2022年湖南省邵阳市五峰铺镇青云中学高三数学理期末试题含解析

2022年湖南省邵阳市五峰铺镇青云中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 集合，，则下列关系中，正确的是(    ) A．     ；B.；C. ；D. 参考答案： D 2. 函数的图象大致形状是                   参考答案： D 3. 若，且 P()=0.3，则 A.0.2                B. 0.3            C. 0.7             D.0.8 参考答案： A 略 4. 某几何体的三视图如图，其俯视图与左视图均为半径是的圆，则该几何体的表面积是（　　） A．16π B．8π C．π D． 参考答案： C 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】该几何体是由一个球去掉．利用球与圆的表面积计算公式即可得出． 【解答】解：由三视图可知：该几何体是由一个球去掉． ∴该几何体的表面积=+=π． 故选：C． 【点评】本题考查了球的三视图与表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5. 设全集，则右图中阴影部分表示的集合为（        ）   A．        B．  C．     D． 参考答案： B 6. 执行如图所示的程序框图，则输出的 a=（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣ 参考答案： C 【考点】程序框图． 【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的b，a，i的值，观察a的取值规律，可得当i=40时不满足条件i＜40，退出循环，输出a的值为﹣4． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 i=1，a=﹣4 满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣1，a=﹣1，i=2 满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣，a=﹣，i=3 满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣4，a=﹣4，i=4 满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣1，a=﹣1，i=5 … 观察规律可知，a的取值周期为3，由于40=3×13+1，可得： 满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣4，a=﹣4，i=40 不满足条件i＜40，退出循环，输出a的值为﹣4． 故选：C． 　 7. i是虚数单位， =（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】复数代数形式的混合运算． 【分析】化简复数的分母为实数，即可． 【解答】解：i是虚数单位， =， 故选A． 【点评】本题考查复数的代数形式的运算，是基础题． 8. 已知数列{an}为等差数列，且a1+a7+a13=π，则tan（a2+a12）的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】等差数列的通项公式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列的性质和诱导公式即可得出． 【解答】解：∵数列{an}为等差数列，∴a1+a13=a2+a12=2a7， ∵a1+a7+a13=π，∴3a7=π，解得． 则tan（a2+a12）==﹣． 故选B． 【点评】本题考查了等差数列的性质和诱导公式，属于基础题． 9. 若全集，集合，，则 A．{2}             B．{1，2}         C．{1，2，4}      D．{1，3，4，5} 参考答案： C 10. 由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为(　　) A. 　           B．4　　    C.                D．6 参考答案： 【知识点】定积分在求面积中的应用B13 【答案解析】C 解析：解：作出曲线y＝，直线y＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积． 【思路点拨】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为__________。 参考答案： 10 12. 展开式中的系数为10，则实数a等于               参考答案： 2 13. 设函数，，非空集合. ①M中所有元素之和为_______； ②若集合，且，则a的值是_______. 参考答案： 0，0 14. 甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为，甲、乙下和棋的概率为，则乙获胜的概率为    ▲    . 参考答案： 为了体现新的《考试说明》，此题选择了互斥事件，选材于课本中的习题。 15. 已知函数，则函数的值为。 参考答案： 16. 若曲线存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________． 参考答案： 13.设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=______________。 参考答案： 2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分） 已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）． （Ⅰ）求椭圆C的方程; （Ⅱ）过点P的直线与椭圆C相交于 M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内 （包括边界）时，求直线的斜率的取值范围． 参考答案： 解: （Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为焦距为， 由题设条件知， 所以      故椭圆C的方程为                           ---------------4分    （Ⅱ）显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。                   如图，设点M，N的坐标分别为 线段MN的中点为G，由 得．  ……①              ---------------6分 由，得．②-------------7分 因为是方程①的两根，所以， 于是    =，     ．                                       -------------9分 因为，所以点G不可能在轴的右边， 又直线,方程分别为 所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为 即  亦即              ----------12分 解得，此时②也成立． 故直线斜率的取值范围是                   -------------14分 略 19. 如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为，D为A1C1中点， （1）求证：BC1∥平面AB1D； （2）求二面角A1﹣AB1﹣D的大小． 参考答案： 考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角． 分析：（1）连接A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，D为A1C1的中点，根据中位线可知BC1∥DE，又DE?平面AB1D，BC1?平面AB1D，根据线面平行的判定定理可知BC1∥平面AB1D； （2）过D作DF⊥A1B1于F，由正三棱柱的性质可知，DF⊥平面AB1，连接EF，DE，在正△A1B1C1中，求出B1D，在直角三角形AA1D中，求出AD，即可证得AD=B1D，则DE⊥AB1，由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB1．则∠DEF为二面角A1﹣AB1﹣D的平面角，根据△B1FE∽△B1AA1，即可求出∠DEF． 解答： 解：（1）连接A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点， ∵D为A1C1的中点， ∴DE为△A1BC1的中位线， ∴BC1∥DE． 又DE?平面AB1D，BC1?平面AB1D， ∴BC1∥平面AB1D （2）过D作DF⊥A1B1于F，由正三棱柱的性质可知，DF⊥平面AB1， 连接EF，DE，在正△A1B1C1中， ∴B1D=A1B1=， 在直角三角形AA1D中，∵AD==， ∴AD=B1D． ∴DE⊥AB1， 由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB1． 则∠DEF为二面角A1﹣AB1﹣D的平面角，又得DF=， ∵△B1FE∽△B1AA1， ∴，则EF=， ∴． 故所求二面角A1﹣AB1﹣D的大小为． 点评：本题主要考查直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定等有关知识，二面角的求解在最近两年2015届高考中频繁出现，值得重视． 20. (12分)已知，，与的夹角为，     （1）求在方向上的投影；     （2）与的夹角为锐角，求的取值范围。 参考答案： 解析：解：（1）在方向上的投影为=；（2）若与的夹角为锐角，则且两向量不共线，得且，得. 21. （14分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1 （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值． （Ⅲ）若函数g（x）=f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围． 参考答案： 【考点】函数的最值及其几何意义；函数零点的判定定理． 【专题】计算题；函数思想；转化思想；解题方法；函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）利用f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，直接求出a、b、c，然后求出函数的解析式． （Ⅱ）利用二次函数的对称轴与区间的关系，直接求解函数的最值． （Ⅲ）利用g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，列出不等式组，即可求出M的范围． 【解答】（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由f（0）=2，得c=2， 又f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1 得2ax+a+b=2x﹣1，故解得：a=1，b=﹣2， 所以f（x）=x2﹣2x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（a，b，c各，解析式1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，对称轴为x=1∈[﹣1，2]， 故fmin（x）=f（1）=1，又f（﹣1）=5，f（2）=2， 所以fmax（x）=f（﹣1）=5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅲ）g（x）=x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内， 则满足﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣   解得：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分） 【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，二次函数的性质与最值的求法，零点判定定理的应用，考查计算能力． 22. （本小题满分16分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：，的离心率为，且经过点，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点（点M与点A在不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P． （1） 求椭圆C的方程； （2） 求证：AP⊥OM； （3） 试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由． 参考答案：