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广东省茂名市第十五高级中学高二数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
考点:异面直线及其所成的角.
专题:计算题.
分析:先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B,得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角,在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可.
解答:解.如图,连接BC1,A1C1,
∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角,
设AB=a,AA1=2a,∴A1B=C1B=a,A1C1=a,
∠A1BC1的余弦值为,
故选D.
点评:本题主要考查了异面直线及其所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题
2. 已知函数的极大值点和极小值点都在区间 内,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
3. 若为奇数,被除所得的
余数是( )
A.0 B.2 C.7 D.8
参考答案:
C
略
4. 已知函数f(x)=x3﹣12x,若f(x)在区间(2m,m+1)上单调递减,则实数m的取值范围是( )
A.[﹣1,1] B.(﹣1,1] C.(﹣1,1) D.[﹣1,1)
参考答案:
D
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】由函数f(x)=x3﹣12x在(2m,m+1)内单调递减转化成f′(x)≤0在(2m,m+1)内恒成立,得到关于m的关系式,即可求出m的范围.
【解答】解:∵函数f(x)=x3﹣12x在(2m,m+1)上单调递减,
∴f'(x)=3x2﹣12≤0在(2m,m+1)上恒成立.
故 ,即成立.
解得:﹣1≤m<1,
故选:D.
5. 圆x2+y2﹣4x=0在点P(1,)处的切线方程是( )
A.x+y﹣2=0 B.x﹣y+2=0 C.x﹣y+4=0 D.x+y﹣4=0
参考答案:
B
【考点】圆的切线方程.
【专题】直线与圆.
【分析】根据直线和圆相切得到切线斜率即可得到结论.
【解答】解:圆的标准方程为(x﹣2)2+y2=4,
∴圆心C(2,0),
∵直线和圆相切于点P(1,),
∴CP的斜率k==﹣,
则切线斜率k=,
故切线方程为y﹣=(x﹣1),
即x﹣y+2=0,
故选:B
【点评】本题主要考查切线方程的求解,根据直线和圆相切得到切线斜率是解决本题的关键.
6. 若直线l:ax-y+a=0被圆C:x2+(y-1)2=4所截得的弦长为2,则a=
A.3 B.2 C.1 D.0
参考答案:
D
7. 已知直线与抛物线相交于两点,F为抛物线的焦点,若,则k的值为( )。
. . . .
参考答案:
D
略
8. 已知函数f(x)在R上的导函数为f′(x),若f(x)<f′(x)恒成立,且f(0)=2,则不等式f(x)>2ex的解集是( )
A.(2,+∞) B.(0,+∞) C.(﹣∞,0) D.(﹣∞,2)
参考答案:
B
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】造函数g(x)=,利用导数可判断g(x)的单调性,再根据f(0)=2,求得g(0)=2,继而求出答案.
【解答】解:∵?x∈R,都有f′(x)>f(x)成立,
∴f′(x)﹣f(x)>0,于是有()′>0,
令g(x)=,则有g(x)在R上单调递增,
∵f(0)=2,∴g(0)=2,
∵不等式f(x)>2ex,
∴g(x)>2=g(0),
∴x>0,
故选:B.
【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性,属中档题,解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数,利用导数判断函数的单调性.
9. 已知{an}为等差数列,且它的前n项和Sn有最大值,若,则满足的最大正整数n的值为( )
A.16 B.17 C.31 D.32
参考答案:
C
10. 设A为圆(x﹣1)2+y2=0上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则P点的轨迹方程( )
A.(x﹣1)2+y2=4 B.(x﹣1)2+y2=2 C.y2=2x D.y2=﹣2x
参考答案:
B
【考点】轨迹方程.
【分析】结合题设条件作出图形,观察图形知图可知圆心(1,0)到P点距离为,所以P在以(1,0)为圆心,以为半径的圆上,由此能求出其轨迹方程.
【解答】解:作图可知圆心(1,0)到P点距离为,
所以P在以(1,0)为圆心,
以为半径的圆上,
其轨迹方程为(x﹣1)2+y2=2.
故选B.
【点评】本题考查轨迹方程,结合图形进行求解,事半功倍.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 经过点P(6,﹣4),且被圆x2+y2=20截得的弦长为6的直线方程为 .
参考答案:
x+y﹣2=0或7x+17y+26=0
【考点】直线与圆相交的性质.
【分析】设出过P的直线方程的斜率为k,由垂径定理得:弦的一半、圆的半径、圆心到弦的距离构成直角三角形,根据勾股定理求出弦心距,然后利用点到直线的距离公式列出斜率的方程,求出即可得到k的值,即可得到直线方程.
【解答】解:设所求直线的斜率为k,则直线方程为y+4=k(x﹣6),化简得:kx﹣y﹣6k﹣4=0
根据垂径定理由垂直得中点,所以圆心到弦的距离即为原点到所求直线的距离d==
即=,解得k=﹣1或k=﹣,所以直线方程为x+y﹣2=0或7x+17y+26=0.
故答案为:x+y﹣2=0或7x+17y+26=0.
12. 已知椭圆的右焦点为F,上顶点为A,点P是该椭圆上的动点,当△PAF的周长最大时, △PAF的面积为__________.
参考答案:
(其中F1为左焦点)
,当且仅当,F1,P三点共线时取等号,此时,所以
.
13. 某市为了创建国家级文明城市, 采用系统抽样的方法从960人中抽取32人做问卷调查, 为此将他们随机编号为1,2,……,960, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9, 抽到的32人中, 编号落入区间[1,450]的人做问卷A, 编号落入区间[451,750]的人做问卷B, 其余的人做问卷C. 则抽到的人中, 做问卷B的人数为 .
参考答案:
10
14. 不等式的解集为
参考答案:
15. 椭圆+y2=1上的点P与点Q(0,﹣2)的距离的最大值为 .
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】转化思想;数形结合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由椭圆+y2=1,设点P(2cosθ,sinθ)(θ∈.
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,函数的单调性的应用,体现了数形结合以及转化的数学思想,属于中档题.
16. 已知,数列的前项和为,,则的为_____.[来
参考答案:
17. 椭圆+=1的左右焦点分别是F1,F2,椭圆上有一点P,∠F1PF2=30°,则三角形F1PF2的面积为 .
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】在△F1PF2中,∠F1PF2=30°,|F1P|+|PF2|=2a=8,|F1F2|=2,利用余弦定理可求得|F1P|?|PF2|的值,从而可求得△PF1F2的面积.
【解答】解:∵椭圆+=1,
∴a=4,b=3,c=.
又∵P为椭圆上一点,∠F1PF2=30°,F1、F2为左右焦点,
∴|F1P|+|PF2|=2a=8,|F1F2|=2,
∴|F1F2|2=(|PF1|+|PF2|)2﹣2|F1P||PF2|﹣2|F1P|?|PF2|cos30°
=64﹣(2+)|F1P|?|PF2|
=28,
∴|F1P|?|PF2|=.
∴=|F1P|?|PF2|sin30°
=××
=18﹣9.
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题12分)设圆的切线与两坐标轴交于点 .
(Ⅰ)证明: ;
(II)求线段AB中点M的轨迹方程;
(Ⅲ)若求△AOB的面积的最小值.
参考答案:
解:(Ⅰ)直线的方程为,即.则圆心(2,2)到切线的距离,
即,.
(II)设AB的中点为M(x,y),则,代入,
得线段AB中点M的轨迹方程为.
(Ⅲ)由 又 ks5u
(当且仅当时取等号),所以,△AOB面积的最小值是.
19. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足.
(1)求角B的大小;
(2)若,BC边上的中线AM的长为,求△ABC的面积.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)先后利用正弦定理余弦定理化简得到,即得B的大小;(2)设,则,所以,利用余弦定理求出m的值,再求的面积.
【详解】解:(1)因为,
由正弦定理,得,即.
由余弦定理,得.
因为,所以.
(2)因为,所以.
设,则,所以.
在中,由余弦定理得,得,
即,
整理得,解得.
所以.
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,考查三角形的面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
20. 如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x﹣4.设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x﹣1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
参考答案:
【考点】J7:圆的切线方程;IT:点到直线的距离公式;JA:圆与圆的位置关系及其判定.
【分析】(1)联立直线l与直线y=x﹣1解析式,求出方程组的解得到圆心C坐标,根据A坐标设出切线的方程,由圆心到切线的距离等于圆的半径,列出关于k的方程,求出方程的解得到k的值,确定出切线方程即可;
(2)设M(x,y),由MA=2MO,利用两点间的距离公式列出关系式,整理后得到点M的轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D,由M在圆C上,得到圆C与圆D相交或相切,根据两圆的半径长,得出两圆心间的距离范围,利用两点间的距离公式列出不等式,求出不等式的解集,即可得到a的范围.
【解答】解:(1)联立得:,
解得:,
∴圆心C(3,2).
若k不存在,不合题意;
若k存在,设切线为:y=kx+3,可得圆心到切线的距离d=r,即=1,
解得:k=0或k=﹣,
则所求切线为y=3或y=﹣x+3;
(2)设点M(x,y),由MA=2MO,知: =2,
化简得:x2+(y+1)2=4,
∴点M的轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D,
又∵点M在圆C上,C(a,2a﹣4),
∴圆C与圆D的关系为相交或相切,
∴1≤|CD|≤3,其中|CD|=,
∴1≤≤3,
解得:0≤a≤.
21. 某电视厂家准备在五一举行促销活动,现在根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出.广告费支出x(万元)和销售量y(万台)的数据如下:
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
广告费支出x
1
2
4
6
11
13
19
销售量y
1.9
3.2
4.0
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