河北省衡水市王常乡北寺中学2022年高一数学理联考试题含解析

河北省衡水市王常乡北寺中学2022年高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知点O，N在△ABC所在的平面内，且，则点O,N依次是△ABC的（   ） A.外心，内心  B.外心，重心   C.重心，外心   D.重心，内心 参考答案： B 2. 如果A=，那么  （    ） A．        B．       C．       D． 参考答案： D 略 3. 事件分为必然事件、随机事件和不可能事件，其中随机事件A发生的概率的范围是（   ） A．        B．      C．      D． 参考答案： D 必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，随机事件的概率在[0,1]上，   4. 从一批产品中取出三件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件B为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（    ） A. 事件A与C互斥 B. 事件B与C互斥 C. 任何两个事件均互斥 D. 任何两个事件均不互斥 参考答案： B 【分析】 根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项。 【详解】为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，为三件产品全是次品， 为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件 由此知：与是互斥事件；与是包含关系，不是互斥事件；与是互斥事件，故选B． 【点睛】本题主要考查互斥事件定义的应用。 5. 函数一定存在零点的区间是（    ）． A． B． C． D． 参考答案： B ∵在上单调递增， 以上集合均属于，根据零点存在定理， ∴， 易知选项符合条件， ∴选择． 6. 函数的最大值是 （    ） A．        B．      C. 1        D． 参考答案： B ，故最大值为.   7. 函数，若，则的值为                     (    ） A．3             B．0              C．-1             D．-2 参考答案： B 8. 与角﹣终边相同的角是(    ) A． B． C． D． 参考答案： C 考点：终边相同的角． 专题：三角函数的求值． 分析：与﹣终边相同的角为 2kπ﹣，k∈z，选择适当k值，得到选项． 解答： 解：与﹣终边相同的角为 2kπ﹣，k∈z，当 k=1时，此角等于， 故选：C． 点评：本题考查终边相同的角的定义和表示方法，得到与﹣终边相同的角为2kπ﹣，k∈z，是解题的关键． 9. 在等比数列中,, 若对正整数都有, 那么公比的取值范围是                                                   A .               B.        C.         D. 参考答案： B 略 10. 设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（  ） A.              B.2               C.         D.4 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知||=||=1，|+|=1，则|﹣|=　    　． 参考答案： 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】法一、由已知求出，然后求出，开方后得答案； 法二、由题意画出图形，然后求解直角三角形得答案． 【解答】解：法一、由||=||=1，|+|=1，得 ，即， ∴， 则|﹣|=； 法二、由题意画出图形如图， 设， 则图中A、B两点的距离即为|﹣|． 连接AB后解直角三角形可得|AB|=． 故答案为：． 12. 定理：三角形的外心O、重心G、垂心H依次在同一条直线（欧拉线）上，且，其中外心O是三条边的中垂线的交点，重心G是三条边的中线的交点，垂心H是三条高的交点．如图，在△ABC中，，，M是边BC的中点，AH⊥BC（N是垂足），O是外心，G是重心，H是垂心， ，则根据定理可求得的最大值是          ． 参考答案： 13. 若关于x的不等式的解集为(0,n)，则实数n的值为          ． 参考答案： 2 ∵关于x的不等式的解集为， ∴是方程的解， ∴， ∴原不等式为，即， 解得， 故不等式的解集为， ∴．   14. 在平行四边形中，,则点坐标为         [ 参考答案： 15. 已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的取值范围　　． 参考答案： （，） 【考点】等比数列的性质． 【分析】设三边：a、qa、q2a、q＞0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b＞c，把a、qa、q2a、代入，分q≥1和q＜1两种情况分别求得q的范围，最后综合可得答案． 【解答】解：设三边：a、qa、q2a、q＞0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b＞c，即 （1）当q≥1时a+qa＞q2a，等价于解二次不等式：q2﹣q﹣1＜0，由于方程q2﹣q﹣1=0两根为：和， 故得解：＜q＜且q≥1， 即1≤q＜． （2）当q＜1时，a为最大边，qa+q2a＞a即得q2+q﹣1＞0，解之得q＞或q＜﹣且q＞0 即q＞，所以＜q＜1 综合（1）（2），得：q∈（，）． 故答案为：（，）． 16. 已知α，β∈（0，），sin（α﹣β）=，cosβ=，则sinα=　　． 参考答案： 【考点】两角和与差的正弦函数． 【分析】利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的正弦函数化简求解即可． 【解答】解：α，β∈（0，），sin（α﹣β）=，cosβ=， 可得cos（α﹣β）==． sinβ==． sinα=sin（α﹣β+β）=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinα==． 故答案为：． 17. （5分）已知函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上的最小值是﹣2，则ω的最小值是     ． 参考答案： 考点： 三角函数的最值． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 先根据函数在区间上的最小值是﹣2确定ωx的取值范围，进而可得到或，求出ω的范围得到答案． 解答： 函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上的最小值是﹣2， 则ωx的取值范围是， 当ωx=﹣+2kπ，k∈Z时，函数有最小值﹣2， ∴﹣+2kπ≤﹣，k∈Z， ∴﹣6k≤ω，k∈Z， ∵ω＞0，∴ω的最小值等于． 故答案为：． 点评： 本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力．三角函数式高考的重要考点，一定要强化复习． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分） 函数的图象如下， （1） 求它的解析式。 （2） 若对任意实数，则有，求实数的取值范围。 参考答案： （1）（2） 19. （本小题满分12分） 已知是奇函数，当时， （1）当时，求的解析式； （2）用定义证明：在（0，+）上是减函数。 参考答案： 当时，，   由于是奇函数，于是，   所以当时，。              .............. 6分 （II）证明：设，是（0，+）上的任意两个实数，且，则 由，得，， 于是，即 所以函数在（0，+）上是减函数。  ........12分    20. (本题满分14分)已知，点是圆上的点，是线段的中点. （Ⅰ）求点的轨迹的方程． （Ⅱ）过点的直线和轨迹有两个交点（不重合），①若，,求直线的方程．②求的值． 参考答案： （Ⅰ）设，则关于的对称点为， ∵点是圆上的点， ∴，即， 所以轨迹的方程是．………………………………3分 （Ⅱ）① 设，由题意，直线的斜率存在，设为，则直线的方程是, 由方程组　得，， 由,得 ∴，………………………………6分 ∵，∴, ∴, ∴， 解得，，∴直线的方程是， 即直线的方程是或．………………………………10分 【另解】设坐标原点为，作，垂足为． ∵，∴, 由（I）可知，,∴. 又，∴， ∴. ∴直线的斜率，∴直线的方程是， 即直线的方程是或．………………………………10分 ②　由①可得　 ．………………………………13分 ∴． 所以,的值是16．………………………………14分 注：第②小题，如果考生证∽，从而得出（其中是直线和圆相切时的切点），证明完整,得满分，没有证明，直接用者，最多得2分. 21. （12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinC=ccosA． （1）求角A的大小； （2）若b=6，c=3，求a的值． 参考答案： 【考点】三角形中的几何计算． 【分析】（1）由正弦定理由asinC=ccosA．得，可求A； （2）由余弦定理得a． 【解答】解：（1）∵asinC=ccosA．由正弦定理得sinAsinC=sinCcosA，…（2分） ∵sinC≠0，∴∴sinA=，即tanA=， ∴A=60°，…（6分） （2）由余弦定理得a===3． 【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的综合应用．属于中档题． 　 22. （本小题满分12分） 某校为“市高中数学竞赛”进行选拔性测试， 规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90 分以下(不包括90分)的则被淘汰．现有100人参 加测试，测试成绩的频率分布直方图如图（4）.                                  (1)求获得参赛资格的人数； (2)根据频率分布直方图，估算这100名学生测试 的平均成绩； (3)现在成绩、 （单位：分） 的同学中采用分层抽样机抽取5人，按成绩从低到 高编号为，从这5人中任选2人，求至少有1人的成绩在的概率． 参考答案： 解： (1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为： 100×(0.0050＋0.0045＋0.0030)×20＝25人．----------------3分 (2)设100名学生的平均成绩为，则 ＝[×0.0065＋×0.0140＋×0.0170＋×0.0050＋×0.0045＋×0.0030]×20＝78.4分．------------------------------------6分 (3) 成绩在的人数为100×0.0045×20=9人，成绩在的人数为100×0.0030×20=6人，所以应从成绩在中抽取×5=2人，从成绩在中抽取×5=3人，故，----------------------------------8分 从中任取两人，共有 十种不同的情况，-----------10分 其中含有的共有7种，所以至少有1人的成绩在的概率为．-----12分 略