广西壮族自治区桂林市白石中学高一数学文联考试卷含解析

广西壮族自治区桂林市白石中学高一数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某中学举行英语演讲比赛，如图是七位评委为某位学生打出分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的中位数和平均数分别为（    ） A. 84，85 B. 85，84 C. 84，85.2 D. 86，85 参考答案： A 【分析】 剩余数据为：84.84,86,84,87，计算中位数和平均数. 【详解】剩余数据为：84.84,86,84,87 则中位数为：84 平均数为： 故答案为A 【点睛】本题考查了中位数和平均数的计算，属于基础题型. 2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S17＜0，S18＜0，则，，…，中最大的项为（　　） A． B．C． D． 参考答案： C 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】由题意可得a9＞0，a10＜0，由此可得＞0，＞0，…，＞0，＜0，＜0，…，＜0，再结合S1＜S2＜…＜S9，a1＞a2＞…＞a9，可得结论． 【解答】解：∵等差数列{an}中，S17＞0，且S18＜0，即S17=17a9＞0，S18=9（a10+a9）＜0， ∴a10+a9＜0，a9＞0，∴a10＜0，∴等差数列{an}为递减数列， 故可知a1，a2，…，a9为正，a10，a11…为负； ∴S1，S2，…，S17为正，S18，S19，…为负， 则＞0，＞0，…，＞0，＜0，＜0，…，＜0， 又∵S1＜S2＜…＜S9，a1＞a2＞…＞a9，∴最大， 故选：C 【点评】本题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，属中档题． 　 3. 将函数的图象向左平移个单位，则平移后的函数图象（      ） (A ) 关于直线对称             (B) 关于直线对称  (C) 关于点对称              ( D)  关于点对称 参考答案： A 略 4. 下列四个关系中，正确的是（  ） A．   B．  C．   D． 参考答案： A 略 5. 若满足，则△ABC为（        ） A. 等边三角形 B. 有一个内角为30°的直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 有一个内角为30°的等腰三角形 参考答案： C 【分析】 由正弦定理结合条件可得，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状. 【详解】由正弦定理可知，又， 所以，有. 所以.所以. 所以为等腰直角三角形. 故选C. 6. 已知函数，若关于x的方程f（x）=k有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣4） B．[﹣4，﹣3] C．（﹣4，﹣3] D．[﹣3，+∞） 参考答案： C 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】作出函数的图象，结合图象，能求出实数k的取值范围． 【解答】解：作出函数的图象，如下图： ∵关于x的方程f（x）=k有三个不等的实根， ∴函数的图象与直线y=k在三个不同的交点， 结合图象，得：﹣4＜k≤﹣3． ∴实数k的取值范围是（﹣4，﹣3]． 故选C． 7. （5分）已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（） A． （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B． （﹣1，2） C． （﹣2，1） D． （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） 参考答案： C 考点： 函数单调性的性质；其他不等式的解法． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式． 解答： 由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a 即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1． 故选C 点评： 此题重点考查了分段函数的求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关． 8. 已知非零向量与满足且, 则为                       (　　)  等边三角形   直角三角形    等腰非等边三角形   三边均不相等的三角形 参考答案： A 略 9. 已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围 A. B. C. D. 参考答案： B 10. 若sinθ=，cosθ=，且θ的终边不落在坐标轴上，则tanθ的值为（　　） A． B．或0 C．0 D．以上答案都不对 参考答案： A 【考点】任意角的三角函数的定义． 【分析】由sin2θ+cos2θ===1，求出k，由此有求出tanθ． 【解答】解：∵sinθ=，cosθ=，且θ的终边不落在坐标轴上， ∴sin2θ+cos2θ===1， 解得k=﹣7或k=1（舍）， ∴sinθ===， cosθ===， ∴tanθ==． 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知直线，若a、b、c成等差数列，则当点P(2,1)到直线l的距离最大时，直线l的斜率是____. 参考答案： 【分析】 由已知得直线过定点，根据点到直线距离定义求解. 【详解】根据题意得即， 直线的方程为， 可化为， 所以直线过点， 若点到直线的距离最大，则直线 ， 所以，解得. 【点睛】本题考查等差数列，直线方程的应用，两直线垂直的斜率关系.   12. 在中，若，，且最长的边的长为，则最短的边的的长等于 ． 参考答案： 　　 13. 已知，若，则_______ 参考答案： 14. 数列，……的一个通项公式为                        参考答案： 略 15. 已知向量=（2，1），=10，|+|=5，则||=　    　． 参考答案： 5 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题． 【分析】求出，求出|+|的平方，利用，即可求出||． 【解答】解：因为向量=（2，1），所以=． 因为=10， 所以|+|2==5+2×10+=， 所以=25，则||=5． 故答案为：5． 【点评】本题考查向量的模的求法，向量数量积的应用，考查计算能力． 16. 以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体的表面积为          ． 参考答案： 3π 以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体为圆锥，圆锥的底面半径，母线长， 该几何体的表面积为：.   17. 由正整数组成的一组数据a，b，c，d，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________。（从小到大排列） 参考答案： 1133 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 是否存在实数 a，使函数f（x）=cos2x+2asinx+3a﹣1在闭区间上的最大值为 4，若存在，则求出对应的 a 值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】函数的最值及其几何意义． 【分析】化简函数f（x），分a≤﹣1时，﹣1＜a＜1时，a≥1时，利用函数的单调性即可求出答案． 【解答】解：f（x）=cos2x+2asinx+3a﹣1=1﹣sin2x+2asinx+3a﹣1=﹣sin2x+2asinx+3a=﹣（sinx﹣a）2+3a+a2，sinx∈[﹣1，1]， 令sinx=t，t∈[﹣1，1]， ∴f（t）=﹣（t﹣a）2+3a+a2对称轴为t=a， 当a≤﹣1时，函数f（t）在[﹣1，1]上是减函数，∴f（x）max=f（﹣1）=a﹣1=4，解得a=5，舍去 当﹣1＜a＜1时，函数f（t）在[﹣1，a]上为增函数，在（a，1）上为减函数，∴f（x）max=f（a）=3a+a2=4，解得a=1或a=﹣4，舍去， 当a≥1时，函数f（t）在[﹣1，1]上是增函数，∴f（x）max=f（1）=5a﹣1=4，解得a=1， 综上所述，存在实数a=1，使函数f（x）=cos2x+2asinx+3a﹣1在闭区间上的最大值为 4 19. 已知函数为定义在上的奇函数，且当时，函数， 试求函数的解析式 试求函数在上的值域。   参考答案： 略 20. 已知函数f（x）=x2+4ax+2a+6． （1）若函数f（x）=log2  f（x）的最小值为2，求a的值； （2）若对任意x∈R，都有f（x）≥0成立，求函数g（a）=2﹣a|a+3|的值域． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质． 【分析】（1）因为函数f（x）=log2  f（x）的最小值为2，即f（x）的最小值为4；关键在于2a+6﹣4a2=4． （2）函数f（x）≥0恒成立，所以△≤0；同时可得g（a）在区间[﹣1，]单调递减，即可求出g（a）的值域． 【解答】解：（1）函数f（x）=log2f（x）的最小值为2，即f（x）的最小值为4； ∵f（x）=x2+4ax+2a+6=（x+2a）2+2a+6﹣4a2≥4； ∴2a+6﹣4a2=4?a=1 或 a=； （2）∵函数f（x）≥0恒成立， ∴△=16a2﹣4（2a+6）≤0，计算得出：﹣1； ∴g（a）=2﹣a|a+3|=2﹣a（a+3）=﹣（a+）2+； ∵g（a）在区间[﹣1，]单调递减； ∴g（a）min=g（）=﹣，g（a）max=g（﹣1）=4． ∴函数g（a）的值域为[﹣，4]． 　 21. 已知二次函数f（x）=ax2+bx，（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（﹣x+5）=f（x﹣3），且方程f（x）=x有两个相等的实根． （1）求f（x）的解析式； （2）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]与[3m，3n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值． 【专题】综合题． 【分析】（1）由f（﹣x+5）=f（x﹣3），得函数的对称轴为x=1，又方程f（x）=x有两相等实根，即ax2+（b﹣1）x=0有两相等实根0，由此可求出a，b的值． （2）本题主要是借助函数的单调性确定出函数在[m，n]上的单调性，找到区间中那个自变量的函数值是3m，3n，由此建立方程求解，若能解出值，说明存在，否则不存在． 【解答】解：（1）∵f（﹣x+5）=f（x﹣3），∴f（x）的对称轴为x=1， 即﹣=1即b=﹣2a． ∵f（x）=x有两相等实根，∴ax2+bx=x， 即ax2+（b﹣1）x=0有两相等实根0， ∴﹣=0， ∴b=1，a=﹣， ∴f（x）=﹣x2+x． （2）f（x）=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+≤， 故3n≤，故m＜n≤， 又函数的对称轴为x=1，故f（x）在[m，n]单调递增则有f（m）=3m，f（n）=3n， 解得m=0或m=﹣4，n=0或n=﹣4，又m＜n，故m=﹣4，n=0． 【点评】本题考点是二次函数的性质考查综合利用函数的性质与图象转化解题，（1）中通过有相等的0根这一特殊性求参数；（2）中解法入手最为巧妙，根据其图象开口向下这一性质，求出函数的最大值，利用最大值解出参数n的取值范围，从而结合对称轴为x=1得出函数在区间[m，n]单调性，得到方程组，求参数，题后应好好总结每个小题的转化规律． 22. （10分）已知圆M的半径为3，圆心在x轴正半轴上，直线3x﹣4y+9=0与圆M相切 （Ⅰ）求圆M的