广西壮族自治区北海市白沙中学高一数学理联考试题含解析

广西壮族自治区北海市白沙中学高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数f（x）=的定义域为（　　） A．（1，2） B．[1，2] C．（1，4） D．[2，4] 参考答案： A 【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】要使函数f（x）=有意义，可得x﹣1＞0且4﹣x2＞0，解不等式即可得到所求定义域． 【解答】解：函数f（x）=有意义， 可得x﹣1＞0且4﹣x2＞0， 即x＞1且﹣2＜x＜2， 即有1＜x＜2， 则定义域为（1，2）． 故选：A． 　 2. 已知等差数列中，则（　） A. 10 B. 16 C. 20 D. 24 参考答案： C 分析】 根据等差数列性质得到，再计算得到答案. 【详解】已知等差数列中， 故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型. 3. 已知各项都是正数的等比数列{an}中，存在两项使得且，则的最小值是（    ） A．        B．       C.         D． 参考答案： A 4. 已知△ABC中，，BC=2，则角A的取值范围是（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： D 略 5. 函数y=sin(2x+)图象的一条对称轴方程是：  A．   B．     C．    D． 参考答案： A 6. 如图所示，边长为的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是（    ） .     .     .     . 参考答案： C 7. 在△ABC中,若A=600,,则等于(    ) A、1                B、            C、4              D、 参考答案： C 8.   参考答案： A 9. 已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（　　） A．（0，1） B． C． D． 参考答案： C 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法． 【分析】由f（x）在R上单调减，确定a，以及3a﹣1的范围，再根据单调减确定在分段点x=1处两个值的大小，从而解决问题． 【解答】解：依题意，有0＜a＜1且3a﹣1＜0， 解得0＜a＜， 又当x＜1时，（3a﹣1）x+4a＞7a﹣1， 当x＞1时，logax＜0， 因为f（x）在R上单调递减，所以7a﹣1≥0解得a≥ 综上：≤a＜ 故选C． 10. 为了在运行下面的程序之后得到y=9， 键盘输入应该是(      ). A. x= -4         B. x= -2  C. x=4或-4      D. x=2或-2 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （5分）关于下列命题： ①若函数y=x+1的定义域是{x|x≤0}，则它的值域是{y|y≤1}； ②若函数y=的定义域是{x|x＞2}，则它的值域是{y|y≤}； ③若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|﹣2≤x≤2}； 其中不正确的命题的序号是         （ 注：把你认为不正确的命题的序号都填上） 参考答案： ②③ 考点： 函数的概念及其构成要素． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 由题意，求出函数的定义域与值域即可． 解答： ①正确； ②若函数y=的定义域是{x|x＞2}，则它的值域是{y|0＜y＜}； ③若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域也可以是{x|0≤x≤2}； 故答案为：②③． 点评： 本题考查了函数的定义域与值域的求法，属于基础题． 12. 若函数在上为减函数，则实数m的取值范围为      参考答案： 13. 若数列{an}的首项，且（），则数列{an}的通项公式是an =__________． 参考答案： ，得（）,两式相减得，即（），，得，经检验n=1不符合。所以 ， 14. 若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______________. 参考答案： 略 15. 已知f(x)=(x+1)∣x-1∣，若关于x的方程f(x)=x+m有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是                  . 参考答案： ( -1, ) 16. 函数的定义域为          . 参考答案： 17. 若函数f（x）=的值域为实数集R，则f（2）的取值范围是　　． 参考答案： [﹣，﹣） 【考点】函数的值域；函数的值． 【分析】先确定x≤2时函数值的取值范围[﹣1，+∞），问题就等价为：logax﹣的取值至少要包含（﹣∞，﹣1），再列式计算即可． 【解答】解：根据函数解析式，分类讨论如下： ①当x≤2时，f（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1∈[﹣1，+∞）， 即x≤2时，函数值的取值范围为：[﹣1，+∞）； ②当x＞2时，f（x）=logax﹣， 要使f（x）的值域为R，则logax﹣的取值至少要包含（﹣∞，﹣1）， 因此，a∈（0，1），且loga2﹣≥﹣1， 即loga2≥﹣，解得，a∈（0，]， 所以，实数a的取值范围为：（0，]， 而f（2）=loga（2）﹣=﹣=﹣， 再结合对数函数图象可知，f（2）的取值范围为：[﹣，﹣）， 故答案为：[﹣，﹣）． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知等差数列{an}中，，． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和Sn． 参考答案： （1）（2） 【分析】 （1）先设等差数列的公差为，根据题中条件求出公差，即可得出通项公式； （2）根据前项和公式，即可求出结果. 【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为， 因为，所以，又， 所以公差， 所以． （2）由（1）知，， 所以 【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列通项公式与前项和公式即可，属于基础题型. 19. 设，,又, ,求实数，， 的值。 参考答案： 解:因为A∩B＝{３},所以３∈B,所以 9＋３c＋１５＝０, 所以c＝－８…………………3分 由方程x２－８x＋１５＝０解得x＝３或x＝５,所以B＝{３,５}．……………6分 由A?A∪B＝{３,５}知,３∈A,５?A(否则５∈A∩B,与A∩B＝{３}矛盾) 故必有A＝{３},所以方程x２＋ax＋b＝０有两个相同的根３, 由韦达定理得３＋３＝－a,３×３＝b,即a＝－６,b＝９,c＝－８………10分 20. 已知函数f（x）=． （1）求函数f（x）的定义域； （2）判断函数f（x）的奇偶性； （3）求证：f（x）＞0． 参考答案： 【考点】33：函数的定义域及其求法；34：函数的值域；3K：函数奇偶性的判断． 【分析】（1）由分母不能为零得2x﹣1≠0求解即可．要注意定义域要写成集合或区间的形式． （2）在（1）的基础上，只要再判断f（x）与f（﹣x）的关系即可，但要注意作适当的变形． （3）在（2）的基础上要证明对称区间上成立可即可．不妨证明：当x＞0时，则有2x＞1进而有2x﹣1＞0，然后得到＞0．再由奇偶性得到对称区间上的结论． 【解答】解：（1）由2x﹣1≠0得x≠0，∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞） （2）∵f（x）== ∴f（﹣x）== ∴函数f（x）为定义域上的偶函数． （3）证明：当x＞0时，2x＞1 ∴2x﹣1＞0， ∴， ∴＞0 ∵f（x）为定义域上的偶函数 ∴当x＜0时，f（x）＞0 ∴f（x）＞0成立 21. 已知（a为常数）． （Ⅰ）若f（x）为奇函数，求实数a的值；    （Ⅱ）在Ⅰ的前提下，求f（x）的值域． 参考答案： 【考点】函数奇偶性的性质；函数的值域． 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）可看出该函数定义域为R，从而由f（x）为奇函数知f（0）=0，从而求出a=﹣2； （Ⅱ）先写出f（x）=，根据3x＞0便可求出的范围，进一步可求出的范围，即得出f（x）的值域． 【解答】解：（I）f（x）的定义域为R，f（x）为奇函数； ∴； ∴a=﹣2； （Ⅱ）； 3x＞0； ∴； ∴﹣1＜f（x）＜1； ∴f（x）的值域为（﹣1，1）． 【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时有f（0）=0，指数函数的值域，以及根据不等式的性质求函数值域的方法． 22. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，且． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值． 参考答案： （Ⅰ）（Ⅱ） 【分析】 （Ⅰ）先利用向量垂直的坐标表示，得到，再利用正弦定理以及两角和的正弦公式将，化为，进而得到，由此能求出． （Ⅱ）将两边平方，推导出，当且仅当，时取等号，由此求出面积的最大值． 【详解】解析：（Ⅰ）由得， 则 得，即 由于，得，又A为内角，因此. （Ⅱ）将两边平方，即 所以，当且仅当，时取等号. 此时，其最大值为. 【点睛】本题主要考查数量积的坐标表示及运算、两角和的正弦公式应用、三角形面积公式的应用以及利用基本不等式求最值。