江苏省宿迁市宿城区实验高级中学高三数学文上学期期末试题含解析

江苏省宿迁市宿城区实验高级中学高三数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某个几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积是（　）       (A)     (B)    (C)    (D) 参考答案： B 由三视图可知该几何体为棱长均为2的正三棱柱，设球心为,小圆的圆心为球半径为,小圆的半径为，则，即，，选B． 2. 设不等式组所表的平面区域为，现向区域内随机投一点，且该点又落在曲线与围成的区域内的概率是（    ） （A）             （B）               （C）           （D） 参考答案： B 略 3. 若向量，且与共线，则实数的值为(    ) A． B．1 C．2 D． 0 参考答案： A 略 4. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题： ①若；　　　　 ②若； ③如果相交； ④若 其中正确的命题是 （    ）     A．①②             B．②③           C．③④            D．①④ 参考答案： D 5. 设，记为除以所得的余数．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值等于(     ) A. B. C. D. 参考答案： C 因为,所以,选C. 6. 双曲线（）的两个焦点为，若P为其上的一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（　 　） (A) (B) (C) (D) 参考答案： B 略 7. 设集合U={0，1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则等于（    ）     A. {5}    B. {0，3}    C. {0，2，3，5}    D. {0，1，3，4，5} 参考答案： B 8. 已知抛物线的焦点为F，，直线MF交抛物线于A，B两点，且M为AB的中点，则P的值为（    ） A. 3 B. 2或4 C. 4 D. 2 参考答案： B 设， 两式相减得 为的中点， 代入 解得或 故选 点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，在解题过程中运用了点差法来求解，先设出两点坐标，代入曲线方程，做减法运算，利用中点坐标，转化为斜率问题，即可求出答案，设而不求，当遇到直线与曲线中含有中点时可以采用点差法。 9. 已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x}，若M∪N＝{0，1，2，3}，则x的值为(    ) A．3            B．2      C．1     D．0 参考答案： A 10. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是 A．   B．   C．    D． 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某算法的程序框图如图所示，则改程序输出的结果为　　． 参考答案： 【考点】程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=10时，不满足条件i≤9，退出循环，由裂项法即可计算可得输出S的值． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 i=1，S=0， 满足条件i≤9，执行循环体，S=，i=2 满足条件i≤9，执行循环体，S=+，i=3 … i=9， 满足条件i≤9，执行循环体，S=++…+，i=10 不满足条件i≤9，退出循环，输出S=++…+=1﹣=． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查． 12. 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=      参考答案： 4 13. 复数的值等于__________． 参考答案： 1 14. 语句： S=0 i=1 Do S=S+i i=i+2 Loop while S≤200 n=i－2 Output n        则正整数n=            . 参考答案： 29 略 15. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　． 参考答案： 80 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是下部正方体，上部是四棱锥的组合体，求出它的体积即可． 【解答】解：根据几何体的三视图知， 该几何体是下部是楞长为4的正方体，上部是高为3的四棱锥的组合体， ∴该几何体的体积是 V组合体=V正方体+V四棱锥=43+×42×3=80． 故答案为：80． 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求几何体的体积的应用问题，是基础题． 16. 如图，在中，,D是AC上一点，E是BC上一点，若.,,则BC=         参考答案： 17. 在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，，则C的参数方程为    ▲   ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB=2，tanC=3． （1）求角A的大小； （2）若c=3，求b的长． 参考答案： 【分析】（1）利用两角和的正切函数公式表示出tan（B+C），把tanB和tanC的值代入即可求出tan（B+C）的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式得到tanA等于﹣tan（B+C），进而得到tanA的值，结合A的范围即可得解； （2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，sinC的值，进而利用正弦定理即可得解b的值． 【解答】（本题满分为10分） 解：（1）因为：tanB=2，tanC=3，tan（B+C）===﹣1，…（3分） 因为：A=180°﹣B﹣C，（4分） 所以：tanA=tan（180°﹣（B+C））=﹣tan（B+C）=1… 因为：A∈（0，π）， 所以：A=． （2）因为：c=3，tanB=2，tanC=3． 所以：sinB=，sinC=， 所以由正弦定理可得：b===2…（10分） 【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题． 19. （本小题满分12分） 已知函数. （I）求函数的单调递减区间； （II）当时，函数的最小值是，求的最大值. 参考答案： 【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．C3 C7 （Ⅰ）；（Ⅱ） 解析：（Ⅰ） ， 令，得， 的单调递减区间 .            ……6分 （Ⅱ），, ； ，令 所以.                         ……………12分 【思路点拨】（Ⅰ）利用三角恒等变换，将函数整理，即可求得函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）依题意，即可求得a的值，继而可得的最大值． 20. （14分） 已知函数，数列是公差为d的等差数列，是公比为q （）的等比数列.若      (Ⅰ)求数列，的通项公式；      (Ⅱ)设数列对任意自然数n均有，求 的值； (Ⅲ)试比较与的大小. 参考答案： 解析：(Ⅰ) ∵ ， ∴ . 即 ， 解得 d =2. ∴ .  ∴ . ………………………………… 2分 ∵ , ∴ . ∵ ,  ∴ . 又， ∴ .………………………………………… 4分 (Ⅱ) 由题设知 ， ∴.      当时, ,   ,      两式相减,得.      ∴  (适合).…………………………… 7分      设T=, ∴            两式相减 ,得 . ∴ .………………………………………………… 9分 (Ⅲ) ,   .          现只须比较与的大小.          当n=1时, ；          当n=2时, ；          当n=3时, ；          当n=4时, .          猜想时，.          用数学归纳法证明          (1)当n=2时，左边，右边，成立.          (2)假设当n=k时, 不等式成立，即.             当n=k+1时, .              即当n=k+1时，不等式也成立.              由（1）（2），可知时，都成立.              所以 （当且仅当n＝1时，等号成立）              所以.即. …………………………… 14分 21. 如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD=，AC=，cos∠ADB=﹣． （1）求sin∠C的值； （2）若BD=5，求△ABD的面积． 参考答案： 【考点】HP：正弦定理． 【分析】（Ⅰ）由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由．利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解． （Ⅱ）先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式即可得解． 【解答】（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为， 所以． 又因为， 所以． 所以 =． …（7分） （Ⅱ）在△ACD中，由，得． 所以．…（13分） 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值，正弦定理，三角形面积公式等知识的综合应用，考查了数形结合能力和转化思想，考查了计算能力，属于中档题． 22. (本小题满分14分)   如图，在三棱锥中，底面， 点，分别在棱上，且 （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的正弦值； （Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由. 参考答案： （Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC. 又，∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面PAC………….4分 （Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC， ∴， 又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC，垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB， ∴△ABP为等腰直角三角形，∴， ∴在Rt△ABC中，，∴. ∴在Rt△ADE中，， ∴与平面所成的角的正弦值为.…………9分 （Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC， 又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE， ∴∠AEP为二面角的平面角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴. ∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时， 故存在点E使得二面角是直二面角…………..14分 【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，         设，由已知可得        .        （Ⅰ）∵， ∴，∴BC⊥AP. 又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC. （Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点， ∴， ∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角， ∵， ∴. ∴与平面所成的角的大小.