广东省江门市恩平杨桥中学高三数学文下学期期末试题含解析

广东省江门市恩平杨桥中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知抛物线y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点（A在第一象限内），=3，过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G，则三角形ABG的面积为（　　） A．B．C． D． 参考答案： C 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】由抛物线焦点弦的性质及向量的坐标运算，求得直线的倾斜角，求得直线AB的方程，代入抛物线方程，利用求得丨AB丨及中点E，利用点斜式方程，求得G点坐标，利用点到直线的距离公式及三角形的面积公式求得三角形ABG的面积． 【解答】解：作出抛物线的准线l：x=﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D， 连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E． ∵=3，则设丨AF丨=3m，丨BF丨=m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得丨AC丨=3m，丨BD丨=m． 因此，Rt△ABE中，cos∠BAE==，得∠BAE=60° ∴直线AB的倾斜角∠AFx=60°， 得直线AB的斜率k=tan60°=． 则直线l的方程为：y=（x﹣1），即x﹣y﹣=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则，整理得：3x2﹣10x+3=0， 则x1+x2=，x1x2=1， 则y1+y2=（x1﹣1）+（x2﹣1）=， =， ∴AB中点E（，）， 则EG的方程的斜率为﹣，则EG的方程：y﹣=﹣（x﹣）， 当x=0时，则y=，则G（，0）， 则G到直线l的距离d==， 丨AB丨=x1+x2+p=， 则S△ABG=×丨AB丨?d=××=， 故选C． 【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，焦点弦公式，考查数形结合思想，属于中档题． 　 2. 与向量的夹角相等, 且模为1的向量是 （   ） A． B．或 C． D． 或 参考答案： B【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2 设与向量的夹角相等, 且模为1的向量为（x，y）， 则解得或， 【思路点拨】要求的向量与一对模相等的向量夹角相等，所以根据夹角相等列出等式，而已知的向量模是相等的，所以只要向量的数量积相等即可．再根据模长为1，列出方程，解出坐标． 3. 继空气净化器之后，某商品成为人们抗雾霾的有力手段，根据该商品厂提供的数据，从2015年到2018年，购买该商品的人数直线上升，根据统计图，说法错误的是（   ）                                 A. 连续3年，该商品在1月的销售量增长显著。 B. 2017年11月到2018年2月销量最多。 C. 从统计图上可以看出，2017年该商品总销量不超过6000台。 D. 2018年2月比2017年2月该商品总销量少。 参考答案： C 【分析】 根据统计图对各选项进行一一验证可得答案. 【详解】解：根据统计图，对比每年一月份数量，可得该商品在1月的销售量增长显著，A正确；2017年11月到2018年2月销量最多，B正确；在2017年该商品总销量超过6000台，C错误；2018年2月比2017年2月该商品总销量少，D正确； 故选C. 【点睛】本题考察统计图 ，考察数据处理能力及统计与概率思想. 4. 已知的展开式的各项系数和为32，则展开式中的系数为（　　） A．5     B．40   C．20    D．10 参考答案： D 令x=1，得，所以，，由，所以展开式中的系数为。 5. 函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，，则f（x）＞2x+4的解集为 （A）（-1，1）       （B）（-1，+）      （C）（-，-1）      （D）（-，+） 参考答案： B 本题主要考查了.导数在函数中的应用，合理构造函数是解答本题的关键，难度较大.令，，即为增函数，又因为，所以，因此的解集为，选B. 6. 已知是各项均为正数的等比数列，，则 A.20         B.32         C.80            D. 参考答案： C 7. 运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为 A．t≥    B．t≥    c．t≤    D．t≤ 参考答案： B【知识点】算法与程序框图L1 第一次执行循环结构：n←0+2，x←2×t，a←2-1∵n=2＜4，∴继续执行循环结构． 第二次执行循环结构：n←2+2，x←2×2t，a←4-1；∵n=4=4，∴继续执行循环结构， 第三次执行循环结构：n←4+2，x←2×4t，a←6-3； ∵n=6＞4，∴应终止循环结构，并输出38t．由于结束时输出的结果不小于3， 故38t≥3，即8t≥1，解得t≥． 【思路点拨】第一次执行循环结构：n←0+2，第二次执行循环结构：n←2+2，第三次执行循环结构：n←4+2，此时应终止循环结构．求出相应的x、a即可得出结果． 8. 如果实数满足不等式组，目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（  ） A.1             B.2            C.3           D.4 参考答案： B 试题分析：不等式组表示的可行域如图， ∵目标函数的最小值为0，∴目标函数的最小值可能在或时取得； ∴①若在上取得，则，则，此时，在点有最大值，，成立； ②若在上取得，则，则，此时，，在点取得的应是最大值， 故不成立，，故答案为B.   考点：线性规划的应用. 9. 若，则“”是“”的    A．充分非必要条件                       B．必要非充分条件    C．充要条件                             D．既非充分也非必要条件 参考答案： B 10. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A．            B．            C．            D． 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t =0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d (cm)表示成t (秒)的函数，则d=______________其中． 参考答案： ． 试题分析：由题意知，秒针转过的角度为，连接AB，过圆心向它作垂线，把要求的线段分成两部分，根据直角三角形的边长求法得到．故应填． 考点：在实际问题中建立三角函数模型． 12. 已知函数定义域为R，满足，当时，则______． 参考答案： 【分析】 由题可得函数为周期函数，根据函数周期的性质以及分段函数的解析式，即可求解。 【详解】函数定义域为，满足，则为周期函数， 由，可得：， ， 故答案为。 【点睛】本题主要考查周期函数以及分段函数的函数值的计算，着重考查运算与求解能力，属于基础题。 13. 若函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2cos2x﹣m在[0，]上有零点，则实数m的取值范围是　_________　． 参考答案： 略 14. 函数f（x）=的定义域为　     　． 参考答案： {x|x＞且x≠1} 【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：x＞且x≠1， 故函数的定义域是{x|x＞且x≠1}， 故答案为：{x|x＞且x≠1}． 　 15. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则此函数的值域为        ． 参考答案： 16. 已知函数y=Asin(wx+j)（A>0,w>0）的部分图象如图 所示，则此函数的最小正周期为   ▲    ． 参考答案： p   略 17. 已知，，则． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表： 分数段（分） [50,70) [70,90) [90,110) [110,130) [130,150) 总计 频数       b     频率 a 0.25         （1）求表中a，b的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90,150）内为及格）： （2）从成绩在[100,120)范围内的学生中随机选2人，求其中恰一人成绩在[100,110)内的概率。 参考答案： （1）由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130) 范围内的有3人， ∴a= b=3；分数在[70,90)内的人数20×0.25=5，结合茎叶图可得分数在[70,80)内的人数为2，所以分数在[90,100)范围内的学生人数为4，故数学成绩及格的学生为13人，所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为 ×100%=65%. （2）由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有6人，分数在[100,110)范围内的有4人，概率 19. 设函数,其中为自然对数的底数. (Ⅰ)已知,求证:； (Ⅱ)函数是的导函数，求函数在区间上的最小值． 参考答案： (Ⅰ)证明：       ………………………6分 (Ⅱ)， ， （1）当时,∵，，∴恒成立， 即,在上单调递增, 所以. （2）当时,∵，，∴恒成立， 即,在上单调递减, 所以. （3）当时，得 在上单调递减,在上单调递增, 所以  ………………………12分 20. 已知函数（k为常数，且）． （1）在下列条件中选择一个________使数列{an}是等比数列，说明理由； ①数列是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列是首项为4，公差为2的等差数列； ③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列． （2）在（1）的条件下，当时，设，求数列{bn}的前n项和Tn. 参考答案： （1）②，理由见解析；（2） 【分析】 （1）选②，由和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论； （2）运用等比数列的通项公式可得，进而得到，由数列的裂项相消求和可得所求和. 【详解】（1）①③不能使成等比数列.②可以：由题意， 即，得，且，. 常数且，为非零常数， 数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）知，所以当时，. 因为， 所以，所以， . 【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题. 21. （本小题满分14分） 已知二次函数的最小值为且关于的不等式的解集为 , （1）求函数的解析式； （2）求函数的零点个数. 参考答案： 解：（1）是二次函数, 且关于的不等式的解集为 , , 且. ························· 4分 ,且,     ························································· 6分 故函数的解析式为 (2) , . ·············································