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广东省肇庆市四会下布中学高三数学文月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知椭圆与双曲线有公共焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点,若C1恰好将线段AB三等分,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
结合椭圆和双曲线有公共的焦点可得,再利用恰好将线段三等分,可求得.
【详解】因为椭圆与双曲线有公共焦点,所以;双曲线的一条渐近线为,设渐近线与椭圆的交点为C,D,如图,
设,代入椭圆可得①
因为恰好将线段三等分,所以,即有②
联立①②可得,结合可得,故选C.
【点睛】本题主要考查圆、椭圆和双曲线的综合,寻求题目中的等量关系是求解关键,侧重考查数学运算的核心素养.
2. 若,则( )
A.2 B. C.32 D.
参考答案:
D
3. 已知函数,的零点分别为,则的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 函数的图象大致是( )
参考答案:
A
5. 程序框图如图所示,当输入的值为5时,输出的值恰好是,则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
略
6. 不等式的解集是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
A
7. 设是实数,且是实数,则( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 甲、乙、丙人安排在周一至周五的天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有 种.
参考答案:
20
从5天中任选3天有种,其中先安排甲,然后在任意安排,乙、丙有,所以不同的安排方法有种。
9. 设满足约束条件,则目标函数的最大值是
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 集合A,B的并集A∪B={a1,a2,a3},当A1B时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这样的(A,B)对的个数是( )
(A)8 (B)9 (C)26 (D)27
参考答案:
D
解:a1∈A或?A,有2种可能,同样a1∈B或?B,有2种可能,但a1?A与a1?B不能同时成立,故有22-1种安排方式,同样a2、a3也各有22-1种安排方式,故共有(22-1)3种安排方式.选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中,用如图A所示的三角形,解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后,法国数学家布莱士?帕斯卡的著作介绍了这个三角形,近年来,国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形”,如图A.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”,如图B.在杨辉三角中,相邻两行满足关系式:,其中n是行数,.请类比上式,在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是__________.
参考答案:
分析:这是一个考查类比推理的题目,解题的关键是仔细观察图中给出的莱布尼茨三角形,并从三解数阵中,找出行与行之间数的关系,探究规律并其表示出来.
详解:类比观察得,将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数,
而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数,所以类比式子,有.
故答案为.
点睛:这是一道新运算类的题目,其特点一般是“新”而不“难”,处理的方法一般为:根据新运算的定义,将已知中的数据代入进行运算,易得最终结果.
12. 如果函数的图象与函数的图象关于直线对称,则的单调递减区间是___________.
参考答案:
(0,)
略
13. 已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点,极轴与轴的正半轴重合,且单位相同,曲线的极坐标方程为,则该曲线的直角坐标方程为 .
参考答案:
14. 若实数满足,则的值域是 .
参考答案:
令,则,做出可行域,平移直线,由图象知当直线经过点是,最小,当经过点时,最大,所以,所以,即的值域是.
15. .
参考答案:
16. 若存在实数满足,则实数的取值范围是 .
参考答案:
17. 在极坐标系()中,曲线与的交点的极坐标为_____
参考答案:
两式相除得,交点的极坐标为
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程;
(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值与最小值.
参考答案:
(1),(2)最大值,最小值1
【分析】
(1)由曲线的参数方程,得两式平方相加求解,根据直线的极坐标方程,展开有,再根据求解.
(2)因为曲线C是一个半圆,利用数形结合,圆心到直线的距离减半径即为最小值,最大值点由图可知.
【详解】(1)因为曲线的参数方程为
所以
两式平方相加得:
因为直线的极坐标方程为.
所以
所以
即
(2)如图所示:
圆心C到直线的距离为:
所以圆上的点到直线的最小值为:
则点M(2,0)到直线的距离为最大值:
【点睛】本题主要考查参数方程,普通方程及极坐标方程的转化和直线与圆的位置关系,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.
19. (本小题满分12分)
设△的内角所对边的长分别为,且有
。
(Ⅰ)求角A的大小;[来源:学.科.网Z.X.X.K]
(Ⅱ) 若,,为的中点,求的长。
【命题立意】本题考查三角函数恒等变换,正弦、余弦定理和勾股定理或向量数量积解三角形等级别知识和基本方法,考查逻辑推理和运算求解能力。
参考答案:
20. (本小题满分14分)
设函数.
(1)若,试求函数的单调区间;
(2)过坐标原点作曲线的切线,证明:切点的横坐标为1;
(3)令,若函数在区间上是减函数,求的取值范围.
参考答案:
解: (1)时, -----1分
-----3分
的减区间为,增区间 ------5分
(2)设切点为,
切线的斜率,又切线过原点
--------7分
满足方程,由图像可知
有唯一解,切点的横坐标为1; -----8分
或者设,
,且,方程有唯一解 ------9分
(3),若函数在区间(0,1]上是减函数,
则,所以---(*)-----10分
若,则在递减,
即不等式恒成立 -------12分
若,
在上递增,
,即,上递增,
这与,
综上所述, ----------------14分
21. 已知,,.
(1)当时,求的单调区间;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求在点处的切线与直线及曲线所围成的封闭图形的面积;
(3)是否存在实数,使的极大值为3?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
解析:(1)当.………1分
……………………3分
∴的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为:,…………4分
(2)切线的斜率为, ∴ 切线方程为.……………6分
所求封闭图形面积为
. …………8分
(3), ………………………9分
令. ………………………………………………………10分
列表如下:
x
(-∞,0)
0
(0,2-a)
2-a
(2-a,+ ∞)
-
0
+
0
-
↘
极小
↗
极大
↘
由表可知,. ………………12分
设,
∴上是增函数,………………………………13分
∴,即,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
∴不存在实数,使极大值为3. …………………14分
22. (本小题满分12分)
设函数(其中,,).已知时,取得最小值.
(1)求函数的解析式;
(2)若角满足,且,求的值.
参考答案:
(1) ;(2).
试题分析:对于第一问,根据函数的性质,结合题的条件,确定出相应的参数的值,从而求出函数的解析式,对于第二问,可以用倍角公式,结合着角的取值范围,求出相应的三角函数值,也可以用诱导公式求解,结合着角的范围求出角的三角函数值.
试题解析:(1)由最小值且,所以. ………………………………1分
因为,所以, …………………………………………2分
由可得,所以, …………………………3分
所以. ………………………………………………………………………4分
故的解析式为. ………………………………………5分
(2)(法1)由(1),得,
即,, ………………8分
所以或. …………………………10分
又,所以. …………………………………………………11分
所以. ………………………………………………………12分
(法2)由(1),得,
即. ……………………………………………8分
所以或,. …………………………10分
即或,.
又,所以. …………………………………………………………11分
所以. ………………………………………………………12分
考点:的性质,倍角公式、解三角方程、特殊角的三角函数值.
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