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江苏省淮安市东方双语学校2022-2023学年高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设,, ,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 若函数f(x)=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
f (1)=﹣2
f (1.5)=0.625
f (1.25)=﹣0.984
f (1.375)=﹣0.260
f (1.4375)=0.162
f (1.40625)=﹣0.054
那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根(精确到0.1)为( )
A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5
参考答案:
C
【考点】二分法求方程的近似解.
【专题】应用题.
【分析】由图中参考数据可得f(1.43750>0,f(1.40625)<0,又因为题中要求精确到0.1可得答案.
【解答】解:由图中参考数据可得f(1.43750)>0,f(1.40625)<0,又因为题中要求精确到0.1,
所以近似根为 1.4
故选 C.
【点评】本题本题主要考查用二分法求区间根的问题,属于基础题型.在利用二分法求区间根的问题上,如果题中有根的精确度的限制,在解题时就一定要计算到满足要求才能结束.
3. 已知-7,,,-1四个实数成等差数列,-4,,,,-1五个实数成等比数列,则=
A.1 B.-1 C.2 D.±1
参考答案:
B
4. 设集合,集合,则
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 已知函数,则=( )
A.9 B. C.-9 D.
参考答案:
B
略
6. 如果有意义,那么的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
7. 函数的零点有两个,求实数m的取值范围( )
A. B. 或 C. 或 D.
参考答案:
B
【分析】
由题意可得,的图象(红色部分)和直线有2个交点,数形结合求得的范围.
【详解】由题意可得的图象(红色部分)和直线有2个交点,如图所示:
故有或,
故选:B.
【点睛】已知函数零点(方程根)的个数,求参数取值范围的三种常用的方法:(1)直接法,直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法,先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法,先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.一是转化为两个函数的图象的交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数,二是转化为的图象的交点个数问题 .
8. 有以下几个数列:⑴ a n =,⑵ S n = n ( 2 – 3 n ),⑶ a n + a n +1 = 2 a n + 2,⑷ a n =,⑸ a n a n + 2 = a,⑹ a n =log 2 6 n,其中是等差数列的有( )
(A)⑴⑶ (B)⑵⑷ (C)⑶⑸ (D)⑵⑹
参考答案:
D
9. 三个平面两两相交,只有一条公共直线,这三个平面把空间分成( )部分.
A.5 B.6 C.7 D.8
参考答案:
B
略
10. 已知,那么角等于( )
A. B. 或 C.或 D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知.若,则=______.
参考答案:
略
12. 已知φ∈(0,π),若函数f(x)=cos(2x+φ)为奇函数,则φ= .
参考答案:
【考点】余弦函数的图象.
【分析】根据余弦函数的图象和性质即可得到结论.
【解答】解:若函数f(x)=cos(2x+φ)为奇函数,
则φ=+kπ,k∈Z,
又φ∈(0,π),
所以φ=.
故答案为:.
13. 已知,则 .
参考答案:
14. 已知角的终边与函数决定的函数图象重合,的值为_____________.
参考答案:
解析:在角的终边上取点
15. 不等式组的解的集合为A,U=R,则CUA=____▲_____.
参考答案:
(-∞,2)
解不等式组得,所以,
∴.
答案:
16. 已知函数f(x)=3sin(ωx+φ),(ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离为2,则f(1)+f(2)+…+f(2016)= .
参考答案:
0
考点: 正弦函数的图象.
专题: 三角函数的求值.
分析: 直接利用图象对称轴的距离,求出函数的周期,继而求出f(x)=3sin(x+φ),分别求出f(1),f(2),f(3),f(4)的值,发现其规律得到答案.
解答: 解:函数f(x)=3sin(ωx+φ),(ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离为2,
∴周期为4,则ω==,
∴f(x)=3sin(x+φ),
∴f(1)=3sin(+φ)=3cosφ,
f(2)=3sin(π+φ)=﹣3sinφ,
f(3)=3sin(+φ)=﹣3cosφ,
f(4)=3sin(2π+φ)=3sinφ,
∴f(1)+f(2)+…+f(2016)=504[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0,
故答案为:0.
点评: 本题考查函数周期的求法以及归纳推理好三角函数的诱导公式,涉及三角函数的图象的应用,考查计算能力.
17. 已知||=2,||=3,=-1,那么向量与的夹角为=
参考答案:
120
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图13-4,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=,CD⊥AB,D为垂足.沿CD将△ABC对折,连接AB,使得AB=.
(1)对折后,在线段AB上是否存在点E,使CE⊥AD?若存在,求出AE的长;若不存在,说明理由;
(2)对折后,求二面角B-AC-D的平面角的正切值.
图13-4
参考答案:
(1)在线段AB上存在点E,使CE⊥AD.
由等腰直角△ABC可知对折后,CD⊥AD,CD⊥BD,AD=BD=1.
在△ABD中,cos∠ADB===-,
∴∠ADB=120°,∠BAD=∠ABD=30°.
如图,过D作AD的垂线,与AB交于点E,点E就是满足条件的唯一点.理由如下:
连接CE,∵AD⊥DE,AD⊥CD,DE∩CD=D,∴AD⊥平面CDE,∴AD⊥CE,
即在线段AB上存在点E,使CE⊥AD.
在Rt△ADE中,∠DAE=30°,AD=1,得AE===.
(2)对折后,如图,作DF⊥AC于F,连接EF,
∵CD⊥AD,CD⊥BD,AD∩BD=D,∴CD⊥平面ADB,
∴平面ACD⊥平面ADB.
∵DE⊥AD,且平面ACD∩平面ADB=AD,
∴ED⊥平面ACD.
而DF⊥AC,所以AC⊥平面DEF,
即∠DFE为二面角B-AC-D的平面角.
在Rt△ADE中,∠DAE=30°,AD=1,
得DE=ADtan∠DAE=1×=,
在Rt△ADF中,∠DAF=45°,AD=1,
得FD=ADsin∠DAF=1×=.
在Rt△EDF中,∠EDF=90°,tan∠DFE===,
即二面角B-AC-D的平面角的正切值等于.
19. (本题10分)不用计算器求下列各式的值:
(1);
(2).
参考答案:
(1)原式=(2分)
=(2分)
=8(1分)
(2)原式=(2分)
=
=(2分)
=2(1分)
20. 已知集合,集合,若,求实数的取值范围.
参考答案:
解1:因为,所以方程有负根;……………………1分
设方程的根为
1) 恰有一个负根:或,………………………3分
解得:………………………5分
即………………………6分
2) 恰有2个负根:………………………7分
解得:………………………8分
即………………………9分
所以的取值范围是………………………10分
解2:因为有负根,所以有解,
设,
令,换元得
所以
21. 已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)求在区间上的取值范围.
参考答案:
(1)
(2)
,
【解析】略
22. 已知函数f(x)=x2+2x|x﹣a|,其中a∈R.
(Ⅰ)当a=﹣1时,在所给坐标系中作出f(x)的图象;
(Ⅱ)对任意x∈[1,2],函数f(x)的图象恒在函数g(x)=﹣x+14图象的下方,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若关于x的方程f(x)+1=0在区间(﹣1,0)内有两个相异根,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】函数的图象;函数与方程的综合运用.
【专题】综合题;分类讨论;转化思想;分类法;函数的性质及应用.
【分析】(Ⅰ)依题意当a=﹣1时,,据此可作出图象.
(Ⅱ)由题意,对任意x∈[1,2],只需(f(x)+x)max<14.分类讨论求得(f(x)+x)max ,可得实数a的取值范围.
(Ⅲ)记F(x)=f(x)+1,考虑F(x)在区间(﹣1,0)内有两个不同的零点即可.分类讨论,求得a的范围.
【解答】解:(Ⅰ)依题意当a=﹣1时,,
据此可作出图象如下:
(Ⅱ)由题意,对任意x∈[1,2],f(x)<g(x),即f(x)+x<14恒成立,
只需(f(x)+x)max<14.
另一方面,f(x)=,即 f(x)=.
当a≥0时,f(x)在(﹣∞,a)和(a,+∞)上均递增,∵f(a)=a2,则f(x)在R上递增,
当a<0时,f(x)在(﹣∞,a)和上递增,在上递减,
故f(x)在x∈[1,2]上恒单调递增,从而y=f(x)+x在x∈[1,2]上也恒单调递增,
则(f(x)+x)max=f(2)+2=4+4|2﹣a|+2<14,即|2﹣a|<2,解得0<a<4,
故实数a的取值范围是(0,4).
(Ⅲ)记F(x)=f(x)+1,考虑F(x)在区间(﹣1,0)内有两个不同的零点即可.
此时,,即,
则由(Ⅱ)可知,
当a≥0时,F(x)=f(x)+1在R上递增,方程f(x)+1=0在区间(﹣1,0)内至多有一个根,不符合要求,舍去;故a<0.
当x≤a时,令F(x)=0,可得(不符合x≤a,舍去)或,
但,不在区间(﹣1,0)内.
当x>a时,F(x)=3x2﹣2ax+1在区间(﹣1,0)内必有两个不同的零点,从而(﹣1,0)?(a,+∞),
所以,解得.
【点评】本题主要考查函数的图象,函数与方程的综合应用,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.
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