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河北省承德市东山咀中学高一数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知[x]表示不超过实数x的最大整数,x0是方程的根,则[x0]=( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
参考答案:
B
2. 函数f(x)=x2﹣4x+4的零点是( )
A.(0,2) B.(2,0) C.2 D.4
参考答案:
C
【考点】函数的零点.
【分析】由函数零点的定义列出方程x2﹣4x+4=0,求出方程的根是函数的零点.
【解答】解:由f(x)=x2﹣4x+4=0得,x=2,
所以函数f(x)=x2﹣4x+4的零点是2,
故选C.
3.
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 若tan(α+β)=3,tan(α﹣β)=5,则tan2α=( )
A. B. ﹣ C. D. ﹣
参考答案:
B
5. 若,则的值是[ ]
A. 9 B. 7 C.5 D. 3
参考答案:
C
6. 函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象如图所示,则a,b,c,d的大小顺序是( )
A.1<d<c<a<b B.c<d<1<a<b C.c<d<1<b<a D.d<c<1<a<b
参考答案:
B
【考点】对数函数的图象与性质.
【分析】令4个函数取同样的函数值1,得到的自变量的值恰好是,a、b、c、d,通过函数F(X)=1的图象从左到右依次与r(x),h(x),f(x),g(x)交于A(c,1)、B(d,1)、C(a,1)、D(b,1),从而得出:c<d<a<b.
【解答】解:令4个函数的函数值为1,即1=logax,1=logbx,1=logcx,1=logdx,
解得x1=a,x2=b,x3=c,x4=d;
作函数F(X)=1的图象从左到右依次与r(x),h(x),f(x),g(x)交于A(c,1)、B(d,1)、C(a,1)、D(b,1),
所以,c<d<1<a<b.
故选B
7. 函数的定义域是
A B.
C. D.
参考答案:
C
由二次根式的定义可得:,解得:
8. 已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3, =3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A. =0.4x+2.3 B. =2x﹣2.4 C. =﹣2x+9.5 D. =﹣0.3x+4.4
参考答案:
A
【考点】BK:线性回归方程.
【分析】变量x与y正相关,可以排除C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程.
【解答】解:∵变量x与y正相关,
∴可以排除C,D;
样本平均数=3, =3.5,代入A符合,B不符合,
故选:A.
9. 直线l1、l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是( ) [来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM]
A.平行 B.重合 C.相交但不垂直 D.垂直
参考答案:
D
10. 在△ABC中,,,则下列各式中正确的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D 解析:则,
,
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量的模为1,且满足,则在方向上的投影的数量等于
参考答案:
12. 甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,乙获胜的概率是,则乙不输的概率是_____.
参考答案:
乙不输的概率为,填.
13. 函数y=sin(+x)cos(﹣x)的最大值为 .
参考答案:
【考点】三角函数的化简求值;三角函数的最值.
【分析】利用诱导公式和积化和差公式对函数解析式化简整理,进而根据正弦函数的值域求得函数的最大值.
【解答】解:y=sin(+x)cos(﹣x)=﹣cosxcos(﹣x)
=﹣cosx=
=
=≤,
当2x+=2kπ+,k∈Z时,即x=kπ+,k∈Z时,取得最大值.
故答案为:.
14. sin75°的值为 .
参考答案:
【考点】两角和与差的正弦函数.
【分析】把75°变为45°+30°,然后利用两角和的正弦函数公式化简后,再利用特殊角的三角函数值即可求出值.
【解答】解:sin75°=sin(45°+30°)
=sin45°cos30°+cos45°sin30°
=.
故答案为:
15. 函数的定义域为A,值域为B,则A∩B= ▲ .
参考答案:
[0,2]
略
16. (5分)如图,已知菱形ABCD中,AB=1,∠BAD=60°,E是边CD的中点,若点P是线段EC上的动点,则||的取值范围是 .
参考答案:
[,]
考点: 平面向量数量积的运算.
专题: 平面向量及应用.
分析: 因为菱形ABCD中,AB=1,∠BAD=60°,E是边CD的中点,所以BE⊥AB,所以以B为原点,AB,BE所在是直线分别为x,y轴建立坐标系,分别写出所求中向量的坐标,利用坐标运算解答.
解答: 因为菱形ABCD中,AB=1,∠BAD=60°,E是边CD的中点,所以BE⊥AB,
所以以B为原点,AB,BE所在是直线分别为x,y轴建立坐标系,
因为菱形ABCD中,AB=1,∠BAD=60°,E是边CD的中点,所以A(﹣1,0),C(,),D(﹣,),设P(x,),其中x∈[0,],
所以=(x+,0),=(x+1,),=(x,),所以=x2+x+,||=|x+|,
所以||===≤,当且仅当2x+1=,即x=时等号成立,当x=0时,||=,
所以||的取值范围为[,];
故答案为:[,].
点评: 本题考查了向量的坐标运算;关键是适当建立坐标系,利用代数的方法解答.
17. (5分)已知sinα+cosα=,且0<α<,则sinα﹣cosα的值为 .
参考答案:
﹣
考点: 同角三角函数基本关系的运用.
专题: 三角函数的求值.
分析: 利用完全平方公式,先求出2sinαcosα,即可得到结论.
解答: 由sinα+cosα=,
平方得1+2sinαcosα=,
则2sinαcosα=,
∵0<α<,
∴sinα﹣<cosα,即sinα﹣cosα<0,
则sinα﹣cosα=﹣==﹣,
故答案为:﹣;
点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线相切。
(1)求圆O的方程;
(2)若圆O上有两点M,N关于直线对称,且,求直线MN的方程;
参考答案:
(1)(2)或
【分析】
(1)直接利用点到直线 的距离公式求出半径,即可得出答案。
(2)设出直线,求出圆心到直线的距离,利用半弦长直角三角形解出即可。
【详解】解(1) ,所以圆的方程为
(2)由题意,可设直线的方程为
则圆心到直线的距离则,即
所以直线的方程为或
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,属于基础题。
19. (10分)已知一个二次函数,.求这个函数的解析式。
参考答案:
20. 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn=n2+n.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设{}的前n项和为Tn,求证Tn<1.
参考答案:
【考点】8K:数列与不等式的综合;85:等差数列的前n项和.
【分析】(1)利用公式an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2),得当n≥2时an=2n,再验证n=1时,a1=2×1=2也适合,即可得到数列{an}的通项公式.
(2)裂项得=﹣,由此可得前n项和为Tn=1﹣<1,再结合∈(0,1),不难得到Tn<1对于一切正整数n均成立.
【解答】解:(1)当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣[(n﹣1)2+(n﹣1)]=2n.
∵n=1时,a1=2×1=2,也适合
∴数列{an}的通项公式是an=2n.
(2)==﹣
∴{}的前n项和为Tn=(1﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)=1﹣=
∵0<<1
∴1﹣∈(0,1),即Tn<1对于一切正整数n均成立.
【点评】本题给出等差数列模型,求数列的通项并求前n项和对应数列的倒数和,着重考查了等差数列的通项与前n项和、数列与不等式的综合等知识,属于中档题.
21. 在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,且.
(1)求角C;
(2)若,求的取值范围.
参考答案:
(1);(2).
【分析】
(1)依照条件形式,使用正弦定理化角为边,再用余弦定理求出,从而得出角的值;
(2)先利用余弦定理找出的关系,再利用基本不等式放缩,求出的取值范围。
详解】(1)由及正弦定理得,
,由余弦定理得,
又,所以
(2)由及,得,即
所以,所以,当且仅当时,
等号成立,又,所以.
【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形,以及利用基本不等式求等式条件下的取值范围问题,第二问也可以采用正弦定理化边为角,利用“同一法”求出的取值范围。
22. 已知集合A={x|x≤﹣3或x≥2},B={x|1<x<5},C={x|m﹣1≤x≤2m}
(Ⅰ)求A∩B,(?RA)∪B;
(Ⅱ)若B∩C=C,求实数m的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)A∩B={x|2≤x<5},
CRA={x|﹣3<x<2},∴(CRA)∪B={x|﹣3<x<5}.
(Ⅱ)∵B∩C=C,∴C?B,
①当C=?时,∴m﹣1>2m?m<﹣1;
当C≠?时,∴?2<m<,
综上m的取值范围是(﹣∞,1)∪(2,)
考点:集合的包含关系判断及应用.
专题:阅读型.
分析:(I)根据定义,进行集合的交、并、补集运算,可得答案;
(II)分集合C=?和C≠?两种情况讨论m满足的条件,再综合.
解答:解:(Ⅰ)A∩B={x|2≤x<5},
CRA={x|﹣3<x<2},∴(CRA)∪B={x|﹣3<x<5}.
(Ⅱ)∵B∩C=C,∴C?B,
①当C=?时,∴m﹣1>2m?m<﹣1;
当C≠?时,∴?2<m<,
综上m的取值范围是(﹣∞,1)∪(2,).
点评:本题考查了集合的交集,并集,补集运算,考查了集合包含关系的应用,体现了数形结合思想
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