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江苏省常州市溧阳周城中学2022-2023学年高二数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在公比为整数的等比数列中,如果那么该数列的前项之和为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
2. 若则目标函数的取值范围是
A.[2,6] B.[2,5] C.[3,6] D.[3,5]
参考答案:
A
略
3. 在的展开式中,的系数为( )
A. -120 B. 120 C. -15 D. 15
参考答案:
C
【分析】
写出展开式的通项公式,令,即,则可求系数。
【详解】的展开式的通项公式为,令,即时,系数为。故选C
【点睛】本题考查二项式展开的通项公式,属基础题。
4. 若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )
A. (-∞,2] B. [2,+∞)
C. [-2,+∞) D. (-∞,-2]
参考答案:
B
由f(1)=得a2=,
∴a=或a=- (舍),
即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.
5. 函数导数是( )
A.. B. C. D.
参考答案:
C
略
6. 曲线的极坐标方程化为直角坐标为( )。
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
7. 已知①正方形的对角线相等,②矩形的对角线相等,③正方形是矩形。根据“三段论”推理出一个结论,则这个结论是 ( )
A.正方形的对角线相等 B.矩形的对角线相等
C.正方形是矩形 D.其它
参考答案:
C
略
8. ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D.
参考答案:
A
略
9. 给出下列各命题
①物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量;
②温度有零上温度和零下温度,因此温度也是向量;
③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量;
④坐标平面上的x轴和y轴都是向量.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
参考答案:
B
10. 曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x﹣y﹣6=0垂直,则a等于( )
A.1 B. C. D.﹣1
参考答案:
C
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率;利用直线垂直它们的斜率乘积等于﹣1列方程求解.
【解答】解:∵y=ax2,
∴y'=2ax,
于是切线的斜率k=y'|x=1=2a,
∵切线与直线2x﹣y﹣6=0垂直,
∴2a×2=﹣1
∴a=﹣
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个农民有田2亩,根据他的经验,若种水稻,则每亩每期产量为400千克;若种花生,则每亩每期产量为100千克。但水稻成本较高,每亩每期需240元,而花生只要80元,且花生每千克可卖5元,水稻每千克只卖3元。现在他只能凑400元。问这位农民两种作物各种多少亩,才能得到最大利润?
参考答案:
略
12. 若方程表示圆,则实数的值为 ▲ .
参考答案:
13. 如图是甲,乙两名同学5次综合测评成绩的茎叶图,甲乙两人中成绩较为稳定的是
参考答案:
甲
【考点】茎叶图.
【分析】分别求出甲、乙的平均数和方差,由此能求出结果.
【解答】解: =(87+89+91+92+93)=90.4,
= [(87﹣90.4)2+(89﹣90.4)2+(91﹣90.4)2+(92﹣90.4)2+(93﹣90.4)2]=4.64.
=(83+85+96+91+95)=90,
2= [(83﹣90)2+(85﹣90)2+(96﹣90)2+(91﹣90)2+(95﹣90)2]=27.2.
∴<,
∴甲乙两人中成绩较为稳定的是甲.
故答案为:甲.
14. 用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设( )
A.没有一个内角是钝角 B.至少有一个内角是钝角
C.至少有两个内角是锐角 D.至少有两个内角是钝角
参考答案:
D
【考点】反证法与放缩法.
【分析】反证法即假设结论的反面成立,“最多有一个”的反面为“至少有两个”.
【解答】解:∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”,反证即假设原命题的逆命题正确
∴应假设:至少有两个角是钝角.
故选:D.
15. 在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD
A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为________.
参考答案:
略
16. 圆心在原点上与直线相切的圆的方程为 。
参考答案:
17. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若为底面的中心,则与平面所成的角的大小为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,半圆O的直径AB的长为4,点C平分弧AE,过C作AB的垂线交AB于D,交AE干F.
(I)求证::
(II)若AE是CAB的角平分线,求CD的长.
参考答案:
19. 已知函数f(x)=e2x﹣1﹣2x﹣kx2
(Ⅰ)当k=0时,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若x≥0时,f(x)≥0恒成立,求k的取值范围.
(Ⅲ)试比较与(n∈N*)的大小关系,并给出证明:()
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题;导数在最大值、最小值问题中的应用.
【分析】(I)求得函数f(x)的导数,由导数大于0,可得增区间;导数小于0,可得减区间;
(II)求出f(x)的导数f′(x),再求导数f''(x),讨论k的范围,①当2k≤4即k≤2时,②当2k>4即k>2时,求出导数符号,确定单调性,即可得到所求范围;
(Ⅲ)由(II)知,e2x≥1+2x+2x2,令x=1,2,…,n﹣1,可得n﹣1个不等式,累加,运用不等式的性质和求和公式,即可得到所求大小关系.
【解答】解:(I)函数f(x)=e2x﹣1﹣2x的导数为f′(x)=2(e2x﹣1),
∵x>0时f′(x)>0,x<0时f′(x)<0,
∴单调递增区间为(0,+∞);单调递减区间为(﹣∞,0);
(II)f(x)的导数为f′(x)=2e2x﹣2﹣2kx,f''(x)=4e2x﹣2k,
①当2k≤4即k≤2时,f''(x)>0?f′(x)单调递增?f′(x)≥0?f(x)单调递增
?f(x)≥f(0)=0恒成立,∴k≤2使原式成立;
②当2k>4即k>2时,?x0>0使x∈[0,x0)时f''(x)<0?f′(x)单调递减
?f′(x)≤f′(0)=0?f(x)单调递减?f(x)<f(0)=0不满足条件.
综上可得,k≤2;
(Ⅲ)由(II)知,当k=2时,e2x﹣1﹣2x﹣kx2≥0成立,即e2x≥1+2x+2x2,
取x=n得e2n>1+2n+2n2,e2>1+2+2,e4>1+2×2+2×22,e6>1+2×3+2×32,
…e2(n﹣1)>1+2(n﹣1)+2(n﹣1)2,
∴>n+2[1+2+3+…+(n﹣1)]+2[12+22+…+(n﹣1)2]
=.
所以≥(n=1时取等号).
20. 已知函数,且,.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求函数的极值.
参考答案:
(Ⅰ)由……………1分
又,解得 ………………………3分
所以
…………………………… 4分
令 …………………………5分
…………………………6分
………………………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:的变化情况如下表:
x
1
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值0
单调递增
………………………………10分
, 有极大值,且极大值为
,有极小值,且极小值为………………………………12分
21. (本小题满分14分)已知函数,其中.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线方程为,求函数的解析式;
(Ⅱ)讨论函数的单调性;
(Ⅲ)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)解:,由导数的几何意义得,于是.
由切点在直线上可得,解得.
所以函数的解析式为.
(Ⅱ)解:.
当时,显然().这时在,上内是增函数.
当时,令,解得.
当变化时,,的变化情况如下表:
所以在,内是增函数,在,内是减函数.
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,在上的最大值为与的较大者,对于任意的,不等式在上恒成立,当且仅当,即,对任意的成立. 从而得,所以满足条件的的取值范围是.
略
22.
23.(本小题满分12分)
已知三棱锥的底面是直角三角形,且,平面,
,是线段的中点,如图所示.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
参考答案:
略
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