广东省茂名市第十五高级中学高二数学文测试题含解析

广东省茂名市第十五高级中学高二数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(     ) A． B． C． D． 参考答案： D 考点：异面直线及其所成的角． 专题：计算题． 分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可． 解答：解．如图，连接BC1，A1C1， ∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角， 设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a， ∠A1BC1的余弦值为， 故选D． 点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题 2. 已知函数的极大值点和极小值点都在区间 内，则实数的取值范围是（    ） A．         B．        C．       D． 参考答案： D 略 3. 若为奇数，被除所得的 余数是(   )    A．0              B．2             C．7               D．8 参考答案： C 略 4. 已知函数f（x）=x3﹣12x，若f（x）在区间（2m，m+1）上单调递减，则实数m的取值范围是（　　） A．[﹣1，1] B．（﹣1，1] C．（﹣1，1） D．[﹣1，1） 参考答案： D 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】由函数f（x）=x3﹣12x在（2m，m+1）内单调递减转化成f′（x）≤0在（2m，m+1）内恒成立，得到关于m的关系式，即可求出m的范围． 【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣12x在（2m，m+1）上单调递减， ∴f'（x）=3x2﹣12≤0在（2m，m+1）上恒成立． 故  ，即成立． 解得：﹣1≤m＜1， 故选：D． 5. 圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程是（　　） A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x﹣y+4=0 D．x+y﹣4=0 参考答案： B 【考点】圆的切线方程． 【专题】直线与圆． 【分析】根据直线和圆相切得到切线斜率即可得到结论． 【解答】解：圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=4， ∴圆心C（2，0）， ∵直线和圆相切于点P（1，）， ∴CP的斜率k==﹣， 则切线斜率k=， 故切线方程为y﹣=（x﹣1）， 即x﹣y+2=0， 故选：B 【点评】本题主要考查切线方程的求解，根据直线和圆相切得到切线斜率是解决本题的关键． 6. 若直线l：ax－y＋a＝0被圆C：x2＋(y－1)2＝4所截得的弦长为2，则a＝ A.3     B.2      C.1      D.0 参考答案： D 7. 已知直线与抛物线相交于两点，F为抛物线的焦点，若，则k的值为（    ）。 .       .      .       . 参考答案： D 略 8. 已知函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若f（x）＜f′（x）恒成立，且f（0）=2，则不等式f（x）＞2ex的解集是（　　） A．（2，+∞） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，2） 参考答案： B 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（0）=2，求得g（0）=2，继而求出答案． 【解答】解：∵?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立， ∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0， 令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增， ∵f（0）=2，∴g（0）=2， ∵不等式f（x）＞2ex， ∴g（x）＞2=g（0）， ∴x＞0， 故选：B． 【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性． 9. 已知{an}为等差数列，且它的前n项和Sn有最大值，若，则满足的最大正整数n的值为（   ） A．16                  B．17             C．31           D．32 参考答案： C 10. 设A为圆（x﹣1）2+y2=0上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨迹方程（　　） A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣1）2+y2=2 C．y2=2x D．y2=﹣2x 参考答案： B 【考点】轨迹方程． 【分析】结合题设条件作出图形，观察图形知图可知圆心（1，0）到P点距离为，所以P在以（1，0）为圆心，以为半径的圆上，由此能求出其轨迹方程． 【解答】解：作图可知圆心（1，0）到P点距离为， 所以P在以（1，0）为圆心， 以为半径的圆上， 其轨迹方程为（x﹣1）2+y2=2． 故选B． 【点评】本题考查轨迹方程，结合图形进行求解，事半功倍． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 经过点P（6，﹣4），且被圆x2+y2=20截得的弦长为6的直线方程为　　． 参考答案： x+y﹣2=0或7x+17y+26=0 【考点】直线与圆相交的性质． 【分析】设出过P的直线方程的斜率为k，由垂径定理得：弦的一半、圆的半径、圆心到弦的距离构成直角三角形，根据勾股定理求出弦心距，然后利用点到直线的距离公式列出斜率的方程，求出即可得到k的值，即可得到直线方程． 【解答】解：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y+4=k（x﹣6），化简得：kx﹣y﹣6k﹣4=0 根据垂径定理由垂直得中点，所以圆心到弦的距离即为原点到所求直线的距离d== 即=，解得k=﹣1或k=﹣，所以直线方程为x+y﹣2=0或7x+17y+26=0． 故答案为：x+y﹣2=0或7x+17y+26=0． 12. 已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，点P是该椭圆上的动点，当△PAF的周长最大时， △PAF的面积为__________． 参考答案： (其中F1为左焦点) ，当且仅当，F1，P三点共线时取等号，此时，所以 ．   13. 某市为了创建国家级文明城市, 采用系统抽样的方法从960人中抽取32人做问卷调查, 为此将他们随机编号为1,2,……,960, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9, 抽到的32人中, 编号落入区间[1,450]的人做问卷A, 编号落入区间[451,750]的人做问卷B, 其余的人做问卷C. 则抽到的人中, 做问卷B的人数为             . 参考答案： 10 14. 不等式的解集为                参考答案： 15. 椭圆+y2=1上的点P与点Q（0，﹣2）的距离的最大值为     ． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由椭圆+y2=1，设点P（2cosθ，sinθ）（θ∈． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用，体现了数形结合以及转化的数学思想，属于中档题． 16. 已知，数列的前项和为,,则的为_____.[来 参考答案： 17. 椭圆+=1的左右焦点分别是F1，F2，椭圆上有一点P，∠F1PF2=30°，则三角形F1PF2的面积为　　． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】在△F1PF2中，∠F1PF2=30°，|F1P|+|PF2|=2a=8，|F1F2|=2，利用余弦定理可求得|F1P|?|PF2|的值，从而可求得△PF1F2的面积． 【解答】解：∵椭圆+=1， ∴a=4，b=3，c=． 又∵P为椭圆上一点，∠F1PF2=30°，F1、F2为左右焦点， ∴|F1P|+|PF2|=2a=8，|F1F2|=2， ∴|F1F2|2=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|﹣2|F1P|?|PF2|cos30° =64﹣（2+）|F1P|?|PF2| =28， ∴|F1P|?|PF2|=． ∴=|F1P|?|PF2|sin30° =×× =18﹣9． 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题12分）设圆的切线与两坐标轴交于点 . （Ⅰ）证明： ； （II）求线段AB中点M的轨迹方程； （Ⅲ）若求△AOB的面积的最小值． 参考答案： 解：（Ⅰ）直线的方程为，即.则圆心（2，2）到切线的距离， 即,.  （II）设AB的中点为M（x，y），则，代入， 得线段AB中点M的轨迹方程为. （Ⅲ）由 又 ks5u （当且仅当时取等号）,所以，△AOB面积的最小值是. 19. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足. （1）求角B的大小； （2）若，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积. 参考答案： （1）（2） 【分析】 （1）先后利用正弦定理余弦定理化简得到，即得B的大小；（2）设，则，所以，利用余弦定理求出m的值，再求的面积. 【详解】解：（1）因为， 由正弦定理，得，即. 由余弦定理，得. 因为，所以. （2）因为，所以. 设，则，所以. 在中，由余弦定理得，得， 即， 整理得，解得. 所以. 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.   20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上． （1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围． 参考答案： 【考点】J7：圆的切线方程；IT：点到直线的距离公式；JA：圆与圆的位置关系及其判定． 【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可； （2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围． 【解答】解：（1）联立得：， 解得：， ∴圆心C（3，2）． 若k不存在，不合题意； 若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1， 解得：k=0或k=﹣， 则所求切线为y=3或y=﹣x+3； （2）设点M（x，y），由MA=2MO，知： =2， 化简得：x2+（y+1）2=4， ∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D， 又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4）， ∴圆C与圆D的关系为相交或相切， ∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=， ∴1≤≤3， 解得：0≤a≤． 21. 某电视厂家准备在五一举行促销活动，现在根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x（万元）和销售量y（万台）的数据如下： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 广告费支出x 1 2 4 6 11 13 19 销售量y 1.9 3.2 4.0