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河北省承德市山子后中学高一数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数的反函数与的图象关于点对称,则可表示为 [ ] w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. B.
C. D.
参考答案:
D
2. 如果函数F(x)= ,(R)是奇函数,那么函数是
( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数
参考答案:
B
3. 已知直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0平行,则系数a=( )
A.
﹣3
B.
﹣6
C.
D.
参考答案:
B
4. 设集合A={1,2,3},集合B={﹣2,2},则A∩B=( )
A.? B.{2} C.{﹣2,2} D.{﹣2,1,2,3}
参考答案:
B
【考点】交集及其运算.
【分析】找出A与B的公共元素即可求出交集.
【解答】解:∵集合A={1,2,3},集合B={﹣2,2},
∴A∩B={2}.
故选B
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
5. 长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5,且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的表面积是( )
A.20π B.25π C.50π D.200π
参考答案:
C
【考点】球的体积和表面积.
【专题】计算题.
【分析】设出球的半径,由于直径即是长方体的体对角线,由此关系求出球的半径,即可求出球的表面积.
【解答】解:设球的半径为R,由题意,球的直径即为长方体的体对角线,则(2R)2=32+42+52=50,
∴R=.
∴S球=4π×R2=50π.
故选C
【点评】本题考查球的表面积,球的内接体,考查计算能力,是基础题.
6. 给出下列四个命题:
①是第二象限角;②是第三象限角;③是第四象限角;④是第一象限角.
其中正确的命题有( ▲ )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
C
7. 已知记数列的前项和为,即,则使的的最大值为 ( )
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
参考答案:
C
略
8. 函数的图象是( )
参考答案:
A
9. 将函数f(x)=sin(2x﹣)的图象左移,再将图象上各点横坐标压缩到原来的,则所得到的图象的解析式为( )
A.y=sinx B.y=sin(4x+) C.y=sin(4x﹣) D.y=sin(x+)
参考答案:
B
【考点】正弦函数的图象.
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】先由“左加右减”的平移法则和再将图象上各点横坐标压缩到原来的,即可求出.
【解答】解:将函数f(x)=sin(2x﹣)的图象左移可得y=sin2[(x+)﹣)]=sin(2x+),再将图象上各点横坐标压缩到原来的,可得y=sin(4x+),
故选:B.
【点评】本题主要考查三角函数的平移及周期变换.三角函数的平移原则为左加右减上加下减.周期变换的原则是y=sinx的图象伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原理的可得 y=sinωx的图象.
10. 函数则的所有根的和为 ( )
A.1 B. C. 2 D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图, 在直角坐标系中,锐角内接于单位圆, 已知平行于轴, 且,记 , 则 .
参考答案:
12. 已知扇形的圆心角为,所在圆的半径为,则扇形的面积是__________.
参考答案:
13. 函数f(x)=的定义域为 。
参考答案:
(2,3)
14. 已知函数,则的单调减区间为 .
参考答案:
略
15. 在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对边的长分别为a,b,c.已知a+c=2b,sinB=sinC,则= .
参考答案:
【考点】HS:余弦定理的应用;HQ:正弦定理的应用.
【分析】由题意和正弦定理可得a=b=c,代入余弦定理可得cosC,由二倍角公式和三角形内角的范围可得.
【解答】解:∵在△ABC中a+c=2b,sinB=sinC,
∴由正弦定理可得a+c=2b,b=c,
联立可解得a=b=c,
∴由余弦定理可得cosC=
==,
再由二倍角公式可得cosC=1﹣2sin2=,
解得=或=﹣,
再由三角形内角的范围可得∈(0,)
故=
故答案为:
16. 函数y=log(3x2﹣ax+5)在[﹣1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
(﹣8,﹣6]
【考点】对数函数的单调性与特殊点.
【分析】由题意可得,解此不等式组求得实数a的取值范围.
【解答】解:∵函数在[﹣1,+∞)上是减函数,
∴,解得﹣8<a≤﹣6,
故实数a的取值范围是(﹣8,﹣6],
故答案为 (﹣8,﹣6].
17. 已知,,若同时满足条件:
①对任意,或;
②存在,使,则的取值范围是_____________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设a>0,是R上的函数,且满足f(﹣x)=f(x),x∈R.
(1)求a的值;
(2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数.
参考答案:
【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明.
【分析】(1)取x=1,则f(﹣1)=f(1),化简即可解出.
(2)利用单调递增函数的定义即可证明.
【解答】(1)解:取x=1,则f(﹣1)=f(1),即,
∴,
∴,
∴.
∵,∴.
∴a2=1.
又a>0,∴a=1.
(2)证明:由(1)知.
设0<x1<x2,则
=
=
=?<0.
∴f(x1)<f(x2).
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
19. 已知向量,,函数.
(1)若,求x的取值集合;
(2)当时,不等式恒成立,求m的取值范围.
参考答案:
(1)或;(2).
【分析】
(1)由题化简得.再解方程即得解;(2)由题得在上恒成立,再求不等式右边函数的最小值即得解.
【详解】解:(1)因为,,
所以.
因为,所以.
解得或.
故的取值集合为.
(2)由(1)可知,所以在上恒成立.
因为,所以,所以在上恒成立.
设,则.
所以.
因为,所以,所以.
故的取值范围为.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和解三角方程,考查三角函数最值的求法和恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,属于中档题.
20. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:R(x)=,其中x是仪器的月产量.(注:总收益=总成本+利润)
(1)将利润x表示为月产量x的函数;
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?
参考答案:
【考点】函数模型的选择与应用.
【分析】(1)根据利润=收益﹣成本,由已知分两段当0≤x≤400时,和当x>400时,求出利润函数的解析式;
(2)根据分段函数的表达式,分别求出函数的最大值即可得到结论.
【解答】解:(1)由于月产量为x台,则总成本为20000+100x,
从而利润f(x)=;
(2)当0≤x≤400时,f(x)=300x﹣﹣20000=﹣(x﹣300)2+25000,
∴当x=300时,有最大值25000;
当x>400时,f(x)=60000﹣100x是减函数,
∴f(x)=60000﹣100×400<25000.
∴当x=300时,有最大值25000,
即当月产量为300台时,公司所获利润最大,最大利润是25000元.
21. 计算:
(1) (2)
参考答案:
(1)解:原式
……………………6分
(2)原式
………………………12分
22. (本小题满分12分)
已知数列是各项均为正数的等比数列,且
(1)数列的通项公式;
(2)设数列满足,求该数列的前n项和.
参考答案:
(1)设等比数列的公比为,由已知得 ............2分
又,解得 ............3分
; ............5分
(2)由可得
当时,有,
,整理得............7分
当符合上式
............8分
设,
............10分
两式相减得
............12分
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