江苏省常州市溧阳周城中学2022-2023学年高二数学文下学期期末试题含解析

江苏省常州市溧阳周城中学2022-2023学年高二数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在公比为整数的等比数列中，如果那么该数列的前项之和为（    ） A．      B．   C．      D． 参考答案： C 略 2. 若则目标函数的取值范围是     A．[2，6]       B．[2，5]           C．[3，6]           D．[3，5] 参考答案： A 略 3. 在的展开式中，的系数为(    ) A. -120 B. 120 C. -15 D. 15 参考答案： C 【分析】 写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数。 【详解】的展开式的通项公式为，令，即时，系数为。故选C 【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题。 4. 若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　) A. (－∞，2] B. [2，＋∞) C. [－2，＋∞) D. (－∞，－2] 参考答案： B 由f(1)=得a2=, ∴a=或a=- (舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B. 5. 函数导数是（    ）    A..     B.   C.     D.   参考答案： C 略 6. 曲线的极坐标方程化为直角坐标为（     ）。 A.     B.    C.     D. 参考答案： B 略 7. 已知①正方形的对角线相等，②矩形的对角线相等，③正方形是矩形。根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是  （    ） A．正方形的对角线相等    B．矩形的对角线相等  C．正方形是矩形          D．其它 参考答案： C 略 8. (   ) A.  0       B. 1            C. 2           D. 参考答案： A 略 9. 给出下列各命题 ①物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量； ②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量； ③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量； ④坐标平面上的x轴和y轴都是向量． 其中正确的有(　　) A．1个                             B．2个 C．3个                             D．4个 参考答案： B 10. 曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0垂直，则a等于（　　） A．1 B． C． D．﹣1 参考答案： C 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线垂直它们的斜率乘积等于﹣1列方程求解． 【解答】解：∵y=ax2， ∴y'=2ax， 于是切线的斜率k=y'|x=1=2a， ∵切线与直线2x﹣y﹣6=0垂直， ∴2a×2=﹣1 ∴a=﹣ 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克。但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，水稻每千克只卖3元。现在他只能凑400元。问这位农民两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？ 参考答案： 略 12. 若方程表示圆，则实数的值为    ▲    . 参考答案： 13. 如图是甲，乙两名同学5次综合测评成绩的茎叶图，甲乙两人中成绩较为稳定的是　　 参考答案： 甲 【考点】茎叶图． 【分析】分别求出甲、乙的平均数和方差，由此能求出结果． 【解答】解： =（87+89+91+92+93）=90.4， = [（87﹣90.4）2+（89﹣90.4）2+（91﹣90.4）2+（92﹣90.4）2+（93﹣90.4）2]=4.64． =（83+85+96+91+95）=90， 2= [（83﹣90）2+（85﹣90）2+（96﹣90）2+（91﹣90）2+（95﹣90）2]=27.2． ∴＜， ∴甲乙两人中成绩较为稳定的是甲． 故答案为：甲． 14. 用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设（　　） A．没有一个内角是钝角 B．至少有一个内角是钝角 C．至少有两个内角是锐角 D．至少有两个内角是钝角 参考答案： D 【考点】反证法与放缩法． 【分析】反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”． 【解答】解：∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的逆命题正确 ∴应假设：至少有两个角是钝角． 故选：D． 15. 在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________． 参考答案： 略 16. 圆心在原点上与直线相切的圆的方程为           。 参考答案： 17. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形.若为底面的中心，则与平面所成的角的大小为 . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，半圆O的直径AB的长为4，点C平分弧AE，过C作AB的垂线交AB于D，交AE干F． (I)求证：： (II)若AE是CAB的角平分线，求CD的长． 参考答案： 19. 已知函数f（x）=e2x﹣1﹣2x﹣kx2 （Ⅰ）当k=0时，求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求k的取值范围． （Ⅲ）试比较与（n∈N*）的大小关系，并给出证明：（） 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（I）求得函数f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间； （II）求出f（x）的导数f′（x），再求导数f''（x），讨论k的范围，①当2k≤4即k≤2时，②当2k＞4即k＞2时，求出导数符号，确定单调性，即可得到所求范围； （Ⅲ）由（II）知，e2x≥1+2x+2x2，令x=1，2，…，n﹣1，可得n﹣1个不等式，累加，运用不等式的性质和求和公式，即可得到所求大小关系． 【解答】解：（I）函数f（x）=e2x﹣1﹣2x的导数为f′（x）=2（e2x﹣1）， ∵x＞0时f′（x）＞0，x＜0时f′（x）＜0， ∴单调递增区间为（0，+∞）；单调递减区间为（﹣∞，0）； （II）f（x）的导数为f′（x）=2e2x﹣2﹣2kx，f''（x）=4e2x﹣2k， ①当2k≤4即k≤2时，f''（x）＞0?f′（x）单调递增?f′（x）≥0?f（x）单调递增 ?f（x）≥f（0）=0恒成立，∴k≤2使原式成立； ②当2k＞4即k＞2时，?x0＞0使x∈[0，x0）时f''（x）＜0?f′（x）单调递减 ?f′（x）≤f′（0）=0?f（x）单调递减?f（x）＜f（0）=0不满足条件． 综上可得，k≤2； （Ⅲ）由（II）知，当k=2时，e2x﹣1﹣2x﹣kx2≥0成立，即e2x≥1+2x+2x2， 取x=n得e2n＞1+2n+2n2，e2＞1+2+2，e4＞1+2×2+2×22，e6＞1+2×3+2×32， …e2（n﹣1）＞1+2（n﹣1）+2（n﹣1）2， ∴＞n+2[1+2+3+…+（n﹣1）]+2[12+22+…+（n﹣1）2] =． 所以≥（n=1时取等号）． 20. 已知函数，且，． （Ⅰ）求函数的单调区间；                （Ⅱ）求函数的极值． 参考答案： （Ⅰ）由……………1分   又，解得    ………………………3分 所以    ……………………………  4分 令  …………………………5分 …………………………6分 ………………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：的变化情况如下表： x 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值0 单调递增 ………………………………10分 , 有极大值，且极大值为   ，有极小值，且极小值为………………………………12分 21. （本小题满分14分）已知函数，其中. （Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式； （Ⅱ）讨论函数的单调性； （Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.     参考答案： （Ⅰ）解：，由导数的几何意义得，于是． 由切点在直线上可得，解得． 所以函数的解析式为． （Ⅱ）解：． 当时，显然（）．这时在，上内是增函数． 当时，令，解得． 当变化时，，的变化情况如下表： 所以在，内是增函数，在，内是减函数． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．  从而得，所以满足条件的的取值范围是． 略 22.   23.（本小题满分12分） 已知三棱锥的底面是直角三角形，且，平面， ，是线段的中点，如图所示.    （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积.                                                                                                              参考答案： 略