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广东省潮州市新塘中学2022-2023学年高三数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设a=20.3,b=0.32,c=logx(x2+0.3)(x>1),则a,b,c的大小关系是( )
A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.b<c<a
参考答案:
B
【考点】指数函数单调性的应用.
【分析】利用指数函数y=ax和对数函数的单调性,比较大小
【解答】解:∵a=20.3<21=2且a=20.3>20=1,
∴1<a<2,
又∵b=0.32<0.30=1,
∵x>1,∴c=logx(x2+0.3)>logxx2=2,
∴c>a>b.
故选B
2. 设a,b∈R+,则“a﹣b>1”是“a2﹣b2>1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】简易逻辑.
【分析】首先,将a2﹣b2>1化简为(a﹣b)(a+b)>1,然后,结合条件a,b∈R+,做出判断.
【解答】解:设命题p:a﹣b>1;
命题q:a2﹣b2>1
∵a2﹣b2>1化简得
(a﹣b)(a+b)>1
又∵a,b∈R+,
∴p?q,q推不出p,
∴P是q的充分不必要条件,
即“a﹣b>1”是“a2﹣b2>1”的充分不必要条件.
【点评】本题重点考查充分条件、必要条件和充要条件的概念及其应用,属于中档题.
3. 已知双曲线E:﹣=1(a>0,b>0),点F为E的左焦点,点P为E上位于第一象限内的点,P关于原点的对称点为Q,且满足|PF|=3|FQ|,若|OP|=b,则E的离心率为( )
A. B. C.2 D.
参考答案:
B
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由题意可知:四边形PFQF1为平行四边,利用双曲线的定义及性质,求得∠OPF1=90°,在△QPF1中,利用勾股定理即可求得a和b的关系,根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e.
【解答】解:由题意可知:双曲线的右焦点F1,由P关于原点的对称点为Q,
则丨OP丨=丨OQ丨,
∴四边形PFQF1为平行四边,
则丨PF1丨=丨FQ丨,丨PF丨=丨QF1丨,
由|PF|=3|FQ|,根据椭圆的定义丨PF丨﹣丨PF1丨=2a,
∴丨PF1丨=a,|OP|=b,丨OF1丨=c,
∴∠OPF1=90°,
在△QPF1中,丨PQ丨=2b,丨QF1丨=3a,丨PF1丨=a,
∴则(2b)2+a2=(3a)2,整理得:b2=2a2,
则双曲线的离心率e===,
故选B.
【点评】本题考查双曲线的简单几何性质简单几何性质,考查数形结合思想,属于中档题.
4. 在中,条件甲:,条件乙:,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.非充分非必要条件
参考答案:
C
略
5. 已知x∈,且函数的最小值为b,若函数g(x)=,则不等式g(x)≤1的解集为 ( )
参考答案:
D
6. 多面体MN﹣ABCD的底面ABCD为矩形,其正(主)视图和侧(左)视图如图,其中正(主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则AM的长( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
7. 已知为自然对数的底数,若对任意的,总存在唯一的,
使得成立,则实数的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
B
略
8. 如图,与圆相切于点,直线交圆于两点,弦垂直于. 则下面结论中,错误的结论是
A.∽ B.
C. D.
参考答案:
D
由切割线定理可知,所以D错误,所以选D.
9. 《九章算术》中有如下问题:“今有勾五步,股一十二步,问勾中容圆,径几何?”其大意:“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 已知等差数列中, 是方程的两根, 则等于( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知角α的终边上有一点P(﹣3,4),则sinα+2cosα= .
参考答案:
﹣
【考点】任意角的三角函数的定义.
【分析】由题意可得x=﹣3,y=4,r=5,可得cosα和sinα的值,从而求得sinα+2cosα 的值.
【解答】解:∵角α的终边上有一点P(﹣3,4),
∴x=﹣3,y=4,r==5,
∴cosα==﹣,sinα==,
∴sinα+2cosα=+2×(﹣)=﹣,
故答案为:﹣.
12. (5分)将一颗骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 .
参考答案:
【考点】: 古典概型及其概率计算公式.
【专题】: 概率与统计.
【分析】: 先求出将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的情况,再求出若不考虑限制它落地时向上的点数情况,前者除以后者即可.
【解答】: 解:∵骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列
∴落地时向上的点数若不同,则为1,2,3或1,3,5,或2,3,4或2,4,6或3,4,5或4,5,6.
共有6×2=12种情况,
也可全相同,有6种情况
∴共有18种情况
若不考虑限制,有63=216
落地时向上的点数依次成等差数列的概率为=
故答案为:
【点评】: 本题考查了概率与数列的综合,做题时要认真分析,不要丢情况.
13. 曲线y=lnx在点M(e,1)处切线的方程为 .
参考答案:
x﹣ey=0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】计算题.
【分析】由y=lnx,知,故曲线y=lnx在点M(e,1)处切线的斜率k=,由此能求出曲线y=lnx在点M(e,1)处切线的方程.
【解答】解:∵y=lnx,∴,
∴曲线y=lnx在点M(e,1)处切线的斜率k=,
曲线y=lnx在点M(e,1)处切线的方程为:
y﹣1=),
整理,得x﹣ey=0.
故答案为:x﹣ey=0.
【点评】本题考查曲线的切线方程的求法,是基础题.解题时要认真审题,注意导数的几何意义的合理运用.
14. 曲线在点处的切线的方程为_______________。
参考答案:
略
15. 椭圆的焦点是,为椭圆上一点,且是与的等差中项,则椭圆的方程为________
参考答案:
16. 设函数f(x)=x2-5x+4(l≤x≤8),若从区间[1,8]内随机选取一个实数x0,则所选取的实数x0满足f(x0)≤0的概率为 .
参考答案:
略
17. 自然数列按如图规律排列,若2017在第m行第n个数,则log2= .
参考答案:
0
【考点】F1:归纳推理.
【分析】这个图可以看出,每一行开始的数字比前一行结束的数字多1,而且是成以1为首项、1为公差的等差数列增长的,每一行的数字个数等于行数;那么每一行开头的数字可以用这个式表示1+n(n﹣1);所以第63行的第一个数是1954,而从1954再向后数63就是2017,所以2017在第63行,左起第63个数.进而得到答案.
【解答】解:因为第63行的第一个数是:
1+×63×(63﹣1),
=1954,
而2017﹣1954=63,
所以58+1=60;
数字2017是第63行左起第63个数;
即m=63,n=63,
则log2=0,
故答案为:0
【点评】本题考查的知识点是归纳推理,解答的关键是根据给出的表,找出规律,再由规律解决问题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知如图,△ABC是边长为4的等边三角形,MC⊥平面ABC,D、E分别是线段AC、AB的中点,将△ADE沿DE翻折至△NDE,平面NDE⊥平面ABC.
(Ⅰ)求证:平面BCM∥平面EDN;
(Ⅱ)求三棱锥M﹣EDN的体积V.
参考答案:
【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LU:平面与平面平行的判定.
【分析】(Ⅰ)推导出MC∥平面EDN,从而BC∥ED,进而BC∥平面NDE,由此能证明平面BCM∥平面EDN.
(Ⅱ) 设BC中点为G,连接AG交DE于F.则AG⊥ED,推导出GF⊥平面NDE,由此能求出三棱锥M﹣NDE的体积.
【解答】证明:(Ⅰ)∵平面EDN⊥平面ABC,MC⊥平面ABC,MC?平面EDN,
∴MC∥平面EDN.…(2分)
由已知,BC∥ED,∵BC?平面NDE,ED?平面NDE,
∴BC∥平面NDE.…(4分)
∵BC、MC是平面BCM内两相交直线,
∴平面BCM∥平面EDN.…(6分)
解:(Ⅱ) 设BC中点为G,连接AG交DE于F.则AG⊥ED.…(7分)
∵平面EDN⊥平面ABC,平面EDN∩平面ABC=ED,
AG?平面ABC,
∴GF⊥平面NDE.…(9分)
由已知,△NDE的面积S△NDE=.GF=NF=,…(11分)
∴三棱锥M﹣NDE的体积V=GF?S△NDE=××=1.…(12分)
【点评】本题考查面面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力,考查函数与方程思想、化归转化思想、数形结合思想,是中档题.
19. (本题满分12分)本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分6分.
如图,已知正四棱柱的底面边长是,体积是,分别是棱、的中点.
(1)求直线与平面所成的角(结果用反三角函数表示);
(2)求过的平面与该正四棱柱所截得的多面体的体积.
参考答案:
解:(1)连结,,
直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角.
连结,连结,
是直线与平面所成的角.……………………………2分
中,,…………………………………………4分
.
直线与平面所成的角等于.……………………6分
(2)正四棱柱的底面边长是,体积是,
.………………………………………………………………………8分
;
,……………………11分
多面体的体积为.……………………………………12分
略
20. (本小题满分12分)
设直线
(I)证明与相交;
(II)证明与的交点在椭圆
参考答案:
(方法二)交点P的坐标满足
已知函数21. y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当x>0时,f(x)有最小值2,其中b∈N且f(1)<.试求函数f(x)的解析式
参考答案:
∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
即 ∴c=0,
∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2,
当且仅当x=时等号成立,于是2=2,∴a=b2,
由f(1)<得<即<,
∴2b2-5b+2<0,解得<b<2,
又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.
22. 已知函数f(x)=ln(x+1)﹣.
(Ⅰ)讨论函数f(x)在其定义域内的单调性;
(Ⅱ)证明:>e(其中e自然对数的底数).
参考答案:
考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
专题:导数的综合应用.
分析:(Ⅰ)先求出函数的导数,通过讨论m的范围
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