2022年湖南省益阳市安化县第十三中学高三数学理测试题含解析

2022年湖南省益阳市安化县第十三中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 复数（i为虚数单位）的模是 A. B. C.5 D.8   参考答案： A ，所以，选A. 2. 若直角坐标系中有两点满足条件：（1）分别在函数、的图象上，（2）关于点（1，0）对称，则称是一个“和谐点对”.函数的图象与函数的图象中“和谐点对”的个数是（　 　） A．4             B．6             C．8             D．10 参考答案： A 略 3. 右图是函数的部分图象，则函数 的零点所在的区间是 （▲）     A           B         C           D 参考答案： C 4. 若集合，集合，则集合的元素的个数为 （     ） A . 1               B . 2            C . 3               D .  4 参考答案： A 5. 下列命题中正确的是(   ) （1）已知为纯虚数的充要条件 （2）当是非零 实数时，恒成立 （3）复数的实部和虚部都是 （4）设的共轭复数为，若 A. （1）（2）     B. （1）（3）      C. （2）（3）     D. （2）（4） 参考答案： C 略 6. 已知等差数列的前项和为，且满足，则 A. B. C. D. 参考答案： B 本题主要考查等差数列的通项公式与前项和公式，考查了数列公式的应用.设公差为d，首项为a1,则，所以，则 7. 如图，该程序运行后输出的结果为    A．15                        B．21                     C．28                               D．36   参考答案： B 8.   给出下列两个命题： 甲：异面直线m,n分别在平面α、β内，且n∥α，且m∥β，则α∥β. 乙：两平面互相垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两条直线，一定分别与另一平面垂直. 正确的判断是   A.甲、乙均假   B.甲、乙均真      C.甲真乙假     D.甲假乙真 参考答案： 答案：C 9. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 利用排除选项；当时，可知，排除选项，从而得到结果. 【详解】当时，，可排除选项； 当时，，    时，，可排除选项 本题正确选项： 【点睛】本题考查函数图象的判断，常用方法是采用特殊值排除的方式，根据特殊位置函数值的符号来排除错误选项. 10. 已知集合，，则          (　　) A.　    B.       C.       D. 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 方程的曲线即为函数的图象，对于函数，下列命题中正确的是        （填写处所有正确命题的序号）   ①函数在R上单调递减函数； ②函数的值域为R； ③函数的图象不经过第一象限； ④函数至少存在一个零点。 参考答案： ①②③ 12. 计算=　　（用数字作答） 参考答案： 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】利用诱导公式化简cos（﹣100°）=﹣sin10°，同角三角函数关系式1﹣sin10°=sin25°+cos25°﹣2sin5°cos5°代入化简．根据两角和与差的公式可得答案． 【解答】解：由===． 故答案为：． 13. 已知为钝角，且，则 ______. 参考答案： 14. 若,其中为虚数单位,则_________. 参考答案： 略 15. 已知实数x、y满足不等式组，则的取值范围是_____ 参考答案： 【分析】 画出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用w的几何意义即可得到结论． 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 的几何意义为阴影部分的动点（x，y）到定点P（﹣1，1）连线的斜率的取值范围． 由图象可知当点与OB平行时，直线的斜率最大， 当点位于A时，直线的斜率最小，由A（1，0），∴AP的斜率k 又OB的斜率k＝1 ∴w1． 则的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 16. 设为第二象限角，若，则 =          ． 参考答案： 17. 已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题： ①若，则      ②若，则 ③若，则         ④若，则 其中正确的命题是（    ） A．①②     B．②③       C．①④        D．②④ 参考答案： B 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. ①函数在[0，π]上是减函数； ②点A（1，1）、B（2，7）在直线3x﹣y=0两侧； ③数列{an}为递减的等差数列，a1+a5=0，设数列{an}的前n项和为Sn，则当n=4时，Sn取得最大值； ④定义运算则函数的图象在点处的切线方程是6x﹣3y﹣5=0． 其中正确命题的序号是　　（把所有正确命题的序号都写上）． 参考答案： ②④． 略 19. 已知函数（k为常数，且）． （1）在下列条件中选择一个________使数列{an}是等比数列，说明理由； ①数列是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列是首项为4，公差为2的等差数列； ③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列． （2）在（1）的条件下，当时，设，求数列{bn}的前n项和Tn. 参考答案： （1）②，理由见解析；（2） 【分析】 （1）选②，由和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论； （2）运用等比数列的通项公式可得，进而得到，由数列的裂项相消求和可得所求和. 【详解】（1）①③不能使成等比数列.②可以：由题意， 即，得，且，. 常数且，为非零常数， 数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）知，所以当时，. 因为， 所以，所以， . 【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题. 20. 如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量． 参考数据： yi=9.32， tiyi=40.17， =0.55，≈2.646． 参考公式：相关系数r= 回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， =﹣． 参考答案： 【考点】线性回归方程． 【分析】（Ⅰ）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案； （Ⅱ）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2017年对应的t值为10，代入可预测2017年我国生活垃圾无害化处理量． 【解答】解：（Ⅰ）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，∵ yi=9.32， tiyi=40.17， =0.55， ∴r≈≈0.993， ∵0.993＞0.75， 故y与t之间存在较强的正相关关系； （Ⅱ）由≈1.331及（Ⅰ）得=≈0.103， =1.331﹣0.103×4=0.92． 所以，y关于t的回归方程为： =0.92+0.10t． 将2017年对应的t=10代入回归方程得： =0.92+0.10×10=1.92 所以预测2017年我国生活垃圾无害化处理量将约1.92亿吨． 【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，考查线性相关与线性回归方程的求法与应用，计算量比较大，计算时要细心． 21. （满分12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.     （Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差； （II）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学， 求这两名同学的植树总棵数为19的概率. 参考答案： 解:（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为……………………………………3分 方差为………………………6分   （Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是： （A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4）， （A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）， （A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4）， （A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）， 用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为……12分   略 22. （本题满分13分）已知直线 与抛物线交于Ａ，Ｂ两点，Ｏ为坐标原点． （Ⅰ）求的面积； （Ⅱ）抛物线Ｃ上是否存在两点Ｍ，Ｎ关于直线ＡＢ对称，若存在，求出直线ＭＮ的方程，若不存在，说明理由． 参考答案：