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安徽省芜湖市皖江中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,若函数不存在零点,则c的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中偶数有( ▲ ).
(A) 60个 (B) 48个 (C) 36个 (D) 24个
参考答案:
B
3. 若集合,则A∩B=( )
A.[1,+∞) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(﹣∞,1)
参考答案:
C
【考点】1E:交集及其运算.
【分析】化简集合A、B,根据交集的定义写出A∩B即可.
【解答】解:集合A={y|y=}={y|y∈R}=(﹣∞,+∞),
B={x|y=ln(x﹣1)}={x|x﹣1>0}={x|x>1}=(1,+∞);
∴A∩B=(1,+∞).
故选:C.
4. 函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 已知复数z满足iz=|3+4i|﹣i,则z的虚部是( )
A.﹣5 B.﹣1 C.﹣5i D.﹣i
参考答案:
A
【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念.
【分析】利用了复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出.
【解答】解:复数z满足iz=|3+4i|﹣i,
∴﹣i?iz=﹣i(5﹣i),
∴z=﹣1﹣5i,
则z的虚部是﹣5.
故选:A.
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
6. 已知函数则
A. B. C. D.
参考答案:
【知识点】指数与指数函数 对数与对数函数B6 B7
【答案解析】A 由= ∵1<log23<2,∴3<2+log23<4,
∴f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(3+log23),
∵4<3+log23<5,∴f(3+log23)= = =,故选A.
【思路点拨】先判断出2+log23<4,代入f(x+1)=f(3+log23),又因3+log23>4代入f(x)=()x,利用指数幂的运算性质求解.
7. 设,是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是 ( )
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
参考答案:
B
8. 一个棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为边长为1的正三角形,则四棱锥侧面中最大侧面的面积是( )
A. B. 1 C. D.
参考答案:
D
9. 数列{}的前项和,若p-q=5,则= ( )
A. 10 B. 15 C. -5 D.20
参考答案:
D
【知识点】等差数列及等差数列前n项和
解析:当n≥2,an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣3n﹣2(n﹣1)2+3n﹣3=4n﹣5
a1=S1=﹣1适合上式,所以an=4n﹣5,所以ap﹣aq=4(p﹣q),因为p﹣q=5,
所以ap﹣aq=20故选::D.
【思路点拨】利用递推公式当n≥2,an=Sn﹣Sn﹣1,a1=S1可求an=4n﹣5,再利用ap﹣aq=4(p﹣q),p﹣q=5,即可得出结论.
10. .某公司的班车分别在7:30,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过15分钟的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 为奇函数,则=( )
A.2014 B.2013 C.4026 D.4028
参考答案:
B
12. 命题“任意,”的否定是 .
参考答案:
存在,.
命题意图:全称命题、特称命题、命题的否定,简单题
13. 在等差数列中,,,记数列的前项和为,若对恒成立,则正整数的最小值为 .
参考答案:
5
略
14. 极坐标系下曲线表示圆,则点到圆心的距离为 ;
参考答案:
15. 若对任意,关于x的不等式恒成立,则实数a的范围是_______;
参考答案:
【分析】
求出函数的最小值,即可得到答案;
【详解】,,等号成立当且仅当,
,
故答案为:.
【点睛】本题考查不等式恒成立问题求参数的取值范围,考查运算求解能力.
16. 已知P是椭圆上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点,记直线PA,PB的斜率分别为的值为 ;
参考答案:
略
17. 关于函数和实数、的下列结论中正确的是 .
①若,则; ②若,则;
③若,则; ④若,则.
参考答案:
③
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)如图,A,B,C,D四点在同一圆上,BC与AD的延长线交于点E,点F在BA的延长线上.
(I)若,求的值;
(Ⅱ)若,证明:EF∥CD.
参考答案:
⑴四点共圆,
,又为公共角,
∴∽ ∴
∴.
∴. ……………………………………………………………… 6分
⑵, ,
又, ∽,
,
又四点共圆,,,
.…………………………………………………… 10分
19. 已知椭圆的一个焦点为,其左顶点在圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线交椭圆于两点,设点关于轴的对称点为(点与点不重合),且直线与轴的交于点,试问的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(Ⅰ)∵椭圆的左顶点在圆上,∴
又∵椭圆的一个焦点为,∴ ∴
∴椭圆的方程为 ………………4分
(Ⅱ)设,则直线与椭圆方程联立
化简并整理得,
∴, ………………5分
由题设知 ∴直线的方程为
令得
∴点 ………………7分
………………9分
(当且仅当即时等号成立)
∴的面积存在最大值,最大值为1. ………………12分
20. (本小题满分12分)
某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组;第二组,,第五组
右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(Ⅰ)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人数;
(Ⅱ)设表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知,求事件“”的概率.
参考答案:
解(Ⅰ)由直方图知,成绩在内的人数为:
所以该班成绩良好的人数为27人--------------------------------------------------------------------------------5分
(Ⅱ)解:由直方图知,成绩在的人数为人,设为、、
成绩在的人数为人,设为A、B、C、D.
若时,有3种情况;
若时,有6种情况
若和内时,
A
B
C
D
共有12种情况。
所以基本事件总数为21种,事件“”所包含的基本事件个数有12种。
所以
21. (本小题满分12分)
已知等差数列的各项互不相等,其前两项的和为10,且是与的等比中项。
(1)求数列的通项公式;
(2)设,其前n项和是,求证:。
参考答案:
22. 已知函数,其中,.
(Ⅰ)若的最小值为,试判断函数的零点个数,并说明理由;
(Ⅱ)若函数的极小值大于零,求的取值范围.
参考答案:
略
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