2022-2023学年湖南省衡阳市耒阳市水东江中学高三数学理月考试题含解析

2022-2023学年湖南省衡阳市耒阳市水东江中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）． A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 根据所给的对数式和指数式的特征可以采用中间值比较法，进行比较大小. 【详解】因为 ，故本题选C. 【点睛】本题考查了利用对数函数、指数函数的单调性比较指数式、对数式大小的问题. 2. 抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于（　） 　　A．10　　　　　B．8　　　　　 C．6　　　　　　D．4 参考答案： 答案:B 3. 在平面直角坐标系中，若不等式组(为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则的值为（   ） A．       B ．        C．        D． 参考答案： D 4. 若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则(　　) A．a＜b＜c  B．c＜a＜b C．b＜a＜c  D．b＜c＜a 参考答案： C 略 5. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则关于的方程在上的所有实数解之和为（   ） A．-7         B．-6       C. -3        D．-1 参考答案： A 6. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=3，PB=2，PC=2，设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别表示三棱锥M﹣PAB，M﹣PBC，M﹣PAC的体积，若f（M）=（1，x，4y），且+≥8恒成立，则正实数a的最小值是（　　） A．2﹣ B． C． D．6﹣4 参考答案： C 【考点】与二面角有关的立体几何综合题． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式求出的最小值，建立关于a的不等关系，解之即可． 【解答】解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=2． ∴V P﹣ABC=×3×2×2=2=1+x+4y， 即x+4y=1， ∵+≥8恒成立， ∴+=（+）（x+4y） =1+ ≥1+4a+4≥8， 解得a≥ ∴正实数a的最小值为． 故选：C． 【点评】本题主要考查了棱锥的体积，同时考查了基本不等式的运用，是题意新颖的一道题目，属于中档题． 7. 已知函数，若的解集中有且只有一个正整数，则实数k的取值范围为                                                             （    ） （A）（B）  （C）  （D）   参考答案： A ，由 所以当时， ；当时， ； 所以要使的解集中有且只有一个正整数，需 ，选A.   8. 已知函数的定义域为,的定义域为,则 = （　　） A． B． C． D． 参考答案： A 略 9. 某种饮料每箱装6瓶，库存23箱未开封的饮料，现欲对这种饮料进行质量检测，工作人员需从中随机取出10瓶，若采用系统抽样法，则要剔除的饮料瓶数是（　　） A．2 B．8 C．6 D．4 参考答案： B 【考点】B4：系统抽样方法． 【分析】根据系统抽样法利用样本容量求间隔，得到余数即为所求． 【解答】解：由题意知：23×6=138， 138÷10=13余8， 所以应先从138瓶中随机剔除8瓶． 故选：B． 10. 对于函数，适当地选取的一组值计算，所得出的正确结果只可能是 （    ） A．4和6 B．3和-3 C．2和4 D．1和1 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f（x）=且对任意（）都有（）0成立，则实数a的取值范围是          。 参考答案： 12. 各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的个专业中，选择个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有_______种。 参考答案： 180 略 13. 若不等式4x－2x＋1－a≥0在x∈[－1，1]上恒成立，则实数a的取值范围为          ． 参考答案： (－∞，－1] 14. 已知，，则的值为      ． 参考答案： 15. 下图展示了一个由区间到实数集的变换过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1），将线段围成一个正方形，使两端点恰好重合（如图2）， 再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在轴上， 点的坐标为（如图3），若图3中直线与轴 交于点，则点的变换结果就是点， 记作.现给出以下命题： ①；②的图象的对称中心为； ③为偶函数；④关于的不等式的解集为； ⑤若数列，则为等比数列． 其中所有正确命题的番号应是      　　　　　． 参考答案： ①②⑤ 16. 下列命题 ① ② ③函数的最小值是4 ④ 其中正确命题的序号是                 参考答案： ②④ 略 17. 设a，b，c是三条不同直线，，，是三个不同平面，给出下 列命题： ①若，，则； ②若a，b异面，，，，，则； ③若，，，且，则； ④若a，b为异面直线，，，，，则． 其中正确的命题是                   参考答案： ②③④ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）若存在，不等式成立，求实数的取值范围.   参考答案： （1）因为f（x）是奇函数，函数的定义域为R，所以f（0）= =0，可得n=1，∴f(x)＝，取f（-1）=-f（1）得=? ，解之得m=2因此，f(x)＝，满足f(?x)＝=- =-f（x）， 符合题意所以m=2，n=1 （2）由（1）得，f(x)＝=?+， 设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=?+-（?+）= ∵y=2x在实数集上是增函数且函数值恒大于0， ∴2x2-2x1＞0，2x1+1＞0且2x2+1＞0，可得f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2） ∴f（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数∵f（x）是奇函数， ∴f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0，等价于f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（k-2t2）， ∴由上式可得：t2-2t＞k-2t2． 即对任意t∈R有：3t2-2t-k＞0， ∴△=4+12k＜0?k＜-，即实数k的取值范围是（-∞，-）．   略 19. [选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知函数. （1）求的解集； （2）若关于x的不等式能成立， 求实数m的取值范围.   参考答案： 解：(1)  故 故的解集为.                          …………5分     （2）由，能成立， 得能成立， 即能成立， 令，则能成立，    由（1）知，     又       实数的取值范围：                  ………10分   20. (本题满分12分）近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):   “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,其中,.当数据的方差最大时,写出的值(结论不要求证明),并求此时的值.(注:方差,其中为的平均数) 参考答案： 【知识点】模拟方法估计概率；极差、方差与标准差．I4 (1) ; (2) 0.3 ;(3) 8000 解析：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 = (2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件表示生活垃圾投放正确. 事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P(),约为.所以P(A)约为1-0.7=0.3. (3)当,时,取得最大值.因为, 所以. 【思路点拨】（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率； （3）带入计算方差可得结果。 21. 定义：在平面内，点P到曲线上的点的距离的最小值称为点P到曲线的距离.在平面直角坐标系中，已知圆M：及点，动点P到圆M的距离与到A点的距离相等，记P点的轨迹为曲线为W. （Ⅰ）求曲线W的方程； （Ⅱ）过原点的直线（不与坐标轴重合）与曲线W交于不同的两点C，D，点E在曲线W上，且，直线DE与轴交于点F，设直线DE，CF的斜率分别为，，求. 参考答案： 分析：（Ⅰ）由点到曲线的距离的定义可知，到圆的距离，所以，所以有，由椭圆定义可得点的轨迹为以、为焦点的椭圆，从而可求出椭圆的方程；（Ⅱ）设，，则，则直线的斜率为，由可得直线的斜率是，记，设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理用，表示与即可得到结论. 解：（Ⅰ）由分析知：点在圆内且不为圆心，故， 所以点的轨迹为以、为焦点的椭圆， 设椭圆方程为（），则， 所以，故曲线的方程为. （Ⅱ）设（），，则，则直线的斜率为，又，所以直线的斜率是，记，设置的方程为，由题意知，，由得.∴， ∴，由题意知，， 所以， ∴直线的方程为，令，得，即. 可得. 所以，即.   22. （本小题共13分） 近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：   “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 （Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率； （Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a＞0，=600。当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值。 （注：，其中为数据的平均数） 参考答案：