江苏省南通市北城中学高一数学理联考试题含解析

江苏省南通市北城中学高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 圆x2+y2=1和圆x2+y2﹣6y+5=0的位置关系是（　　） A．外切 B．内切 C．外离 D．内含 参考答案： A 【考点】圆与圆的位置关系及其判定． 【分析】根据题意先求出两圆的圆心和半径，根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，得出两圆相外切． 【解答】解：圆x2+y2﹣6y+5=0 的标准方程为：x2+（y﹣3）2=4， 所以其表示以（0，3）为圆心，以2为半径的圆， 所以两圆的圆心距为3，正好等于两圆的半径之和， 所以两圆相外切， 故选A． 2. 已知集合P={x∈Z|y=}，Q={y∈R|y=cosx，x∈R}，则P∩Q=（　　） A．P B．Q C．{﹣1，1} D．{0，1} 参考答案： A 【考点】余弦函数的定义域和值域；交集及其运算． 【分析】先化简求出集合P，Q，再利用交集即可求出． 【解答】解：对于集合P：要使y=，必须满足1﹣x2≥0，解得﹣1≤x≤1，又x∈Z，∴x=﹣1，0，1，即P={﹣1，0，1}． 对于集合Q：由﹣1≤cosx≤1，可得Q=[﹣1，1]． ∴P∩Q={﹣1，0，1}=P． 故选A． 【点评】熟练求出函数的定义域和值域及掌握集合的运算性质是解题的关键． 3. 已知 ，则的值为（    ）   A.2          B.         C.         D. 参考答案： B 略 4. （3分）已知函数f（x）=lgx，若对任意的正数x，不等式f（x）+f（t）≤f（x2+t）恒成立，则实数t的取值范围是（） A． （0，4） B． （1，4] C． （0，4] D． ， 参考答案： C 故选：C． 点评： 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，恒成立问题，难度中档． 5. 已知直线上两点A,B的坐标分别为,,且直线与直线垂直，则的值为（    ） A．            B．            C．          D． 参考答案： B 6. 在中，（如图），若将绕直线旋转一周，则所形成的旋转体的体积是               （     ） A.     B.     C.    D. 参考答案： D 7. 已知正三棱柱的底面边长和侧棱长相等，为的中点，则直线 与所成的角为（   ） A. 30°             B. 45°              C. 60°             D. 90° 参考答案： D 8. 某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（    ） A．16          B．17           C．18             D．19 参考答案： C 9. 下列函数中，图象过定点的是（    ） A．      B．     C．      D． 参考答案： B 略 10. （5分）已知向量=（1，1），b=（x2，x+2），若，共线，则实数x的值为（） A． ﹣1 B． 2 C． ﹣1或2 D． 1或﹣2 参考答案： C 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 利用向量共线的坐标关系得到x的等式解之． 解答： 因为，共线，向量=（1，1），b=（x2，x+2），所以x2=x+2，解得x=﹣1或者x=2； 故选：C． 点评： 本题考查了向量共线的坐标关系；属于基础题目． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知在△ABC中，，则____________． 参考答案： 【分析】 先由正弦定理求出的值，再由，知，即为锐角，再利用同角三角函数的基本关系求出的值. 【详解】由正弦定理得，， ，，则为锐角，所以，， 故答案为：. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数关系的应用，解题时要注意大边对大角定理的应用，考查计算能力，属于基础题. 12. 若sinα（1+tan10°）=1，则钝角α=　　． 参考答案： 140° 【考点】GI：三角函数的化简求值． 【分析】利用同角三角函数基本关系、诱导公式，可得sinα=cos40°，结合α为钝角，可得α的值． 【解答】解：sinα（1+tan10°）=sinα?=sinα?2?=1， ∴2sinα?sin40°=cos10°=sin80°， 即2sinα?sin40°=sin80°，∴sinα=cos40°，结合α为钝角，可得α=140°， 故答案为：140°． 13. 已知函数，关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为          ． 参考答案： 14. 已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为     参考答案： 36 15. 若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________． 参考答案： 略 16. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是________. 参考答案： 17. 若，则=　_________　． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别是和的中点． （）求证：平面． （）求三棱锥的体积． 参考答案： 解：（）证明：取中点，连接，， 因为是的中点，所以， 且． 由直棱柱知，，，而是的中点， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面． （）解：因为，所以平面， 所以， 由（）知，平面， 所以． 19. 如图所示，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，点E为棱BB1的中点，F为CD中点. 求证：（1）平面； （2）平面平面. 参考答案： （1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）将平面延展为平面，通过证明，证得平面. （2）通过证明、，证得平面，由此证得平面平面. 【详解】（1）取中点，连接，，， 由正方体中， ， 取中点，连接，则，, 四边形为平行四边形， 又且， ， 面，面， ∴面， （2）在正方形中， 由, 得, 因为, , ， 因为面， 且面 ， 又因为， 平面， 平面， ∴平面平面. 【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 20. 已知多面体ABCDFE中， 四边形ABCD为矩形，AB∥EF，AF⊥BF，平面ABEF⊥平面ABCD， O、M分别为AB、FC的中点，且AB = 2，AD = EF = 1. （Ⅰ）求证：AF⊥平面FBC； （Ⅱ）求证：OM∥平面DAF； （Ⅲ）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两 个锥体的体积分别为VF-ABCD，VF-CBE，求VF-ABCD∶VF-CBE 的值. 参考答案： 解：（Ⅰ）平面ABEF⊥平面ABCD  ，平面ABEF平面ABCD=AB          BC平面ABCD，而四边形ABCD为矩形 BC⊥AB ， BC⊥平面ABEF AF平面ABEF BCAF  BFAF，BCBF=B AF⊥平面FBC                     ……5分 （Ⅱ）取FD中点N，连接MN、AN，则MN∥CD，且 MN=CD，又四边形ABCD为矩形， MN∥OA，且MN=OA   四边形AOMN为平行四边形，OM∥ON 又OM平面DAF，ON平面DAF   OM∥平面DAF         ……9分 （Ⅲ）过F作FGAB与G ，由题意可得：FG平面ABCD VF-ABCD =S矩形ABCDE·FG = FG CF平面ABEF VF-CBE  = VC-BFE  =S△BFE·CB = = FG VF-ABCD∶VF-CBE = 4∶1         …………14分 略 21. （1）计算： （2）已知，求的值 参考答案： （1）20     （2） 22. 如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它侧面都是侧棱长为的等腰三角形，试画出二面角V﹣AB﹣C的平面角，并求出它的度数． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法． 【分析】因为侧面VAB为等腰三角形，故取AB的中的E有VE⊥AB，因为底面ABCD是边长为2的正方形，取CD的中点F，则EF⊥AB，所以∠VEF为二面角V﹣AB﹣C的平面角，再解△VEF即可． 【解答】解：取AB、CD的中点E、F，连接VE、EF、VF ∵VA=VB= ∴△VAB为等腰三角形， ∴VE⊥AB， 又∵ABCD是正方形，则BC⊥AB， ∵EF∥BC， ∴EF⊥AB， ∵EF∩VE=E， ∴∠VEF为二面角V﹣AB﹣C的平面角， ∵△VAB≌△VDC，∴VE=VF=2，EF=BC=2， ∴△VEF为等边三角形， ∴∠VEF=60°，即二面角V﹣AB﹣C为60°．