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2022-2023学年河南省南阳市方城县第五高级中学高二数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形,则其体积是( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B
该空间几何体为正四棱锥,
其底面边长为,高为,
所以体积.
故选.
2. 某单位有员工120人,其中女员工有72人,为做某项调查,拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本,则男员工应选取的人数是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
参考答案:
B
【考点】分层抽样方法.
【分析】总体的个数是120人,要抽一个15人的样本,则每个个体被抽到的概率是,用概率去乘以男员工的人数,得到结果
【解答】解:男员工应抽取的人数为.
故选B.
3. 已知回归直线的斜率的估计值是1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线的方程是
A.=1.23x+0.08 B.=1.23x+5 C.=1.23x+4 D.=0.08x+1.23
参考答案:
A
略
4. 已知分别是双曲线
的左,右焦点。过点与双曲线的一条渐
近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点,且
,则双曲线的离心率为( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
C
5. 如图,空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD的中点,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
6. 给出命题:关于的不等式的解集为;命题:函数的定义域为。 若“”为假命题,“”为真命题,则的取值范围是
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
7. 已知实数x、y可以在,的条件下随机取数,那么取出的数对满足的概率是 、 ( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
8. 已知点(3,1)和(4,6)在直线3x﹣2y+a=0的两侧,则a的取值范围是( )
A.a>0 B.a<﹣7 C.﹣7<a<0 D.a>0或a<﹣7
参考答案:
C
【考点】二元一次不等式(组)与平面区域.
【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域,以及(3,1)和(4,6)在直线两侧,建立不等式即可求解.
【解答】解:∵点(3,1)和(4,6)在直线3x﹣2y+a=0的两侧,
∴两点对应坐标对应式子3x﹣2y+a的符号相反,
即(9﹣2+a)(12﹣12+a)<0,
即a(a+7)<0,
∴﹣7<a<0,
即实数a的取值范围是﹣7<a<0,
故选:C.
9. 不等式 对于恒成立,那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 柱坐标(2,,1)对应的点的直角坐标是( ).
A.() B.() C.() D.()
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知椭圆和双曲线有共同焦点F1,F2,P是它们的一个交点,且∠F1PF2=,记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则的最大值是 .
参考答案:
设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,根据椭圆及双曲线的定义: ,解得,设 则在中,由余弦定理可得:,化简得,即 ,故填
12. 过圆(x﹣1)2+y2=1外一点(3,0)作圆的切线,则切线的长为 .
参考答案:
【考点】关于点、直线对称的圆的方程.
【分析】根据圆的标准方程,找出圆心坐标和半径,根据切线的性质得到三角形AMN为直角三角形,利用两点间的距离公式求出|AM|的长,再由半径|AN|,利用勾股定理即可求出切线长|MN|的长.
【解答】解:(x﹣1)2+y2=1的圆心坐标A(1,0),半径|AN|=1,
又M(3,0)∴|AM|=2,
则切线长|MN|==.
故答案为:.
13. 如图所示,在半径为1的半圆内放置一个边长为的正方形ABCD,向半圆内任投一点,则点落在正方形内的概率为 .
参考答案:
【考点】几何概型.
【专题】计算题;概率与统计.
【分析】由题意,以面积为测度,可得点落在正方形内的概率.
【解答】解:由题意,以面积为测度,可得点落在正方形内的概率P==.
故答案为:.
【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.
14. 在平面直角坐标系中,三点,,,则三角形OAB的外接圆方程是 .
参考答案:
15. 设函数的定义域和值域都是,则 .
参考答案:
1
16. 在中,,,,则=___________.
参考答案:
4
略
17. 袋中有个球,其中有彩色球个.甲、乙、丙三人按甲、乙、丙、甲、乙、丙、的顺序依次从袋中取球,每次取后都放回,规定先取出彩色球者为获胜.则甲、乙、丙获胜的概率比为 .(以整数比作答)
参考答案:
9:6:4
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知复数,当实数m取什么值时,
(1)复数z是零;
(2)复数z是纯虚数.
参考答案:
(1)∵z是零,∴,
解得.
(2)∵z是纯虚数,∴.
(3)解得.
综上,当时,z是零;当时,z是纯虚数.
19. 已知数列{an}的前n项和为
(1)求
(2)求数列的前n项和Tn.
参考答案:
(1) (2)
【分析】
(1)分别将和代入,联立求解,即可得出结果;
(2)先由(1)得到,再得到,两式作差,得到通项公式,再验证满足通项,进而得是等比数列,用求和公式,即可得出结果.
【详解】(1)当时,
时
联立(1)(2),得
(2)由(1)得,
当时,
(3)-(4),得
当时,满足该通项,
故是首项为4,公比为2的等比数列
【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合,熟记通项公式以及求和公式即可,属于常考题型.
20. (本小题满分13分) 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与轴的正半轴重合.直线的参数方程为 (为参数),圆的极坐标方程为.若直线与圆相交于、且,求实数的值.
参考答案:
把代入曲线C的方程得,......8分
设点,分别对应参数,则由韦达定理知
由于且,所以,
......13分
21. (12分)已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a,b,c,tan A+tan B=-tan Atan B,a=2,c=.
(1)求tan(A+B)的值;
(2)求△ABC的面积.
参考答案:
(1)∵tan A+tan B=-tan Atan B=(1-tan Atan B),
∴tan(A+B)==.
(2)由(1)知A+B=60°,∴C=120°.
∵c2=a2+b2-2abcos C.
∴19=4+b2-2×2×b,∴b=3.
∴S△ABC=absin C=×2×3×=.
略
22. 如图,已知等腰直角三角形,其中
∠=90o,.点A、D分别是、的中点,现将△沿着边折起到△位置,使⊥,连结、.
(1)求证:⊥;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
参考答案:
解:(1)∵点A、D分别是、的中点,
∴.
∴∠=90o. ∴.
∴ , ------------2分
∵,
∴⊥平面. -------------------------4分
∵平面, ∴. -----6分
(2)法1:取的中点,连结、.
∵, ∴.
∵, ∴平面.
∵平面, ∴.
∵ ∴平面.
∵平面, ∴.
∴∠是二面角的平面角. ------------------10分
在Rt△中, ,
在Rt△中, ,
. --------------13分
∴ 二面角的平面角的余弦值是. ---------------14分
略
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