河北省邯郸市西苏乡周村中学高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在菱形中，若,则=( ）
A. B. C. D.与菱形的边长有关
参考答案：
B
2. 由直线y=0，x=e，y=2x及曲线y=所围成的封闭的图形的面积为（ ）
A．3 B．3+2ln2 C．e2﹣3 D．e
参考答案：
C
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】先联立两个曲线的方程，求出交点，以确定积分公式中x的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可．
【解答】解：由y=2x及曲线y=，可得交点坐标为（1，2），（﹣1，﹣2），
故所求图形的面积为S==（x2﹣2lnx）=e2﹣3．
故选：C．
3. 已知函教的图象与直线y = b (0
1时，M={x| 1；若a<1时M={x| a，a=1时，M=；，∴=>0，∴ a>1时，P=R，a<1时，P=； 已知,所以选C.
5. 若α是第四象限的角，则π﹣α是( )
A．第一象限的角
B．第二象限的角
C．第三象限的角
D．第四象限的角
参考答案：
C
考点：象限角、轴线角．
专题：计算题．
分析：先求出α的表达式，再求﹣α的范围，然后求出π﹣α的范围．
解答： 解：若α是第四象限的角，即：2kπ﹣π＜α＜2kπ k∈Z
所以2kπ＜﹣α＜2kπ+π，k∈Z
2kπ+π＜π﹣α＜2kπ+k∈Z
故选C．
点评：本题考查象限角、轴线角，考查学生计算能力，是基础题．
6. 如图所示，在正方体中，、分别为，的中点，为上一动点，记为异面直线与所成的角，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
参考答案：
D
如图，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为，则，，，，．
∴，，
∴，，
∴，．
故选．
7. 命题“使得”的否定是
A．均有 B．均有
C．使得 D．均有
参考答案：
B
8. 下列命题中假命题是（ ）
A．?x0∈R，lnx0＜0 B．?x∈（﹣∞，0），ex＞0
C．?x＞0，5x＞3x D．?x0∈（0，+∞），2＜sinx0+cosx0
参考答案：
D
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】举出正例x0=，可判断A；根据指数函数的图象和性质，可判断B，C；根据sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，可判断D．
【解答】解：?x0=∈R，使lnx0＜0，故A为真命题；
?x∈（﹣∞，0），ex＞0，故B为真命题；
?x＞0，5x＞3x，故C为真命题；
sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，
故?x0∈（0，+∞），2＜sinx0+cosx0为假命题；
故选：D
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题，特称命题，指数函数、对数函数、三角函数的图象和性质等知识点，难度基础．
9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的函数是
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
10. 设，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案：
A
【分析】
由，可推出，可以判断出中至少有一个大于1.由可以推出，与1的关系不确定，这样就可以选出正确答案.
【详解】因为，所以，，，显然中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符.
由，可得，与1的关系不确定，显然由“”可以推出，但是由推不出，当然可以举特例：如，符合，但是不符合，因此“”是“”的充分不必要条件，故本题选A.
【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，由，，，判断出中至少有一个大于1，是解题的关键.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则实数a= ．
参考答案：
﹣6
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程即可求出r与a的值．
【解答】解：（﹣）5展开式的通项公式为：
Tr+1=??=（﹣a）r??，
令=，解得r=1；
所以展开式中含x项的系数为：
（﹣a）?=30，
解得a=﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题目．
12. 函数f（x）=的最大值与最小值之积等于 ．
参考答案：
考点： 函数的最值及其几何意义．
专题： 计算题；不等式的解法及应用．
分析： 分类讨论，利用基本不等式，求出函数f（x）=的最大值与最小值，即可得出结论．
解答： 解：f（x）==，
x=0时，f（0）=0，
x≠0时，f（x）=，
x＞0时，x+≥2，
∴0＜f（x）≤，
x＜0时，x+≤﹣2，
∴﹣≤f（x）＜0，
综上，∴﹣≤f（x）≤，
∴函数f（x）=的最大值与最小值之积等于﹣．
故答案为：﹣．
点评： 本题考查函数的最值及其几何意义，考查基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
13. 设等差数列和的前n项和分别为、，若对任意自正整数n都有则 。
参考答案：
略
14. 已知实数x，y，z满足 则xyz的最小值为 ．
参考答案：
由xy+2z=1，可得z==．可得5=x2+y2+，≥±2xy+，化为：x2y2+6xy﹣19≤0，或：x2y2﹣10xy﹣19≤0．解出经过比较利于二次函数的单调性可得．
解：由xy+2z=1，可得z==．
∴5=x2+y2+≥2|xy|+，化为：x2y2+6xy﹣19≤0，或：x2y2﹣10xy﹣19≤0．
由x2y2+6xy﹣19≤0，解得：0≤xy≤﹣3+2．
由x2y2﹣10xy﹣19≤0，解得：5≤xy≤0．
∴xyz=xy×=+，
可得：经过比较利于二次函数的单调性可得：xy=5时，xyz取得最小值为．
故答案为：．
15. 内角的对边分别是，若，
,则 .
参考答案：
略
16. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角为
参考答案：
略
17. 甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍，忽听“砰”的一声，讲台上的花盆被打破了，甲说：“是乙不小心闯的祸”乙说：“是丙闯的祸”，丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸．”如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话，那么这个小朋友是 ．
参考答案：
丙
【考点】进行简单的合情推理．
【分析】运用反证法，假设结论成立，再经过推理与证明，即可得出正确的结论．
【解答】解：假设甲说的是实话，则“是乙不小心闯的祸”正确，丙、丁说的都是实话，
这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾，假设错误；
假设乙说的是实话，则“是丙闯的祸”正确，丁说的也是实话，
这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾，假设错误；
假设丙说的是实话，则“乙说的不是实话”正确，甲、乙、丁说的都是不实话，
得出丁闯的祸，符合题意；
假设丁说的是实话，则“反正不是我闯的祸”正确，甲、乙、丁中至少有一人说的是实话，
这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾，假设错误．
故答案为：丙．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (13分)四棱锥的底面是边长为1的正方形,
,, 为上两点,且
.
(1)求证:面;
(2)求异面直线PC与AE所成的角
(3)求二面角的正切值.
参考答案：
法1:(1)连BD交AC于O,连OE.
(2)过E作交于,则为异面直线所成的角或补角，由计算可得
，在中用余弦定理可得
，则异面直线所成的角为。
(2)由PA=1, AD=1, PD=
∴PA⊥面ACD 又CD⊥AD ∴CD⊥PD.
取PD中点M. ∴AM⊥面PCD, 过M作MN⊥CE交CE于N.
连AN 则∠ANM为A-EC-PE切值.
AM=.又△MNE∽△CDE ∴
Pt△AMN中,
法2:以A为坐标原点.AB为轴,AD为轴,AP为轴建立坐标系.
则B(1,0,0), D(0,1,0), P(0,0,1), C(1,1,0), , E
(1).设面ACE法向量
∴BF//面ACE.
(2) ，，
则异面直线所成的角为
(3)设面PCE法向量 则
∴二面角A-EC-P的正切值为.
19. （本小题满分16分）已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且满足a1＋a2＋a3＝9，b1b2b3＝27.
（1）若a4＝b3，b4－b3＝m.
①当m＝18时，求数列{an}和{bn}的通项公式；
②若数列{bn}是唯一的，求m的值；
（2）若a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3均为正整数，且成等比数列，求数列{an}的公差d的最大值.
参考答案：
（1）①由数列{an}是等差数列及a1＋a2＋a3＝9，得a2＝3，
由数列{bn}是等比数列及b1b2b3＝27，得b2＝3． ………………2分
设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
若m＝18，
② 由题设b4－b3＝m，得3q2－3q＝m，即3q2－3q－m＝0（*）．
因为数列{bn}是唯一的，所以
若q=0，则m=0，检验知，当m=0时，q=1或0（舍去），满足题意；
若q≠0，则(－3)2＋12 m＝0，解得m＝－，代入（*）式，解得q＝，
又b2＝3，所以{bn}是唯一的等比数列，符合题意．
所以，m=0或－ ． ………………8分
（2）依题意，36＝(a1＋b1) (a3＋b3)，
设{bn}公比为q，则有36＝(3－d＋)(3＋d＋3q)， （**）
记m＝3－d＋，n＝3＋d＋3q，则mn=36．
将（**）中的q消去，整理得： d2＋(m－n)d＋3(m＋n)－36＝0 ………………10分
d的大根为
而m，n∈N*，所以 (m，n)的可能取值为：
(1，36)，(2，18)，(3，12)，(4，9)，(6，6)，(9，4)，(12，3)，(18，2)，(36，1) ．
所以，当m＝1，n＝36时，d的最大值为 ． ………………16分
20. （本题满分12分）已知函数(R，，，)图象如图，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为原点．且，，．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象向右平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的最大值．
参考答案：
（Ⅰ）由余弦定理得，
∴，得P点坐标为．
∴ ，，．
由，得．
∴的解析式为．
（Ⅱ），
．
当时，，
∴ 当，即时．