2022-2023学年山西省临汾市东永第一中学高三数学理期末试卷含解析

2022-2023学年山西省临汾市东永第一中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的图象是（      ） 参考答案： A 2. 函数的图象是                                    （   ） 参考答案： A 3. 设函数图像的一条对称轴是直线 （1）求； （2）求函数的单调增区间； （3）试说明函数的图像可由函数的图像如何变换而得到？ 参考答案： （1）  （2） （3）略 略 4. 如果实数x、y满足条件那么z=4x·2-y的最大值为        A．1                        B．2                        C．                      D． 参考答案： 5. 已知抛物线，过其焦点F的直线交抛物线于A．B两点，设A．B在抛物线的准线上的射影分别是A1．B1，则∠A1FB1= （    ） A．450 B．600 C．900 D．1200 参考答案： C 略 6. 设集合A=，m、n∈A，则方程表示焦点位于轴上的椭圆有 A．6个              B．8个              C．12个             D．16个 参考答案： 答案:A 7. 设集合则   （A） {3}  （B）  {7,8}   （C）  {4,5,6,7,8}   （D）  {1,2,7,8} 参考答案： Ｂ Ｕ＝｛１，２,３,４,５,６,７,８｝， 　　　 ｛７,８｝      考点：集合的交集，并集和补集 【答案】 【解析】 8. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则（  ） A．3                B．9                  C. 18               D．27 参考答案： D 9. 设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（其中a＞0，b＞0）的最大值为3，则的最小值为（　　） 　 A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 参考答案： C 略 10. 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则该棱柱的体积为（     ） A． B． C． D．6 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直线的一个单位法向量为　　　　　　　　（填一个即可）． 参考答案： 或 12. 在△ABC中，若=2，b+c=7，cosB=，则b=_______。 参考答案： 4 13. 若满足且的最大值为4，则的值为            ;. 参考答案： 考点：线性规划 因为可行域如图，当时，不合题意，当时，在取得最大值 故答案为：   14. 函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是           ． 参考答案： （﹣，1） 【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案． 【解答】解：由，解得：﹣． ∴函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（﹣，1）． 故答案为：（﹣，1）． 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题． 15. 若不等式|ax+1|＞2在（1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围为　    　． 参考答案： [1，+∞）∪（﹣∞，﹣3] 【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】|ax+1|＞2在（1，+∞）上恒成立可转换为ax+1＞2在（1，+∞）上恒成立或ax+1＜﹣2在（1，+∞）上恒成立，分类讨论，去掉绝对值，得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【解答】解：∵不等式|ax+1|＞2在（1，+∞）上恒成立， ∴ax+1＞2在（1，+∞）上恒成立或ax+1＜﹣2在（1，+∞）上恒成立 ①a＞0时，a+1≥2，∴a≥1， ②a＜0时，a+1≤﹣2，∴a≤﹣3， ③a=0不成立． 故答案为：[1，+∞）∪（﹣∞，﹣3]． 16. 已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为           ． 参考答案： 由已知，即，取双曲线顶点及渐近线，则顶点到该渐近线的距离为，由题可知，所以，则所求双曲线方程为. 17. 已知函数，则f(x)的最小值为_______． 参考答案： －4 【分析】 先由题意得到函数的单调性，进而可求函数的最小值. 【详解】因为函数是单调递减函数， 所以时，函数. 故答案为 【点睛】本题主要考查函数的最值问题，熟记基本初等函数的单调性即可，属于基础题型. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (12分) 在中，已知，，两边所在 的直线分别与轴交于两点，且＝4． （1）求点的轨迹方程； （2）若， ①试确定点的坐标； ②设是点的轨迹上的动点，猜想的周长最大时点的位置，并证明你的猜想． 参考答案： 解析：（1）如图，设点，，，由三点共线，，＝．-------- 2分 同理，由三点共线可得：＝．----------- 3分 ∵＝4，∴·＝＝4．化简， 得点C的轨迹方程为（x≠0）．-------5分 （2）若， ①设F（，0），C（）， ∴（）＝－8（）． ∴＝，＝． 代入， 得＝±．∴（±，0），即为椭圆的焦点．---8分 ②猜想：取（，0），设（－，0）是左焦点，则当点位于直线与椭圆的交点处时，周长最大，最大值为8．------- 10分 证明如下：||＋||＝4－||＋||≤4＋||， ∴周长≤4＋||＋||≤8．---------------12分 19. 已知函数的定义域为R； （Ⅰ）求实数m的取值范围； （Ⅱ）设实数t为m的最大值，若实数a，b，c满足，求的最小值. 参考答案： （Ⅰ）由题意可知恒成立，令， 去绝对值可得：， 画图可知的最小值为-3，所以实数的取值范围为； （Ⅱ）由（1）可知，所以，  ， 当且仅当，即等号成立， 所以的最小值为. 20. 设数列满足，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列，求数列的前项和. 参考答案： （1）；（2）．   （2）由（1）可得 考点：数列的求和；数列的递推公式. 21. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥的侧棱底面，且底面是直角梯形，，，，点在侧棱上． （1）求证：平面； （2）若侧棱与底面所成角的正切值为，点为侧棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 参考答案： （1）见解析;（2） 【知识点】线面垂直的判定定理；异面直线所成的角G5 解析：（1）由已知可算得，，故， 又，平面，故， 又，所以平面；………………………6分 （2）如图，取PD中点为N，并连结AN，MN， 易证明，则即异面直线与所成角； 又底面，即为与底面所成角， 即，，即， 易求得，，则在中，， 即异面直线与所成角的余弦值为． ………………………12分 【思路点拨】（1）由已知通过计算可得，再结合线面垂直的判定定理即可；（2）如图，取PD中点为N，并连结AN，MN，易证明，则即异面直线与所成角，再利用余弦定理即可。 22. 如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面 是等边三角形，且平面⊥底面,为的中点. （1）求证：平面； （2）求 点G到平面PAB的距离。 参考答案： （1）连接PG，∴，∵平面平面 ∴平面，∴， 又是  ∴平面PAD…………………………………………………………6分   （2）设点G到平面PAB的距离为h,△PAB中，∴面积S= ∵，∴， ∴……………………………………………………………………………12分