陕西省西安市特立中学高三数学理下学期期末试题含解析

陕西省西安市特立中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知全集，集合，， 则?U（A∪B）＝ （　　） A．（－∞，1）  B．（1，＋∞）  C．（－∞，1]  D．[1，＋∞） 参考答案： B 略 2. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A）．         （B）． （C）．      （D）． 参考答案： B 3. 6个人排成一排，其中甲、乙两人中间至少有一人的排法有（　　） A．480种 B．720种 C．240种 D．360种 参考答案： A 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题． 【分析】所有的排法共有种，其中甲乙二人相邻的排法有? 种，相减即得甲、乙两人中间至少有一人的排法． 【解答】解：所有的排法共有=720种，其中甲乙二人相邻的排法有?=240种，故甲、乙两人中间至少有一人的排法有 720﹣240=480种， 故选A． 【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，相邻的问题用捆绑法，属于中档题． 4. 将函数y=cos（2x+）的图象向左平移个单位后，得到f（x）的图象，则（　　） A．f（x）=﹣sin 2x B．f（x）的图象关于x=﹣对称 C．f（）= D．f（x）的图象关于（1，0）对称 参考答案： B 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】利用诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式，再利用正弦函数、余弦函数的图象和性质，得出结论． 【解答】解：将函数y=cos（2x+）的图象向左平移个单位后， 得到f（x）=cos[2（x+）+]=cos（2x+）=﹣sin（2x+）的图象，故排除A； 当x=﹣时，f（x）=1，为函数的最大值，故f（x）的图象关于x=﹣对称，故B正确； 由于f（）=﹣2sin=﹣2sin=﹣1，故排除C； 当x=1时，f（x）=﹣sin（2+）≠0，故D错误， 故选：B． 【点评】本题主要考查诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于基础题． 5. 在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，则在方向上的投影为(     ) A．        B．        C．1        D．2 参考答案： C 试题分析：根据条件可判断△ABC为正三角形，利用投影为公式计算． 试题解析：解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°， ∴∠B=60°， ∴△ABC为正三角形， ∴？=2×2cos60°=2 ∴在方向上的投影为==1， 故选：C 考点：平面向量数量积的含义与物理意义． 点评：本题考查了平面向量的数量积的运算，及应用，属于容易题． 6. 命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是 A.若α≠，则tanα≠1   B. 若α=，则tanα≠1 C. 若tanα≠1，则α≠  D. 若tanα≠1，则α= 参考答案： C 因为“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以 “若α=，则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠”. 7. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（    ） 参考答案： A 8. 在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（　　） A．7.5 B．7 C．6 D．5 参考答案： D 【考点】正弦定理． 【分析】由已知利用余弦定理可求c的值，进而可得周长的值． 【解答】解：∵bcosA+acosB=c2，a=b=2， ∴由余弦定理可得：b×+a×=c2，整理可得：2c2=2c3， ∴解得：c=1，则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5． 故选：D． 9. 设集合若，则的范围是(     ) （A）    （B）     （C）    （D） 参考答案： B 10. 已知向量是与单位向量夹角为的任意向量，则对任意的正实数，的最小值是（    ） A．0    B．   C．   D．1 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设P是曲线为参数）上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹的普通方程为_____． 参考答案： 【分析】 由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1，设P（x0，y0），M（x，y），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程． 【详解】曲线（θ为参数），即有 ， 由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1， 设P（x0，y0），M（x，y）， 可得 ，代入曲线方程，可得 2x02﹣y02＝1，即为2（2x）2﹣（2y）2＝1， 即为8x2﹣4y2＝1． 故答案为：8x2﹣4y2＝1． 【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题． 12. 已知函数，若存在，当时，，则的最小值为　           　． 参考答案： 作出函数图象如下图： 令得 ，因为存在，当时，，所以由图象知，又，令 故当时，，故填.   13. 在各项均为正数的等比数列中，已知，，则公比的值是 _____． 参考答案： 2 14. 已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为　  　． 参考答案： 27 【分析】求出弦长AB，求出圆心到直线的距离加上半径，得到三角形的高，然后求解三角形面积的最大值． 【解答】解：⊙C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=25的圆心（2，1），半径为5． 圆心到直线l：4x﹣3y+15=0的距离为： =4 弦长|AB|=2=6，圆上的点到AB的最大距离为：9． △ADB面积的最大值为： =27 故答案为：27 15. 已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=　　． 参考答案： 【考点】函数的值． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】由分段函数f（x）=，先求f（﹣3），再求f（f（﹣3））即可． 【解答】解：∵函数f（x）=， ∴f（﹣3）=2﹣3=， f（f（﹣3））=f（）==， 故答案为：． 【点评】本题考查了分段函数的简单应用，属于基础题． 16. 已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=　  　． 参考答案： 8 【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值． 【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+， 曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2， 则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1． 由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切， 故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1， 得ax2+ax+2=0， 又a≠0，两线相切有一切点， 所以有△=a2﹣8a=0， 解得a=8． 故答案为：8． 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键． 17. 从3名男生和2名女生中选出2名参加某项活动，则选出的2名学生中至少有1名女生的概率为_______ 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数在区间上的值域． 参考答案： (I)                                      ……………4分 所以，周期．                                ……………6分 （II）∵ ，  ∴                  ……………8分 ， ∴的值域为                  ……………12分 19. 某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1﹣5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前的奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案． 1﹣5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元、6000元、8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额，如第三扇大门打开，选手可获基金总金额为8000元）；设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为pi（i=1，2，…，5），且pi=（i=1，2，…，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为； （1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率； （2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X（元），求X的分布列和数学期望． 参考答案： 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）设事件“选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金”为事件A．利用独立重复试验求得概率． （2）写出X的所有可能取值并求得其概率和分布列． 【解答】解：设事件“该选手回答正确第i扇门的歌曲名称”为事件Ai，“使用求助回答正确歌曲名称”为事件B， 事件“每一扇门回答正确后选择继续挑战下一扇门”为事件C；则 ，，… （1）设事件“选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金”为事件A，则： A=A1CA2C× ∴选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率为；… （2）X的所有可能取值为：0，3000，6000，8000，12000，24000； P（X=3000）=P（A1）=； P（X=6000）=P（A1 CA2）=××（）2=； P（X=8000）=P（A1 CA2 CA3）=； P（X=12000）=P（A1 CA2 CA3 CA4）=； P（X=24000）=P（A1 CA2 CA3 CA4 CA5）=； P（X=0）=P（）+P（A1C）+P（A1CA2C）+P（A1CA2CA3C）+P（A1CA2CA3CA4C）=； （或P（X=0）=1﹣（P（X=3000）+P（X=6000）+P（X=8000）+P（X=12000）+P（X=24000） =1﹣）． ∴X的分布列为： X 0 3000 6000 8000 12000 24000 P ∴EX=0×+3000×+6000×+8000×+12000×+24000× =1250+1000+500+250+250=3250（元） ∴选手获得的家庭梦想基金数额为X的数学期望为3250（元）… 20. 在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为（2，），曲