图所示的情况;
从左右方向上看,△PAC的投影为④图所示的情况;
从前后方向上看,△PAC的投影为④图所示的情况;
故选A.
【点评】本题主要考查了平行投影和空间想象能力,关键是确定投影图得关键点,如顶点等,再一次连接即可得在平面上的投影图,主要依据平行投影的含义和空间想象来完成.
4. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作两条相互垂直的射线,分别与抛物线相交于点M,N,过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线PQ,垂足为Q,则的最大值为( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
A
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】设|MF|=a,|NF|=b,由抛物线定义,2|PQ|=a+b.再由勾股定理可得|MN|2=a2+b2,进而根据基本不等式,求得|MN|的范围,即可得到答案.
【解答】解:设|MF|=a,|NF|=b.
由抛物线定义,结合梯形中位线定理可得2|PQ|=a+b,
由勾股定理得,|MN|2=a2+b2配方得,
|MN|2=(a+b)2﹣2ab,
又ab≤,
∴(a+b)2﹣2ab≥(a+b)2﹣2,
得到|MN|≥(a+b).
∴≤=,即的最大值为.
故选A.
5. 已知直线l1:和l2:互相平行,则实数m=
A. m=-1或3 B. m=-1
C. m=-3 D. m=1或m=-3
参考答案:
A
由题意得: ,选A.
6. 抛物线y=2x2的准线方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】先将抛物线方程化为标准形式,再根据抛物线的性质求出其准线方程即可.
【解答】解:抛物线的方程可变为x2=y
故p=,
其准线方程为y=﹣,
故选:D
7. 函数的图象大致为
A. B.
C. D.
参考答案:
D
【分析】
根据题中表达式得到当时,分母趋向于0,分子趋向于4,整个分式趋向于,故排除BC,当时,分母趋向于0,但是小于0,分子趋向于4,整个分式趋向于,故排除A.进而得到选项.
【详解】根据题干中的表达式得到x不能等于2,故图中必有渐近线,x=2或-2,当时,分母趋向于0,分子趋向于4,整个分式趋向于,故排除BC,当时,分母趋向于0,但是小于0,分子趋向于4,整个分式趋向于,故排除A.
故答案为:D.
【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像,这类题目通常是从表达式入手,通过表达式得到函数的定义域,值域,奇偶性,等来排除部分选项,或者寻找函数的极限值,也可以排除选项.
8. 已知集合,,则P∩Q=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
首先解出集合中的不等式,再和集合求交集即可
【详解】由题意得所以,所以选择B
【点睛】本题主要考查了集合中交集的运算,属于基础题。
9.
A B C D
参考答案:
A
略
10. 若圆心坐标为(2,-1)的圆在直线上截得的弦长为,则这个圆的方程是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列的通项公式为,则其前n项和
参考答案:
略
12. 设函数f(x)=ax3﹣3x+1(x∈R),若对于任意的x∈[﹣1,1]都有f(x)≥0成立,则实数a的值为 .
参考答案:
4
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】先求出f′(x)=0时x的值,进而讨论函数的增减性得到f(x)的最小值,对于任意的x∈[﹣1,1]都有f(x)≥0成立,可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围.
【解答】解:由题意,f′(x)=3ax2﹣3,
当a≤0时3ax2﹣3<0,函数是减函数,f(0)=1,只需f(1)≥0即可,解得a≥2,与已知矛盾,
当a>0时,令f′(x)=3ax2﹣3=0解得x=±,
①当x<﹣时,f′(x)>0,f(x)为递增函数,
②当﹣<x<时,f′(x)<0,f(x)为递减函数,
③当x>时,f(x)为递增函数.
所以f()≥0,且f(﹣1)≥0,且f(1)≥0即可
由f()≥0,即a?﹣3?+1≥0,解得a≥4,
由f(﹣1)≥0,可得a≤4,
由f(1)≥0解得2≤a≤4,
综上a=4为所求.
故答案为:4.
13. 函数f (x)=ex+3x的零点个数是 .
参考答案:
1
14. 已知函数f(x)=,则f′(1)= .
参考答案:
考点: 导数的运算.
专题: 导数的概念及应用.
分析: 首先对函数求导,然后代入1计算导数值.
解答: 解:由已知f′(x)=()′=(x﹣1+)′=1﹣,
所以f′(1)=1﹣=1﹣=;
故答案为:.
点评: 本题考查了导数的求法以及求导数值;关键是熟练掌握导数公式,正确运用.
15. 把53名同学分成若干小组,使每组至少一人,且任意两组的人数不等,则最多分成 个小组.
参考答案:
9
∵,
又,
∴,
即将8个人从第二组开始每组分1人,从而得到第一组1人,第二组3人,第三组4人,……,第九组10人,由此可得至多可以分为9个组.
16. =(2x,1,3),=(1,﹣2y,9),如果与为共线向量,则x+y= .
参考答案:
【考点】共线向量与共面向量.
【分析】利用向量共线的充要条件即可求出.
【解答】解:∵与为共线向量,∴存在实数λ使得,
∴解得,∴.
故答案为.
17. 若(2x-1)8=a8x8+a7x7+……+a1x+a0,则a8+a6+a4+a2=_________________.
参考答案:
3280
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13分)某公司准备进行两种组合投资,稳健型组合投资是由每份金融投资20万元,房地产投资30万元组成;进取型组合投资是由每份金融投资40万元,房地产投资30万元组成。已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元,每份进取型组合投资每年可获利15万元。若可作投资用的资金中,金融投资不超过160万元,房地产投资不超过180万元,求这两种组合投资应注入多少份,才能使一年获利总额最多?
参考答案:
设稳健型组合投资与进取型组合投资分别注入x,y份,
则,目标函数z=10x+15y,
作出可行域,得最优解为x=4,y=2,∴=70万元.
19. 已知
(1)求展开式中各项系数和;(2)二项式系数最大的项.
(3)求展开式中含的项;(4)求展开式中系数最大的项
参考答案:
(1)取得各项系数和为=1………………………………3分
(2) 由知第5项二项式系数最大,此时…………………………7分
(3)由通项公式
令.故展开式中含的项为…….11分
(3)设展开式中第的系数的绝对值最大.则解得
且 所以………………………………….13分
又的系数为负,所以系数最大的项为……………………………….15分
20. (本小题满分12分)已知点是圆上的动点,
(1)求的取值范围;
(2)若恒成立,求实数的取值范围。
参考答案:
解:(1)设圆的参数方程为,………………………2分
………………………4分
………………………6分
(2)………………………8分
…………10
略
21. 甲、乙两台机床生产同一型号零件.记生产的零件的尺寸为(cm),相关行业质检部门规定:若,则该零件为优等品;若,则该零件为中等品;其余零件为次品.现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取50件,经质量检测得到下表数据:
尺寸
甲零件频数
2
3
20
20
4
1
乙零件频数
3
5
17
13
8
4
(Ⅰ)设生产每件产品的利润为:优等品3元,中等品1元,次品亏本1元. 若将频率视为概率,试根据样本估计总体的思想,估算甲机床生产一件零件的利润的数学期望;
(Ⅱ)对于这两台机床生产的零件,在排除其它因素影响的情况下,试根据样本估计总体的思想,估计约有多大的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”,并说明理由.
参考公式:.
参考数据:
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
参考答案:
解:(Ⅰ)设甲机床生产一件零件获得的利润为元,它的分布列为
3
1
0.8
0.14
0.06
…………3分
则有=3×0.8+1×0.14+(-1)×0.06=2.48(元).
所以,甲机床生产一件零件的利润的数学期望为2.48元. …………6分
(Ⅱ)由表中数据得:甲机床优等品40个,非优等品10个;乙机床优等品30个,非优等品20
个.制作2×2列联表如下:
甲机床
乙机床
合计
优等品
40
30
70
非优等品
10
20
30
合计
50
50
100
…………9分
假设零件优等与否和所用机床无关
计算=. ………………11分
考察参考数据并注意到,可知:对于这两台机床生产的零件,在排除其它因素影响的情况下,根据样本估计总体的思想,约有95%的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”. ………………13分
略
22. 已知圆C:x2+y2+2x﹣3=0.
(1)求圆的圆心C的坐标和半径长;
(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合,l与圆C相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,求证:为定值;
(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点,求直线m的方程,使△CDE的面积最大.
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(1)把圆C的方程化为标准方程,写出圆心和半径;
(2)设出直线l的方程,与圆C的方程组成方程组,消去y得关于x的一元二次方程,由根与系数的关系求出的值;
(
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