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江苏省南通市北城中学高一数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 圆x2+y2=1和圆x2+y2﹣6y+5=0的位置关系是( )
A.外切 B.内切 C.外离 D.内含
参考答案:
A
【考点】圆与圆的位置关系及其判定.
【分析】根据题意先求出两圆的圆心和半径,根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和,得出两圆相外切.
【解答】解:圆x2+y2﹣6y+5=0 的标准方程为:x2+(y﹣3)2=4,
所以其表示以(0,3)为圆心,以2为半径的圆,
所以两圆的圆心距为3,正好等于两圆的半径之和,
所以两圆相外切,
故选A.
2. 已知集合P={x∈Z|y=},Q={y∈R|y=cosx,x∈R},则P∩Q=( )
A.P B.Q C.{﹣1,1} D.{0,1}
参考答案:
A
【考点】余弦函数的定义域和值域;交集及其运算.
【分析】先化简求出集合P,Q,再利用交集即可求出.
【解答】解:对于集合P:要使y=,必须满足1﹣x2≥0,解得﹣1≤x≤1,又x∈Z,∴x=﹣1,0,1,即P={﹣1,0,1}.
对于集合Q:由﹣1≤cosx≤1,可得Q=[﹣1,1].
∴P∩Q={﹣1,0,1}=P.
故选A.
【点评】熟练求出函数的定义域和值域及掌握集合的运算性质是解题的关键.
3. 已知 ,则的值为( )
A.2 B. C. D.
参考答案:
B
略
4. (3分)已知函数f(x)=lgx,若对任意的正数x,不等式f(x)+f(t)≤f(x2+t)恒成立,则实数t的取值范围是()
A. (0,4) B. (1,4] C. (0,4] D. ,
参考答案:
C
故选:C.
点评: 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,二次函数的图象和性质,恒成立问题,难度中档.
5. 已知直线上两点A,B的坐标分别为,,且直线与直线垂直,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 在中,(如图),若将绕直线旋转一周,则所形成的旋转体的体积是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
7. 已知正三棱柱的底面边长和侧棱长相等,为的中点,则直线
与所成的角为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
参考答案:
D
8. 某校为了解1000名高一新生的身体生长状况,用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查,将学生从1~1000进行编号,现已知第18组抽取的号码为443,则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( )
A.16 B.17 C.18 D.19
参考答案:
C
9. 下列函数中,图象过定点的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
10. (5分)已知向量=(1,1),b=(x2,x+2),若,共线,则实数x的值为()
A. ﹣1 B. 2 C. ﹣1或2 D. 1或﹣2
参考答案:
C
考点: 平面向量数量积的运算.
专题: 平面向量及应用.
分析: 利用向量共线的坐标关系得到x的等式解之.
解答: 因为,共线,向量=(1,1),b=(x2,x+2),所以x2=x+2,解得x=﹣1或者x=2;
故选:C.
点评: 本题考查了向量共线的坐标关系;属于基础题目.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知在△ABC中,,则____________.
参考答案:
【分析】
先由正弦定理求出的值,再由,知,即为锐角,再利用同角三角函数的基本关系求出的值.
【详解】由正弦定理得,,
,,则为锐角,所以,,
故答案为:.
【点睛】本题考查正弦定理解三角形,考查同角三角函数关系的应用,解题时要注意大边对大角定理的应用,考查计算能力,属于基础题.
12. 若sinα(1+tan10°)=1,则钝角α= .
参考答案:
140°
【考点】GI:三角函数的化简求值.
【分析】利用同角三角函数基本关系、诱导公式,可得sinα=cos40°,结合α为钝角,可得α的值.
【解答】解:sinα(1+tan10°)=sinα?=sinα?2?=1,
∴2sinα?sin40°=cos10°=sin80°,
即2sinα?sin40°=sin80°,∴sinα=cos40°,结合α为钝角,可得α=140°,
故答案为:140°.
13. 已知函数,关于的方程有四个不同的实数解,则的取值范围为 .
参考答案:
14. 已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3,则这个四棱锥的外接球的表面积为
参考答案:
36
15. 若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是________.
参考答案:
略
16. 若函数在区间上是减函数,则实数的取值范围是________.
参考答案:
17. 若,则= _________ .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在直三棱柱中,,,,分别是和的中点.
()求证:平面.
()求三棱锥的体积.
参考答案:
解:()证明:取中点,连接,,
因为是的中点,所以,
且.
由直棱柱知,,,而是的中点,
所以,,
所以四边形是平行四边形,
所以,又平面,平面,
所以平面.
()解:因为,所以平面,
所以,
由()知,平面,
所以.
19. 如图所示,在正方体ABCD - A1B1C1D1中,点E为棱BB1的中点,F为CD中点.
求证:(1)平面;
(2)平面平面.
参考答案:
(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【分析】
(1)将平面延展为平面,通过证明,证得平面.
(2)通过证明、,证得平面,由此证得平面平面.
【详解】(1)取中点,连接,,,
由正方体中,
,
取中点,连接,则,,
四边形为平行四边形,
又且,
,
面,面,
∴面,
(2)在正方形中,
由,
得,
因为,
,
,
因为面,
且面
,
又因为,
平面,
平面,
∴平面平面.
【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.
20. 已知多面体ABCDFE中, 四边形ABCD为矩形,AB∥EF,AF⊥BF,平面ABEF⊥平面ABCD, O、M分别为AB、FC的中点,且AB = 2,AD = EF = 1.
(Ⅰ)求证:AF⊥平面FBC;
(Ⅱ)求证:OM∥平面DAF;
(Ⅲ)设平面CBF将几何体EFABCD分成的两
个锥体的体积分别为VF-ABCD,VF-CBE,求VF-ABCD∶VF-CBE 的值.
参考答案:
解:(Ⅰ)平面ABEF⊥平面ABCD ,平面ABEF平面ABCD=AB
BC平面ABCD,而四边形ABCD为矩形 BC⊥AB ,
BC⊥平面ABEF
AF平面ABEF BCAF BFAF,BCBF=B
AF⊥平面FBC ……5分
(Ⅱ)取FD中点N,连接MN、AN,则MN∥CD,且 MN=CD,又四边形ABCD为矩形,
MN∥OA,且MN=OA 四边形AOMN为平行四边形,OM∥ON
又OM平面DAF,ON平面DAF OM∥平面DAF ……9分
(Ⅲ)过F作FGAB与G ,由题意可得:FG平面ABCD
VF-ABCD =S矩形ABCDE·FG = FG
CF平面ABEF VF-CBE = VC-BFE =S△BFE·CB = = FG
VF-ABCD∶VF-CBE = 4∶1 …………14分
略
21. (1)计算:
(2)已知,求的值
参考答案:
(1)20 (2)
22. 如图,四棱锥V﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,其它侧面都是侧棱长为的等腰三角形,试画出二面角V﹣AB﹣C的平面角,并求出它的度数.
参考答案:
【考点】二面角的平面角及求法.
【分析】因为侧面VAB为等腰三角形,故取AB的中的E有VE⊥AB,因为底面ABCD是边长为2的正方形,取CD的中点F,则EF⊥AB,所以∠VEF为二面角V﹣AB﹣C的平面角,再解△VEF即可.
【解答】解:取AB、CD的中点E、F,连接VE、EF、VF
∵VA=VB=
∴△VAB为等腰三角形,
∴VE⊥AB,
又∵ABCD是正方形,则BC⊥AB,
∵EF∥BC,
∴EF⊥AB,
∵EF∩VE=E,
∴∠VEF为二面角V﹣AB﹣C的平面角,
∵△VAB≌△VDC,∴VE=VF=2,EF=BC=2,
∴△VEF为等边三角形,
∴∠VEF=60°,即二面角V﹣AB﹣C为60°.
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