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广西壮族自治区北海市白沙中学高一数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数f(x)=的定义域为( )
A.(1,2) B.[1,2] C.(1,4) D.[2,4]
参考答案:
A
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】要使函数f(x)=有意义,可得x﹣1>0且4﹣x2>0,解不等式即可得到所求定义域.
【解答】解:函数f(x)=有意义,
可得x﹣1>0且4﹣x2>0,
即x>1且﹣2<x<2,
即有1<x<2,
则定义域为(1,2).
故选:A.
2. 已知等差数列中,则( )
A. 10 B. 16 C. 20 D. 24
参考答案:
C
分析】
根据等差数列性质得到,再计算得到答案.
【详解】已知等差数列中,
故答案选C
【点睛】本题考查了等差数列的性质,是数列的常考题型.
3. 已知各项都是正数的等比数列{an}中,存在两项使得且,则的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 已知△ABC中,,BC=2,则角A的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
D
略
5. 函数y=sin(2x+)图象的一条对称轴方程是:
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 如图所示,边长为的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率是,则阴影部分的面积是( )
. . . .
参考答案:
C
7. 在△ABC中,若A=600,,则等于( )
A、1 B、 C、4 D、
参考答案:
C
8.
参考答案:
A
9. 已知f(x)=是(﹣∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是( )
A.(0,1) B. C. D.
参考答案:
C
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法.
【分析】由f(x)在R上单调减,确定a,以及3a﹣1的范围,再根据单调减确定在分段点x=1处两个值的大小,从而解决问题.
【解答】解:依题意,有0<a<1且3a﹣1<0,
解得0<a<,
又当x<1时,(3a﹣1)x+4a>7a﹣1,
当x>1时,logax<0,
因为f(x)在R上单调递减,所以7a﹣1≥0解得a≥
综上:≤a<
故选C.
10. 为了在运行下面的程序之后得到y=9, 键盘输入应该是( ).
A. x= -4 B. x= -2
C. x=4或-4 D. x=2或-2
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (5分)关于下列命题:
①若函数y=x+1的定义域是{x|x≤0},则它的值域是{y|y≤1};
②若函数y=的定义域是{x|x>2},则它的值域是{y|y≤};
③若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|﹣2≤x≤2};
其中不正确的命题的序号是 ( 注:把你认为不正确的命题的序号都填上)
参考答案:
②③
考点: 函数的概念及其构成要素.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: 由题意,求出函数的定义域与值域即可.
解答: ①正确;
②若函数y=的定义域是{x|x>2},则它的值域是{y|0<y<};
③若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域也可以是{x|0≤x≤2};
故答案为:②③.
点评: 本题考查了函数的定义域与值域的求法,属于基础题.
12. 若函数在上为减函数,则实数m的取值范围为
参考答案:
13. 若数列{an}的首项,且(),则数列{an}的通项公式是an =__________.
参考答案:
,得(),两式相减得,即(),,得,经检验n=1不符合。所以
,
14. 若函数在区间上是增函数,则实数的取值范围是______________.
参考答案:
略
15. 已知f(x)=(x+1)∣x-1∣,若关于x的方程f(x)=x+m有三个不同的实数解,则实数m的取值范围是 .
参考答案:
( -1, )
16. 函数的定义域为 .
参考答案:
17. 若函数f(x)=的值域为实数集R,则f(2)的取值范围是 .
参考答案:
[﹣,﹣)
【考点】函数的值域;函数的值.
【分析】先确定x≤2时函数值的取值范围[﹣1,+∞),问题就等价为:logax﹣的取值至少要包含(﹣∞,﹣1),再列式计算即可.
【解答】解:根据函数解析式,分类讨论如下:
①当x≤2时,f(x)=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1∈[﹣1,+∞),
即x≤2时,函数值的取值范围为:[﹣1,+∞);
②当x>2时,f(x)=logax﹣,
要使f(x)的值域为R,则logax﹣的取值至少要包含(﹣∞,﹣1),
因此,a∈(0,1),且loga2﹣≥﹣1,
即loga2≥﹣,解得,a∈(0,],
所以,实数a的取值范围为:(0,],
而f(2)=loga(2)﹣=﹣=﹣,
再结合对数函数图象可知,f(2)的取值范围为:[﹣,﹣),
故答案为:[﹣,﹣).
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知等差数列{an}中,,.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)先设等差数列的公差为,根据题中条件求出公差,即可得出通项公式;
(2)根据前项和公式,即可求出结果.
【详解】(1)依题意,设等差数列的公差为,
因为,所以,又,
所以公差,
所以.
(2)由(1)知,,
所以
【点睛】本题主要考查等差数列,熟记等差数列通项公式与前项和公式即可,属于基础题型.
19. 设,,又, ,求实数,, 的值。
参考答案:
解:因为A∩B={3},所以3∈B,所以 9+3c+15=0,
所以c=-8…………………3分
由方程x2-8x+15=0解得x=3或x=5,所以B={3,5}.……………6分
由A?A∪B={3,5}知,3∈A,5?A(否则5∈A∩B,与A∩B={3}矛盾)
故必有A={3},所以方程x2+ax+b=0有两个相同的根3,
由韦达定理得3+3=-a,3×3=b,即a=-6,b=9,c=-8………10分
20. 已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)求证:f(x)>0.
参考答案:
【考点】33:函数的定义域及其求法;34:函数的值域;3K:函数奇偶性的判断.
【分析】(1)由分母不能为零得2x﹣1≠0求解即可.要注意定义域要写成集合或区间的形式.
(2)在(1)的基础上,只要再判断f(x)与f(﹣x)的关系即可,但要注意作适当的变形.
(3)在(2)的基础上要证明对称区间上成立可即可.不妨证明:当x>0时,则有2x>1进而有2x﹣1>0,然后得到>0.再由奇偶性得到对称区间上的结论.
【解答】解:(1)由2x﹣1≠0得x≠0,∴函数f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞)
(2)∵f(x)==
∴f(﹣x)==
∴函数f(x)为定义域上的偶函数.
(3)证明:当x>0时,2x>1
∴2x﹣1>0,
∴,
∴>0
∵f(x)为定义域上的偶函数
∴当x<0时,f(x)>0
∴f(x)>0成立
21. 已知(a为常数).
(Ⅰ)若f(x)为奇函数,求实数a的值;
(Ⅱ)在Ⅰ的前提下,求f(x)的值域.
参考答案:
【考点】函数奇偶性的性质;函数的值域.
【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】(Ⅰ)可看出该函数定义域为R,从而由f(x)为奇函数知f(0)=0,从而求出a=﹣2;
(Ⅱ)先写出f(x)=,根据3x>0便可求出的范围,进一步可求出的范围,即得出f(x)的值域.
【解答】解:(I)f(x)的定义域为R,f(x)为奇函数;
∴;
∴a=﹣2;
(Ⅱ);
3x>0;
∴;
∴﹣1<f(x)<1;
∴f(x)的值域为(﹣1,1).
【点评】考查奇函数的定义,奇函数在原点有定义时有f(0)=0,指数函数的值域,以及根据不等式的性质求函数值域的方法.
22. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知,,且.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若,求△ABC面积的最大值.
参考答案:
(Ⅰ)(Ⅱ)
【分析】
(Ⅰ)先利用向量垂直的坐标表示,得到,再利用正弦定理以及两角和的正弦公式将,化为,进而得到,由此能求出.
(Ⅱ)将两边平方,推导出,当且仅当,时取等号,由此求出面积的最大值.
【详解】解析:(Ⅰ)由得,
则
得,即
由于,得,又A为内角,因此.
(Ⅱ)将两边平方,即
所以,当且仅当,时取等号.
此时,其最大值为.
【点睛】本题主要考查数量积的坐标表示及运算、两角和的正弦公式应用、三角形面积公式的应用以及利用基本不等式求最值。
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