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四川省广安市西溪中学高二数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 假设关于某设备的使用年限(年)和所支出的费用(万元),有如下表所示的统计资料:
2
3
4
5
6
2.2
3.8
6.5
7.0
根据上表提供的数据,求出了关于的线性回归方程为,那么统计表中的值为( )
A. 5.5 B. 5.0 C. 4.5 D. 4.8
参考答案:
A
2. 频率分布直方图中,小长方形的面积等于( )
A.相应各组的频数 B.相应各组的频率 C.组数 D.组距
参考答案:
B
略
3. 在上定义运算:.若不等式对任意实数成立,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 用数学归纳法证明不等式成立,其的初始值至少应为 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
参考答案:
B
5. 已知点(m,n)在直线上,则的最小值为( )
A.1 B. 2 C. D. 4
参考答案:
D
略
6. 若a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式一定成立的是( )
A.a+c≥b﹣c B.ac>bc C.>0 D.(a﹣b)c2≥0
参考答案:
D
【考点】两角和与差的正弦函数;正弦定理.
【专题】计算题.
【分析】A、令a=﹣1,b=﹣2,c=﹣3,计算出a+c与b﹣c的值,显然不成立;
B、当c=0时,显然不成立;
C、当c=0时,显然不成立;
D、由a大于b,得到a﹣b大于0,而c2为非负数,即可判断此选项一定成立.
【解答】解:A、当a=﹣1,b=﹣2,c=﹣3时,a+c=﹣4,b﹣c=1,显然不成立,本选项不一定成立;
B、c=0时,ac=bc,本选项不一定成立;
C、c=0时, =0,本选项不一定成立;
D、∵a﹣b>0,∴(a﹣b)2>0,
又c2≥0,∴(a﹣b)2c≥0,本选项一定成立,
故选D
【点评】此题考查了不等式的性质,利用了反例的方法,是一道基本题型.
7. 已知圆的半径为2,圆心在轴的正半轴上,且与直线相切,
则圆的方程是
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
8. 从1,2,3,5这四个数中,随机抽取3个不同的数,则这3个数的和为奇数的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计.
【分析】先求出基本事件总数,再求出这3个数的和为奇数包含的基本事件个数,由此能求出这3个数的和为奇数的概率.
【解答】解:从1,2,3,5这四个数中,随机抽取3个不同的数,
基本事件总数n==4,
这3个数的和为奇数包含的基本事件个数m==1,
∴这3个数的和为奇数的概率p==.
故选:A.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.
9. 由曲线,围成的封闭图形的面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
试题分析:由解得=0或=1,所以由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为==,故选A.
10. 下列不等式一定成立的是
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知直线y=x+1与曲线相切,则α的值为
参考答案:
2
解:设切点,则,又
.
12. 已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|= .
参考答案:
6
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】计算题;方程思想;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标,求出椭圆的半长轴,然后求解抛物线的准线方程,求出A,B坐标,则|AB|可求.
【解答】解:椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点(c,0)与抛物线C:y2=8x的焦点(2,0)重合,
可得c=2,a=4,b2=12,椭圆的标准方程为:,
抛物线的准线方程为:x=﹣2,
联立,解得y=±3,
∴A(﹣2,3),B(﹣2,﹣3).
则|AB|=3﹣(﹣3)=6.
故答案为:6.
【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用,考查计算能力,是基础题.
13. 抛物线x2+y=0的焦点坐标为 .
参考答案:
(0,﹣)
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】先把抛物线的方程化为标准形式,再利用抛物线 x2=﹣2py 的焦点坐标为(0,﹣),求出抛物线x2+y=0的焦点坐标.
【解答】解:∵抛物线x2+y=0,即x2=﹣y,∴p=, =,
∴焦点坐标是 (0,﹣),
故答案为:(0,﹣).
14. 空间直角坐标系中两点A(0,0,1),B(0,1,0),则线段AB的长度为 .
参考答案:
【考点】空间两点间的距离公式.
【专题】计算题;空间位置关系与距离.
【分析】根据空间两点之间的距离公式,将A、B两点坐标直接代入,可得本题答案.
【解答】解:∵点A(0,0,1),点B(0,1,0),
∴根据空间两点之间的距离公式,可得
线段AB长|AB|==
故答案为:
【点评】本题给出空间两个定点,求它们之间的距离,着重考查了空间两点之间距离求法的知识,属于基础题.
15. 如果a>0,那么a++2的最小值是 .
参考答案:
4
【考点】基本不等式.
【分析】利用基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵a>0,
∴a++2≥2+2=4,当且仅当a=1时取等号.
∴a++2的最小值是4.
故答案为:4.
16. 若某同学把英语单词“”的字母顺序写错了,则可能出现的错误写法共有 _______________种(以数字作答).
参考答案:
359
略
17. 定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足:①当x∈[1,2)时,;②?x∈[0,+∞)都有f(2x)=2f(x).设关于x的函数F(x)=f(x)﹣a的零点从小到大依次为x1,x2,x3,…xn,…,若,则x1+x2+…+x2n= .
参考答案:
6×(2n﹣1)
【考点】数列与函数的综合;函数零点的判定定理.
【分析】利用已知当x∈[1,2)时,;?x∈[0,+∞)都有f(2x)=2f(x).可得当x∈[2,4)时的解析式,同理,当x∈[4,8)时,f(x)的解析式,分别作出y=f(x),y=a,则F(x)=f(x)﹣a在区间(2,3)和(3,4)上各有一个零点,分别为x1,x2,且满足x1+x2=2×3,依此类推:x3+x4=2×6,…,x2013+x2014=2×3×2n﹣1.利用等比数列的前n项和公式即可得出.
【解答】解:∵①当x∈[1,2)时,;②?x∈[0,+∞)都有f(2x)=2f(x).
当x∈[2,4)时,∈[1,2),
f(x)=2f(x)=2(﹣|﹣|)=1﹣|x﹣3|,x∈[4,8)时,∈[2,4),
f(x)=2f(x)=2(1﹣|x﹣3|)=2﹣|x﹣6|,
同理,则,F(x)=f(x)﹣a在区间(2,3)和(3,4)上各有1个零点,分别为x1,x2,且满足x1+x2=2×3=6,
依此类推:x3+x4=2×6=12,x5+x6=2×12=24…,x2n﹣1+x2n=2×3×2n﹣1.
∴当时,x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=6×(1+2+22+…+2n﹣1)=6×=6×(2n﹣1),
故答案为:6×(2n﹣1).
【点评】本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能,属于难题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,B=45°,AC=,cosC=,求BC的长.
参考答案:
【考点】余弦定理;正弦定理.
【专题】解三角形.
【分析】如图所示,过A作AD⊥BC,可得出三角形ABD为等腰直角三角形,即AD=BD,在直角三角形ADC中,由cosC的值求出sinC的值,利用正弦定理求出AD的长,进而利用勾股定理求出DC的长,由BD+DC即可求出BC的长.
【解答】解:如图所示,过A作AD⊥BC,
在Rt△ABD中,B=45°,
∴△ABD为等腰直角三角形,即AD=BD,
在Rt△ADC中,cosC=,
∴sinC==,
由正弦定理=,即AD==,
利用勾股定理得:DC==2,
则BC=BD+DC=AD+DC=3.
【点评】此题考查了正弦定理,同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理是解本题的关键.
19. (本题9分) 已知函数,是的导函数
(1)求函数的最小正周期;
(2)若,求的值.
参考答案:
解:(1)
(2)
略
20. (12分)在锐角中,角所对的边分别为,已知,(1)、求的值; (2)、若,,求的值.
参考答案:
解:(1)、 (2)、,则 将,,代入余弦定理:中
得解得b=
21. 已知圆N经过点A(3,1),B(﹣1,3),且它的圆心在直线3x﹣y﹣2=0上.
(Ⅰ)求圆N的方程;
(Ⅱ)求圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程.
(Ⅲ)若点D为圆N上任意一点,且点C(3,0),求线段CD的中点M的轨迹方程.
参考答案:
【考点】轨迹方程;直线与圆的位置关系.
【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆.
【分析】(Ⅰ)首先设出方程,将点坐标代入得到关于参数的方程组,通过解方程组得到参数值,从而确定其方程;
(Ⅱ)求出N(2,4)关于x﹣y+3=0的对称点为(1,5),即可得到圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程;
(Ⅲ)首先设出点M的坐标,利用中点得到点D坐标,代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程.
【解答】解:(Ⅰ)由已知可设圆心N(a,3a﹣2),又由已知得|NA|=|NB|,
从而有,解得:a=2.
于是圆N的圆心N(2,4),半径.
所以,圆N的方程为(x﹣2)2+(y﹣4)2=10.(5分)
(Ⅱ)N(2,4)关于x﹣y+3=0的对称点为(1,5),
所以圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣5)2=10(9分)
(Ⅲ)设M(x,y),D(x1,y1),则由C(3,0)及M为线段CD的中点得:,解得:.
又点D在圆N:(x﹣2)2+(y﹣4)2=10上,所以有(2x﹣3﹣2)2+(2y﹣4)2=10,
化简得:.
故所求的轨迹方程为.(13分)
【点评】本题考查圆的方程,考查参数法,圆的方程一般采用待定系数法,属于中档题.
22. 已知z∈C,|1﹣z|+z=10﹣3i,若z2+mz+n=1﹣3i.
(1)求z;
(2)求实数m,n的值.
参考答案:
【考点】复数求模;复数代数形式的混合运算.
【分析】(1)设z=a+bi(a,b∈R),代入|1﹣z|+z=10﹣3i,整理后由复数相等的条件列
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