江西省赣州市梓山中学2022年高一数学理上学期期末试卷含解析

江西省赣州市梓山中学2022年高一数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知等差数列{an}的前n项和是，则使成立的最小正整数为（      ）   A.2009            B.2010           C.2011             D.2012 参考答案： B 2. 已知函数的图像关于对称，则函数的图像的一条对称轴是（    ）． A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 由题意知，即得，再求三角函数的解析式和对称轴方程得解. 【详解】由题意知， ∴， ∴． 得：． ∴ ． 对称轴，， ，． 当时，． 故选:C．   3. 等差数列{an}中，a2+a8=16，则{an}的前9项和为（　　） A．56 B．96 C．80 D．72 参考答案： D 【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】由已知结合等差数列的性质求得a5，再由S9=9a5得答案． 【解答】解：在等差数列{an}中，由a2+a8=16，得2a5=16，∴a5=8， 则{an}的前9项和S9=9a5=9×8=72． 故选：D． 4. 已知集合A={x|x2﹣1=0}，则下列式子表示不正确的是(     ) A．1∈A B．{﹣1}∈A C．φ?A D．{1，﹣1}?A 参考答案： B 【考点】集合的包含关系判断及应用． 【专题】规律型． 【分析】先求出集合的元素，根据集合元素和集合关系进行判断． 【解答】解；∵集合A={x|x2﹣1=0}={x|x2=1}={﹣1，1}， ∴1∈A，{﹣1}?A，??A，{1，﹣1}?A， ∴B不正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查元素与集合关系的判断，比较基础． 5. 已知函数f（x）=，若?x∈R，则k的取值范围是（　　） A．0≤k＜ B．0＜k＜ C．k＜0或k＞ D．0＜k≤ 参考答案： A 【考点】3R：函数恒成立问题． 【分析】本选择题利用特殊值法解决，观察几个选项知，当k=0时，看是否能保证?x∈R，如能，则即可得出正确选项． 【解答】解：考虑k的特殊值：k=0， 当k=0时，f（x）=，此时：?x∈R， 对照选项排除B，C，D． 故选A． 6. 已知函数f（x）对任意实数x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）成立，则f（1）=（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 参考答案： D 考点：抽象函数及其应用．  专题：函数的性质及应用． 分析：利用赋值法直接求解即可． 解答：解：函数f（x）对任意实数x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）成立， 则f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）， 可得f（1）=0． 故选：D． 点评：本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力． 7. 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（    ）    A．＝                   B．＋＝ C．－＝             D．＋＝ 参考答案： C 略 8. 设向量，则实数m的值为（　　） A．0 B．﹣ C．﹣ D．﹣3 参考答案： B 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】由条件利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得实数m的值． 【解答】解：由向量， 可得m+2（m+1）=0，求得m=﹣， 故选：B． 9. 已知，则等于(    ) A． B．         C． D． 参考答案： D 10. 已知命题“若x≥3,则”,则此命题的逆命题、否命题逆否命题中,正确命题的个数为 A.0           B.1            C.2                D.3 参考答案： B ∵，∴，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1.逆命题为“若，则”，显然是假命题，又逆命题与否命题互为逆否命题，所以否命题也是假命题.又原命题为真命题，所以逆否命题也是真命题.综上，选B.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）=2x2﹣12x+16，则函数y=f（x）﹣2的所有零点之和是　　． 参考答案： 5 【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】f（x+1）为奇函数可得函数f（x）的图象关于（1，0）对称，从而可求x＜1时的函数解析式，进而解方程f（x）=2可得． 【解答】解：∵f（x+1）为奇函数， ∴函数图象关于（0，0）对称， 即函数f（x）的图象关于（1，0）对称 ∵当x＞1时，f（x）=2x2﹣12x+16， 当x＜1时，f（x）=﹣2x2﹣4x 令2x2﹣12x+16=2， 即x2﹣6x+7=0， 可得x1+x2=6， 令﹣2x2﹣4x=2， 即x2+2x+1=0，可得x3=﹣1 ∴横坐标之和为x1+x2+x3=6﹣1=5 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了函数的平移、奇函数的对称性，利用对称性求函数在对称区间上的解析式．考查性质的灵活应用． 12. 已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围是_______----------__ 参考答案： 13. 已知若与的夹角为钝角，则的取值范围      . 参考答案： 略 14. 设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是         ． 参考答案： 略 15. 函数的单调增区间为_______________. 参考答案： 【分析】 将函数解析式变形为，然后解不等式，即可得出该函数的单调递增区间. 【详解】，要求函数的单调增区间， 即求函数的单调递减区间， 解不等式，得， 因此，函数单调增区间为. 故答案为：. 【点睛】本题考查正弦型三角函数单调区间的求解，在求解时要将自变量的系数化为正数，考查运算求解能力，属于基础题. 1 16. 求值：_____________。   参考答案：         17. 已知，则=          ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知向量，，且 （1）求及 （2）若-的最小值是，求的值。. 参考答案： （1）.……………………1分 . ，所以. ……………………3分 (2).………4分 ，所以. ①当时，当且仅当时，取最小值－1，这与题设矛盾. ②当时，当且仅当时，取最小值.由得. ③当时，当且仅当时，取最小值.由得，故舍去.. 综上得：.                                            ……………………10分 19. 为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年．已知房屋外表喷一层这种隔热材料的费用为每毫米厚6万元，且每年的能源消耗费用H（万元）与隔热层厚度x（毫米）满足关系：．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）请解释的实际意义，并求的表达式； （2）当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用最少？并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱？ 参考答案： （1）（2）90 【分析】 （1）将建造费用和能源消耗费用相加得出f（x）的解析式； （2）利用基本不等式得出f（x）的最小值及对应的x的值，与不使用隔热材料的总费用比较得出结论． 【详解】解：（1） 表示不喷涂隔热材料时该房屋能源消耗费用为每年8万元， 设隔热层建造厚度为毫米，则 ， （2） 当，即时取等号 所以当隔热层厚度为时总费用最小万元， 如果不建隔热层，年业主将付能源费万元， 所以业主节省万元. 【点睛】本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题． 20. 已知向量，函数的图象的两相邻对称轴间的距离为. （1）求的值； （2）若，，求的值； （3）若，且有且仅有一个实根，求实数的值. 参考答案： 解：由题意，                     ， （1）∵两相邻对称轴间的距离为， ∴， ∴.…………………………………4分 （2）由（1）得，，      ∵，  ∴， ∴ 21. Sn为数列{an}的前n项和，已知对任意，都有，且. （1）求证：{an}为等差数列； （2）设，求数列{bn}的前n项和Tn. 参考答案： （1）见解析；（2） 【分析】 （1）利用与的关系将条件转化为递推关系，化简即可得，即由定义可证. （2）利用等差数列通项公式求出，从而求得，利用裂项求和法即可求出其前项和. 【详解】（1），          ① 当时,    ②  ①-②得， 即， ∵，∴ 即， ∴为等差数列 （2）由已知得， 即 解得（舍）或 ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了等差数列证明，以及裂项求和法的应用，属于中档题. 等差数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得即可，其中为常数；（2）等差中项法：证得即可. 22. 已知函数f（x）=+（a＞0，a≠1）． （1）求函数f（x）的定义域； （2）判断函数f（x）的奇偶性； （3）求a的取值范围，使xf（x）＞0在定义域上恒成立． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断． 【专题】计算题；转化思想；分析法；函数的性质及应用． 【分析】（1）要使函数有意义，只需ax﹣1≠0； （2）利用函数奇偶性的定义即可判断； （3）问题等价于f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，对不等式化简可求； 【解答】解：（1）由ax﹣1≠0，解得x≠0， ∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}， （2）f（﹣x）=+=+=+=﹣﹣=﹣（+）=﹣f（x）， ∴函数f（x）为奇函数， （3）∵f（x）为奇函数， ∴xf（x）为偶函数， ∴xf（x）＞0在定义域上恒成立问题等价于f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即＞0恒成立， 亦即＞0，所以ax﹣1＞0即ax＞1在（0，+∞）上恒成立， 所以a＞1，故实数a的取值范围是（1，+∞）． 【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判断及其应用，考查恒成立问题，考查转化思想，属中档题．