山东省聊城市单庄乡中学高三数学理下学期期末试卷含解析

山东省聊城市单庄乡中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 实数m是函数的零点，则（   ） A．   B．    C．  D． 参考答案： A 2. 已知条件，则使得条件成立的一个充分不必要条件是（    ）   A.             B.            C.或       D.或 参考答案： A 略 3. 已知，则sin2x的值为(     )     A. B. C. D. 参考答案： 【知识点】差角公式；二倍角公式；同角三角函数基本关系式  C2  C5  C6 【答案解析】C  解析：， ，两边平方得：， ， 故选：C 【思路点拨】把已知的式子用差角公式展开、化简，可得到的值，两边平方再结合二倍角公式和同角三角函数基本关系式，即可计算出的值。 4. 已知不等式≥9对任意正实数、恒成立，则正实数的最小值是 A．2           B．4            C．6            D．8 参考答案： B 略 5. 已知函数，则的值是（    ） A. 27 B. －27 C. D. 参考答案： C 【分析】 首先计算出，再把的值带入计算即可。 【详解】根据题意得，所以，所以选择C 【点睛】本题主要考查了分段函数求值的问题，属于基础题。 6. 如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是(     ) A．（） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3） 参考答案： C 【考点】函数零点的判定定理． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间． 【解答】解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，即有a=﹣1﹣b， 从而﹣2＜a＜﹣1， 而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增， g（）=ln+1+a＜0， 由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，结合抛物线的对称轴得到： 0＜﹣＜1，解得﹣2＜a＜0， ∴g（1）=ln1+2+a=2+a＞0， ∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）； 故选C． 【点评】本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题． 7. 设a=log2，b=log3，c=（）0.3，则（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 参考答案： D 【考点】对数值大小的比较． 【分析】直接判断对数值的范围，利用对数函数的单调性比较即可． 【解答】解：∵a=log2＜0，b=log3＜0， log2＜log2＜log2＜log3， c=（）0.3＞0． ∴b＜a＜c． 故选：D． 8. 若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是(      ) A.[,] B.[,3] C.[-1,] D.[,3] 参考答案： D 略 9. 函数在区间上的最小值是   A．-l    B．   C．   D．0 参考答案： C 10. 执行如图所示的程序框图，输出的值为 A. 3　　　B. 4　　　C．5　　　　D．6 参考答案： B 终止循环时 故输出的，故选B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设满足约束条件， 若目标函数的最大值为12，则的最小值为___    ． 参考答案： 12. 设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为,且是偶函数, 则曲线:y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为__________. 参考答案： 9x—y—16 = 0 略 13. 设，已知函数是定义域为R的偶函数， 当时，  若关于x的方程有且只有7个不同实数根，则的取值范围是           ． 参考答案： 试题分析：函数的图象如下图所示， 由图可知，若关于的方程有且只有个不同实数根，则关于的的一元二次方程的两根，其中一根为1，另一根在开区间内，所以，有 所以， 所以答案应填：．   14. 已知函数在上为增函数，则实数a的取值范围为___________ 参考答案： 15. 计算：=_________． 参考答案： 3 略 16. 若甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中的命中率打靶，三人各射击一次，则三人中只有一人命中的概率是___________． 参考答案： 略 17. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积为cm3． 参考答案： 20 考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱挖去一个三棱锥所得的组合体，画出其直观图，进而根据棱柱和棱锥体积公式，可得答案． 解答： 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱挖去一个三棱锥所得的组合体， 如下图所示： 故该几何体的体积V===20， 故答案为：20 点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，由已知中的三视图分析出几何体的形状是解答的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）   已知函数    （I）过点（0，—1）作曲线的切线，求切线方程；    （II）若 参考答案： 解析：（I）曲线 即             …………2分 ， ……4分    （II）点， 代入化简可得： 构造三次函数     …………6分          …………7分 变化情况如下表： 1 + 0 — 0 + 增函数 极大值   减函数 极小值 增函数                                                       …………8分 19. 如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点. （1）求证：； （2）求二面角的正弦值. 参考答案： （1） 省略（2）   （1） （2） 20. 根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的位上网购物者的年龄情况如右图． （1）已知、、三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求的值； （2）该电子商务平台将年龄在之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放元的代金券，潜在消费人群每人发放元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与调查的位上网购物者中抽取了人，现在要在这人中随机抽取人进行回访，求此三人获得代金券总和的分布列与数学期望． 参考答案： （1）；（2）分布列略，186. 试题解析：（1）由于五个组的频率之和等于1，故： ， 又因为、、三个年龄段的上网购物者人数成等差数列 所以 联立解出 （2）由已知高消费人群所占比例为，潜在消费人群的比例为 由分层抽样的性质知抽出的人中，高消费人群有人，潜在消费人群有人， 随机抽取的三人中代金券总和可能的取值为： ； ； 列表如下： 数学期望 考点：频率分布直方图；分层抽样；离散型随机变量的分布列和期望. 21. 设函数f（x）=x﹣a（x+1）ln（x+1），（x＞﹣1，a≥0） （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=t在上有两个实数解，求实数t的取值范围； （Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m． 参考答案： 【考点】不等式的证明；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求导数，再利用导数大于0，求函数的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，在[0，1]上单调递减可得解（Ⅲ）根据要证明的结论，利用分析法来证明本题，从结论入手，要证结论只要证明后面这个式子成立，两边取对数，构造函数，问题转化为只要证明函数在一个范围上成立，利用导数证明函数的性质． 【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=1﹣aln（x+1）﹣a ①a=0时，f′（x）＞0∴f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数    … ②当a＞0时，f（x）在上递增，在单调递减．… （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，在[0，1]上单调递减 又 ∴ ∴当时，方程f（x）=t有两解   … （Ⅲ）要证：（1+m）n＜（1+n）m只需证nln（1+m）＜mln（1+n）， 只需证： 设，则… 由（Ⅰ）知x﹣（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）单调递减    … ∴x﹣（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，而m＞n ∴g（m）＜g（n），故原不等式成立．          … 22. 本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：=2px（P＞0）的准线的距离为。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。 （1）求p,t的值。 （2）求△ABP面积的最大值。    参考答案： （1）由题意得，得. （2）设，线段AB的中点坐标为 由题意得，设直线AB的斜率为k（k）. 由，得，得 所以直线的方程为，即. 由，整理得， 所以，，.从而得 ， 设点P到直线AB的距离为d，则   ，设ABP的面积为S，则. 由，得. 令，，则. 设，，则. 由，得，所以，故ABP的面积的最大值为.