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2022-2023学年浙江省宁波市余姚第四高中高二数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 从某实验班45名同学中随机抽取5名同学参加“挑战杯”竞赛,用随机数法确定这5名同学,现将随机数表摘录部分如下:
16
22
77
94
39
49
54
43
54
82
17
37
93
23
78
87
35
20
96
43
84
42
17
53
31
57
24
55
06
88
77
04
74
47
67
21
76
33
50
25
从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出的第5个同学的编号为( )
A.23 B.37 C.35 D.17
参考答案:
A
【考点】简单随机抽样.
【分析】随机数表法也是简单随机抽样的一种方法,采用随机数表法读数时可以从左向右,也可以从右向左或者从上向下等等.应该注意的是,在读数中出现的相同数据只取一次,超过编号的数据要剔除.
【解答】解:随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,
第一个数为39,然后是43,17,37,23,
故选出来的第5个同学的编号是23,
故选:A.
2. 一个几何体的主视、左视、俯视图分别如下,则该几何体的表面积为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 若直线和x轴,y轴分别交于点A,B,以线段AB为边在第一象限内做等边△ABC,如果在第一象限内有一点使得△ABP和△ABC的面积相等,则m的值为
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 从台甲型和台乙型电视机中任意取出台,其中至少有甲型与乙型电视机各台,则不同的取法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
参考答案:
C 解析:分两类:(1)甲型台,乙型台:;(2)甲型台,乙型台:
6. 甲乙两个竞赛队都参加了6场比赛,比赛得分情况的经营如图如图(单位:分)),其中乙队的一个得分数字被污损,那么估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;茎叶图.
【分析】设乙队的一个得分数字被污损的数学为x,求出甲队平均分为45.乙队平均分为,由x的可能取值的个数是10个,满足>45的x的个数有4个,由此能估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率.
【解答】解:设乙队的一个得分数字被污损的数学为x,
甲队平均分为: =(38+41+44+46+49+52)=45.
乙队平均分为: =(31+47+40+x+42+51+54)=,
∵x的可能取值的个数是10个,
满足>45的x的个数有4个,
∴估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率p=.
故选:C.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意茎叶图及等可能事件概率计算公式的合理运用.
7. 若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中左视图是一个边长为2的正三角形,则这个几何体的体积是( )
A.2cm2 B. cm3 C.3cm3 D.3cm3
参考答案:
B
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高,进而得到该几何体的体积.
【解答】解:由几何体的三视图可知,该几何体为底面是直角梯形,高为的四棱锥,
其中直角梯形两底长分别为1和2,高是2.
故这个几何体的体积是×[(1+2)×2]×=(cm3).
故选:B.
8. 圆x2+y2﹣4x+6y=0和圆x2+y2﹣6x=0交于A,B两点,则直线AB的方程是( )
A.x+3y=0 B.3x﹣y=0 C.3x﹣y﹣9=0 D.3x+y+9=0
参考答案:
A
【考点】圆与圆的位置关系及其判定.
【分析】利用圆系方程的知识,直接求出公共弦所在的直线方程,就是直线AB的方程.
【解答】解:圆:x2+y2﹣4x+6y=0和圆:x2+y2﹣6x=0交于A、B两点,所以x2+y2﹣4x+6y+λ(x2+y2﹣6x)=0是两圆的圆系方程,当λ=﹣1时,就是两圆的公共弦的方程,
所以直线AB的方程是:x+3y=0.
故选:A.
9. 在中,三边成等差数列,,且的面积为,则的值是
A.1+ B. 2+ C. 3+ D.
参考答案:
D
略
10. 已知点,则它的极坐标是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
设P的极坐标为,因为
则,
由在第四象限可知
所以P的极坐标为
故C选项是正确的.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设实数x.y满足则x+2y的最小值为 .
参考答案:
-1
12. 已知双曲线的离心率为,则双曲线的的右焦点是_____________.
参考答案:
略
13. 若函数,,则最小值的表达式=
参考答案:
14. 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有 种(用数字作答)。
参考答案:
540
略
15. 已知向量,在方向上的投影是____________.
参考答案:
略
16. 如果直线互相垂直,那么a的值等于 .
参考答案:
略
17. 一次月考数学测验结束后,四位同学对完答案后估计分数,甲:我没有得满分;乙:丙得了满分;丙:丁得了满分;丁:我没有得满分.以上四位同学中只有一个人说的是真话,只有一个人数学得到满分,据此判断,得了满分的同学是 .
参考答案:
甲
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销,准备为员工办理手机流量套餐.为了解员工手机流量使用情况,通过抽样,得到100位员工每人手机月平均使用流量L(单位:M)的数据,其频率分布直方图如图.
(1)从该企业的100位员工中随机抽取1人,求手机月平均使用流量不超过900M的概率;
(2)据了解,某网络运营商推出两款流量套餐,详情如下:
套餐名称
月套餐费(单位:元)
月套餐流量(单位:M)
A
20
700
B
30
1000
流量套餐的规则是:每月1日收取套餐费.如果手机实际使用流量超出套餐流量,则需要购买流量叠加包,每一个叠加包(包含200M的流量)需要10元,可以多次购买,如果当月流量有剩余,将会被清零.该企业准备订购其中一款流量套餐,每月为员工支付套餐费,以及购买流量叠加包所需月费用.若以平均费用为决策依据,该企业订购哪一款套餐更经济?
参考答案:
(1)0.9;(2) 企业选择A套餐更经济
【分析】
(1)首先根据频率分布直方图小长方形的面积和也即频率之和为列方程,由此求得的值.然后计算出流量不超过的概率.
(2)分别计算选择套餐和套餐,每月使用流量的平均费用,由此确定该企业选择套餐更经济.
【详解】(1)由题意知.
所以100位员工每人手机月平均使用流量不超过900M的概率为.
(2)若该企业选择A套餐,则100位员工每人所需费用可能为20元,30元,40元,
每月使用流量的平均费用为,
若该企业选择B套餐,则100位员工每人所需费用可能为30元,40元,每月使用流量的平均费用为,
所以该企业选择A套餐更经济.
【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的知识运用,考查利用频率分布直方图求解实际生活中的应用问题,属于基础题.
19. (满分12分)某射击比赛,开始时在距目标100米处射击,如果命中记3分,且停止射击;若第一次射击未命中,可以进行第二次射击,但目标已在150米处,这时命中记2分,且停止射击;若第二次仍未命中还可以进行第三次射击,但此时目标已在200米处,若第三次命中则记1分,并停止射击;若三次都未命中,则记0分。已知射手在100米处击中目标的概率为,他的命中率与目标距离的平方成反比,且各次射击都是独立的。
(1)求这名射手在射击比赛中命中目标的概率;
(2)求这名射手在比赛中得分的数学期望。
参考答案:
记“第一、二、三次射击命中目标”分别为事件A,B,C,“三次都未击中”为事件D,
则P(A)= 设在x米处击中概率为P(x)则P(x)=
因为 x=100时P(A)= 所以k=5000, P(x)=
P(B)= P(C)= P(D)=
(1)为1-P(D)=
(2)
20. 在极坐标系中,已知某曲线C的极坐标方程为=直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求该曲线C的直角坐标系方程及离心率e;
(Ⅱ)已知点P为曲线C上的动点,求点P到直线的距离的最大值.
参考答案:
(1)由知曲线C的极坐标方程为化为直角坐标系的方程为=
由于在椭圆方程中,a=1,b=1,c=故离心率=
(2)因直线的极坐标方程为
所以直线得直角坐标系方程为x+2y+6=0
因曲线C的参数方程为为参数),故可设点P坐标为
则点P到直线的距离为=
所以=此时
本题主要考查参数方程与极坐标,考查参直与极直互化、椭圆的方程与性质、点到直线的距离公式.(1)由公式化简可得曲线C的直角坐标方程,则结论易得;(2)由公式化简可得直线l的直角坐标方程,由曲线C的直角坐标方程可得曲线C的参数方程,设点P坐标为,由点到直线的距离公式得,再结合三角函数求解即可.
21. 设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.
参考答案:
考点:
利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值.3804980
专题:
计算题;分类讨论.
分析:
(1)依题意有,f'(1)=0,f'(2)=0.求解即可.
(2)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立?f(x)max<c2在区间[0,3]上成立,根据导数求出函数在[0,3]上的最大值,进一步求c的取值范围.
解答:
解:(Ⅰ)f'(x)=6x2+6ax+3b,
因为函数f(x)在x=1及x=2取得极值,则有f'(1)=0,f'(2)=0.
即
解得a=﹣3,b=4.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)=2x3﹣9x2+12x+8c,f'(x)=6x2﹣18x+12=6(x﹣1)(x﹣2).
当x∈(0,1)时,f'(x)>0;
当x∈(1,2)时,f'(x)<0;
当x∈(2,3)时,f'(x)>0.
所以,当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=5+8c,又f(0)=8c,f(3)=9+8c.
则当x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.
因为对于任意的x∈[0,3],有f(x)<c2恒成立,
所以9+8c<c2,
解得c<﹣1或c>9,
因此c的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(9,+∞).
点评:
本题考查了导数的应用:函数在某点存在
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