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河北省保定市安国流各庄乡中学高一数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数y=2-的值域是( )
A.[-2,2] B.[1,2] C.[0,2] D.[-,]
参考答案:
C
略
2. 一高为H、满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示,其底部碰了一个小洞,满缸水从洞中流出,若鱼缸水深为h时水的体积为V,则函数的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】函数的图象.
【专题】数形结合.
【分析】水深h越大,水的体积v就越大,故函数v=f(h)是个增函数,一开始增长越来越快,后来增长越来越慢,图象是先凹后凸的.
【解答】解:由图得水深h越大,水的体积v就越大,故函数v=f(h)是个增函数. 据四个选项提供的信息,
当h∈[O,H],我们可将水“流出”设想成“流入”,
这样每当h增加一个单位增量△h时,
根据鱼缸形状可知,函数V的变化,开始其增量越来越大,但经过中截面后则增量越来越小,
故V关于h的函数图象是先凹后凸的,曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大,后又逐渐变小,
故选B.
【点评】本题考查了函数图象的变化特征,函数的单调性的实际应用,体现了数形结合的数学思想和逆向思维.
3. (3分)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(﹣1)=()
A. 2 B. 1 C. 0 D. ﹣2
参考答案:
D
考点: 函数奇偶性的性质;函数的值.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得 f(﹣1)=﹣f(1),运算求得结果.
解答: 解:∵已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(1+1)=﹣2,
故选D.
点评: 本题主要考查函数的奇偶性的应用,属于基础题.
4. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=,且f(x)在[﹣3,﹣2]上是减函数,若α,β是锐角三角形的两个内角,则( )
A.f(sinα)>f(sinβ) B.f(cosα)>f(cosβ)
C.f(sinα)>f(cosβ) D.f(sinα)<f(cosβ)
参考答案:
C
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】由条件f(x+1)=得到f(x)是周期为2的周期函数,由f(x)是定义在R上的偶函数,在[﹣3,﹣2]上是减函数,得到f(x)在[2,3]上是增函数,在[0,1]上是增函数,再由α,β是锐角三角形的两个内角,得到α>90°﹣β,且sinα、cosβ都在区间[0,1]上,从而得到f(sinα)>f(cosβ).
解:∵f(x+1)=,∴f(x+2)=f(x),f(x)是周期为2的周期函数.
∵y=f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(﹣x)=f(x),∵f(x)在[﹣3,﹣2]上是减函数,
∴在[2,3]上是增函数,∴在[0,1]上是增函数,∵α,β是锐角三角形的两个内角.
∴α+β>90°,α>90°﹣β,两边同取正弦得:sinα>sin(90°﹣β)=cosβ,
且sinα、cosβ都在区间[0,1]上,∴f(sinα)>f(cosβ),故选:C.
5. 若m、n表示直线,α、β表示平面,下列命题正确的是( )
A.若m∥α,α∥β则m∥β B.m∥α,m∥n则n∥α
C.若m∥α,n⊥α则m⊥n D.若m∥α,n?α则m∥n
参考答案:
C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】对4个命题分别进行判断,即可得出结论.
【解答】解:若m∥α,α∥β则m∥β或m?β,故A不正确;
m∥α,m∥n则n∥α或n?α,故B不正确;
m∥α,n⊥α时,存在直线l?α,使m∥l,则n⊥l,也必有n⊥m,故C正确;
若m∥α,n?α则m∥n或m,n异面,故D不正确.
故选C.
6. 设函数,若存在,使得成立,则实数的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
D
7. 函数的图像大致是( )
A B C D
参考答案:
C
8. 函数是( )
A. 增函数 B. 减函数 C. 偶函数 D. 奇函数
参考答案:
D
【分析】
先利用诱导公式将函数转化为,再利用正弦函数的性质求解.
【详解】因为,
所以,所以是奇函数,
又,故不单调,
故选:D
【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和奇偶性以及诱导公式的应用,属于基础题.
9. 已知向量∥,则x=( )
A.9 B.6 C.5 D.3
参考答案:
B
略
10. 函数,的值域是
A. B. C. D.
参考答案:
B
因为函数,是二次函数对称轴为x=1,那么在给定区间上上先减后增,可知其值域是,选B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (5分)函数f(x)=loga(x+1)﹣2(a>0,a≠1)的图象恒过定点P,则P点的坐标是 .
参考答案:
(0,﹣2)
考点: 对数函数的图像与性质.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: 由于函数y=logax的图象恒过定点(1,0),将y=logax的图象先向左平移1个单位,再下平移2个单位,即可得到函数f(x)的图象,进而得到定点.
解答: 由于函数y=logax的图象恒过定点(1,0),
将y=logax的图象先向左平移1个单位,再下平移2个单位,
即可得到函数f(x)=loga(x+1)﹣2(a>0,a≠1)的图象,
则恒过定点(0,﹣2).
故答案为:(0,﹣2).
点评: 本题考查对数函数的图象的特征,考查函数图象的变换规律,属于基础题.
12. (5分)某工厂12年来某产品总产量S与时间t(年)的函数关系如图所示,下列四种说法:
(1)前三年总产量增长的速度越来越快;
(2)前三年总产量增长的速度越来越慢;
(3)第3年后至第8年这种产品停止生产了;
(4)第8年后至第12年间总产量匀速增加.其中正确的说法是 .
参考答案:
(2)(3)(4)
考点: 函数的图象与图象变化.
专题: 应用题.
分析: 从左向右看图象,利用如下结论:
如果图象是凸起上升的,表明相应的量增长速度越来越慢;如果图象是凹陷上升的,表明相应的量增长速度越来越快;如果图象是直线上升的,表明相应的量增长速度保持不变;如果图象是水平直线,表明相应的量保持不变,即不增长也不降低;如果图象是凸起下降的,表明相应的量降低速度越来越快;如果图象是凹陷下降的,表明相应的量降低速度越来越慢;如果图象是直线下降的,表明相应的量降低速度保持不变.
解答: 由函数图象可知
在区间上,图象图象凸起上升的,表明年产量增长速度越来越慢;故(1)对(2)错,
在区间(3,8]上,图象是水平直线,表明总产量保持不变,即年产量为0.
在区间(8,12]上,图象是直线上升的,表明第8年后至第12年间总产量匀速增加;
∴(2)(3)(4)正确
故答案为:(2)(3)(4)
点评: 由图象分析相应的量的变化趋势,关键是要总结相应的量发生变化时对应图象的形状,分析过程中所列示的7种情况,要熟练掌握,以达到灵活应用的目的.
13. 幂函数当时为减函数,则实数m的值为 .
参考答案:
2
14. 已知集合A=,B=,若,则实数的取值范围是
参考答案:
15. 如图,△ABC是直角三角形,ACB=,PA平面ABC,此图形中有 个直角三角形
参考答案:
4
16. 用数学归纳法证明:时,从“k到k+1”左边需增加的代数式是________________.
参考答案:
【分析】
写出时的表达式,然后写出时的表达式,由此判断出增加的代数式.
【详解】当时,左边为,左边的固定,
当时,左边为,
化简得,故增加的项为.
【点睛】本小题主要考查数学归纳法的概念以及运用,考查观察与思考的能力,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.
17. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为__________.
参考答案:
0.25
由题意知模拟三次投篮的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数,
在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有:191、271、932、812、393.
共5组随机数,
∴所求概率为.
答案为:0.25.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知: 、、是同一平面内的三个向量,其中=(1,2).
(1)若||,且,求的坐标;
(2)若||=且与垂直,求与的夹角θ.
参考答案:
19. (满分8分)解方程.
参考答案:
由题得,
所以
解得.(舍去)
20. 已知 , , .
(1)求xy 的最小值;
(2)求x+y 的最小值.
参考答案:
(1) 64 (2) x+y的最小值为18.
试题分析:(1)利用基本不等式构建不等式即可得出;
(2)由,变形得,利用“乘1法”和基本不等式即可得出.
试题解析:(1)由 ,得 ,又 , ,故,
故,当且仅当即时等号成立,∴
(2)由2,得,则 .当且仅当即时等号成立.∴
【点睛】本题考查了基本不等式的应用,熟练掌握“乘1法”和变形利用基本不等式是解题的关键.
21. 三棱柱中,侧棱与底面垂直,,, 分别是A1B1,AC1的中点.
(Ⅰ)求证: MN∥平面;
(Ⅱ)求证:平面ABC1;
(Ⅲ)求三棱锥ABC1的体积.
参考答案:
(Ⅰ)证明: 连结B1C,A1C,
是A1B1,A1C的中点
B1C.
又平面,
平面.
(Ⅱ)三棱柱中,侧棱与底面垂直,
四边形是正方形.. .
又AB平面BCC1B1,所以AB B1C.
平面ABC1.
(Ⅲ).
22. 如图四面体ABCD的棱BD长为2,其余各棱长均为,求二面角A-BD-C的大小。
参考答案:
略
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