河北省保定市安国流各庄乡中学高一数学理联考试题含解析

河北省保定市安国流各庄乡中学高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数y=2－的值域是（    ） A．[－2，2]       B．[1，2] C．[0，2]       D．[－，] 参考答案： C 略 2. 一高为H、满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】函数的图象． 【专题】数形结合． 【分析】水深h越大，水的体积v就越大，故函数v=f（h）是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的． 【解答】解：由图得水深h越大，水的体积v就越大，故函数v=f（h）是个增函数． 据四个选项提供的信息， 当h∈[O，H]，我们可将水“流出”设想成“流入”， 这样每当h增加一个单位增量△h时， 根据鱼缸形状可知，函数V的变化，开始其增量越来越大，但经过中截面后则增量越来越小， 故V关于h的函数图象是先凹后凸的，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小， 故选B． 【点评】本题考查了函数图象的变化特征，函数的单调性的实际应用，体现了数形结合的数学思想和逆向思维． 3. （3分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（） A． 2 B． 1 C． 0 D． ﹣2 参考答案： D 考点： 函数奇偶性的性质；函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得 f（﹣1）=﹣f（1），运算求得结果． 解答： 解：∵已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1+1）=﹣2， 故选D． 点评： 本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题． 4. 定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=，且f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（　　） A．f（sinα）＞f（sinβ） B．f（cosα）＞f（cosβ） C．f（sinα）＞f（cosβ） D．f（sinα）＜f（cosβ） 参考答案： C 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】由条件f（x+1）=得到f（x）是周期为2的周期函数，由f（x）是定义在R上的偶函数，在[﹣3，﹣2]上是减函数，得到f（x）在[2，3]上是增函数，在[0，1]上是增函数，再由α，β是锐角三角形的两个内角，得到α＞90°﹣β，且sinα、cosβ都在区间[0，1]上，从而得到f（sinα）＞f（cosβ）． 解：∵f（x+1）=，∴f（x+2）=f（x），f（x）是周期为2的周期函数． ∵y=f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∵f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数， ∴在[2，3]上是增函数，∴在[0，1]上是增函数，∵α，β是锐角三角形的两个内角． ∴α+β＞90°，α＞90°﹣β，两边同取正弦得：sinα＞sin（90°﹣β）=cosβ， 且sinα、cosβ都在区间[0，1]上，∴f（sinα）＞f（cosβ），故选：C． 5. 若m、n表示直线，α、β表示平面，下列命题正确的是（　　） A．若m∥α，α∥β则m∥β B．m∥α，m∥n则n∥α C．若m∥α，n⊥α则m⊥n D．若m∥α，n?α则m∥n 参考答案： C 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论． 【解答】解：若m∥α，α∥β则m∥β或m?β，故A不正确； m∥α，m∥n则n∥α或n?α，故B不正确； m∥α，n⊥α时，存在直线l?α，使m∥l，则n⊥l，也必有n⊥m，故C正确； 若m∥α，n?α则m∥n或m，n异面，故D不正确． 故选C． 6. 设函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 参考答案： D 7. 函数的图像大致是（    ）           A              B                C             D 参考答案： C 8. 函数是（    ） A. 增函数 B. 减函数 C. 偶函数 D. 奇函数 参考答案： D 【分析】 先利用诱导公式将函数转化为，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】因为， 所以，所以是奇函数， 又，故不单调， 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和奇偶性以及诱导公式的应用，属于基础题. 9. 已知向量∥，则x=(     ) A.9              B.6                C.5               D.3 参考答案： B 略 10. 函数，的值域是 A.       B.        C.        D.  参考答案： B 因为函数，是二次函数对称轴为x=1，那么在给定区间上上先减后增，可知其值域是，选B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （5分）函数f（x）=loga（x+1）﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是      ． 参考答案： （0，﹣2） 考点： 对数函数的图像与性质． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 由于函数y=logax的图象恒过定点（1，0），将y=logax的图象先向左平移1个单位，再下平移2个单位，即可得到函数f（x）的图象，进而得到定点． 解答： 由于函数y=logax的图象恒过定点（1，0）， 将y=logax的图象先向左平移1个单位，再下平移2个单位， 即可得到函数f（x）=loga（x+1）﹣2（a＞0，a≠1）的图象， 则恒过定点（0，﹣2）． 故答案为：（0，﹣2）． 点评： 本题考查对数函数的图象的特征，考查函数图象的变换规律，属于基础题． 12. （5分）某工厂12年来某产品总产量S与时间t（年）的函数关系如图所示，下列四种说法： （1）前三年总产量增长的速度越来越快； （2）前三年总产量增长的速度越来越慢； （3）第3年后至第8年这种产品停止生产了； （4）第8年后至第12年间总产量匀速增加．其中正确的说法是            ． 参考答案： （2）（3）（4） 考点： 函数的图象与图象变化． 专题： 应用题． 分析： 从左向右看图象，利用如下结论： 如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变． 解答： 由函数图象可知 在区间上，图象图象凸起上升的，表明年产量增长速度越来越慢；故（1）对（2）错， 在区间（3，8]上，图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0． 在区间（8，12]上，图象是直线上升的，表明第8年后至第12年间总产量匀速增加； ∴（2）（3）（4）正确 故答案为：（2）（3）（4） 点评： 由图象分析相应的量的变化趋势，关键是要总结相应的量发生变化时对应图象的形状，分析过程中所列示的7种情况，要熟练掌握，以达到灵活应用的目的． 13. 幂函数当时为减函数，则实数m的值为       .  参考答案： 2 14. 已知集合A=，B=，若，则实数的取值范围是        参考答案： 15. 如图，△ABC是直角三角形，ACB=，PA平面ABC，此图形中有　　　个直角三角形 参考答案： 4 16. 用数学归纳法证明：时，从“k到k+1”左边需增加的代数式是________________． 参考答案： 【分析】 写出时的表达式，然后写出时的表达式，由此判断出增加的代数式. 【详解】当时，左边为，左边的固定， 当时，左边为， 化简得，故增加的项为. 【点睛】本小题主要考查数学归纳法的概念以及运用，考查观察与思考的能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 17. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数： 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为__________. 参考答案： 0.25 由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393. 共5组随机数， ∴所求概率为. 答案为：0.25. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知： 、、是同一平面内的三个向量，其中＝（1，2）． (1)若||，且，求的坐标； (2)若||=且与垂直，求与的夹角θ. 参考答案：                     19. （满分8分）解方程． 参考答案： 由题得，    所以    解得．（舍去） 20. 已知 ， ， . （1）求xy 的最小值； （2）求x+y 的最小值. 参考答案： (1) 64  (2) x+y的最小值为18. 试题分析：（1）利用基本不等式构建不等式即可得出； （2）由，变形得，利用“乘1法”和基本不等式即可得出． 试题解析：(1)由 ，得 ,又 ， ，故, 故，当且仅当即时等号成立，∴ (2)由2,得,则 .当且仅当即时等号成立.∴ 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”和变形利用基本不等式是解题的关键． 21. 三棱柱中，侧棱与底面垂直，，， 分别是A1B1，AC1的中点． （Ⅰ）求证： MN∥平面； （Ⅱ）求证：平面ABC1； （Ⅲ）求三棱锥ABC1的体积． 参考答案： （Ⅰ）证明： 连结B1C，A1C， 是A1B1，A1C的中点 B1C． 又平面， 平面．              （Ⅱ）三棱柱中，侧棱与底面垂直， 四边形是正方形．．   ． 又AB平面BCC1B1，所以AB  B1C. 平面ABC1．       （Ⅲ）．        22. 如图四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱长均为，求二面角A-BD-C的大小。 参考答案： 略