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2022-2023学年河北省邯郸市大马村乡中学高三数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2b2)tanB=ac,则角B=( )
A. B. C.或 D.或
参考答案:
D
略
2. 设函数,其中常数满足.若函数(其中是函数的导数)是偶函数,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
由题意得
,
∵函数为偶函数,
∴.
又,
∴.选A.
3. 已知,且,则( )
A. B. C.-7 D.7
参考答案:
C
4. 已知向量,,若与共线.则等于( )
A. B. C. D.4
参考答案:
A
5. “”是“”的( )
A.必要且不充分条件 B.充分且不必要条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
参考答案:
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】分别求出“”和是“”解,根据集合的包含关系判断即可.
【解答】解:由“”,解得:x>0,
由“”,解得:0<x<1,
故“”是“”的必要不充分条件,
故选:A.
6. 已知等差数列首项为,公差为,等比数列首项为,公比为,其中都是大于1的正整数,且,对于任意的,总存在,使得成立,则( )w。w-w*k&s%5¥u
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
7. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据可得该几何体的表面积是( )
.
.
.
.
参考答案:
D
从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面及为
故选D
8. 已知双曲线的左、右焦点分别是、,其一条渐近线方程为,点在双曲线上.则=( )
A. B. C. 0 D. 4
参考答案:
C
9. 若关于x的不等式2->|x-a| 至少有一个负数解,则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
10. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A. 12π+15 B. 13π+12 C. 18π+12 D. 21π+15
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,若存在,使得,则的取值范围是______.
参考答案:
12. 已知向量与的夹角为,,则在方向上的投影为 .
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由条件,可得出在方向上的投影为,从而求出投影的值.
【解答】解:根据条件,在方向上的投影为:
.
故答案为:.
13. 在二项式(+2x)n的展开式中,前3项的二项式系数之和等于79,则展开式中x4的系数为 .
参考答案:
【考点】二项式系数的性质.
【分析】由=79,化简解出n=12.再利用二项式定理的通项公式即可得出.
【解答】解:∵=79,
化为n2+n﹣156=0,n∈N*.
解得n=12.
∴的展开式中的通项公式Tr+1==22r﹣12xr,
令r=4,则展开式中x4的系数==.
故答案为:.
14. 已知非零向量满足|+|=|﹣|=3||,则cos<,﹣>= .
参考答案:
﹣
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据向量的数量积的运算和向量的夹角公式计算即可.
【解答】解:∵|+|=|﹣|=3||,
∴|+|2=|﹣|2=9||2,
∴=0,||2=8||2,即||=2||,
∴(﹣)=﹣()2=﹣8||2,
∴cos<,﹣>=﹣=﹣,
故答案为:﹣.
15. 已知正三棱锥的侧棱与底面边长相等,分别为的中点,则异面直线与所成角的大小是________。
参考答案:
16. (4分)(2015?杨浦区二模)已知是不平行的向量,设,则与共线的充要条件是实数k等于 .
参考答案:
±1
【考点】: 平行向量与共线向量;必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】: 平面向量及应用.
【分析】: 利用向量共线定理、共面向量基本定理即可得出.
解:与共线的充要条件是存在实数λ使得,
∴=λ=+,
∵是不平行的向量,
∴,解得k=±1.
故答案为:±1.
【点评】: 本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理,属于基础题.
17. 已知直角梯形ABCD中,,,,P是腰CD上的动点,则的最小值为____________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N+),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1 , S11=11b4 .
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和(n∈N+).
参考答案:
(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.
由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q+q2﹣6=0.
又因为q>0,解得q=2.所以,bn=2n .
由b3=a4﹣2a1 , 可得3d﹣a1=8①.
由S11=11b4 , 可得a1+5d=16②,
联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n﹣2.
所以,数列{an}的通项公式为an=3n﹣2,数列{bn}的通项公式为bn=2n .
(Ⅱ)设数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为Tn ,
由a2n=6n﹣2,b2n﹣1= 4n ,
有a2nb2n﹣1=(3n﹣1)4n ,
故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n﹣1)4n ,
4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n﹣1)4n+1 ,
上述两式相减,得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣(3n﹣1)4n+1
= =﹣(3n﹣2)4n+1﹣8
得Tn= .
所以,数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为 .
19. 已知向量=(sin2x+2,cosx),=(1,2cosx),设函数f(x)=
(1)求f(x)的最小正周期与单调递增区间;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对应的边,若f(A)=4,b=1,得面积为,求a的值.
参考答案:
【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性.
【专题】解三角形.
【分析】(1)由两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算列出f(x)解析式,化简后利用周期公式求出最小正周期;利用正弦函数的单调性确定出递增区间即可;
(2)由f(A)=4,根据f(x)解析式求出A的度数,利用三角形面积公式列出关系式,将b,sinA及已知面积代入求出c的值,再利用余弦定理即可求出a的值.
【解答】解:(1)∵向量=(sin2x+2,cosx),=(1,2cosx),
∴函数f(x)=?=sin2x+2+2cos2x=sin2x+cos2x+3=2sin(2x+)+3,
∵ω=2,∴T=π,
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得到kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z,
则f(x)的最小正周期为π;单调递增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z;
(2)由f(A)=4,得到2sin(2A+)+3=4,即sin(2A+)=,
∴2A+=或2A+=,
解得:A=0(舍去)或A=,
∵b=1,面积为,
∴bcsinA=,即c=2,
由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2=3,
则a=.
【点评】此题考查了余弦定理,平面向量的数量积运算,正弦函数的单调性,以及三角形的面积公式,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
20. (12分)
如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱底面ABCD,,E是PC的中点。
(I)证明 平面;
(II)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。
参考答案:
解析:方法一:
(I) 证明:连结AC,AC交BD于O。连结EO。
底面ABCD是正方形,点O是AC的中点
在中,EO是中位线,。
而平面EDB且平面EDB,
所以,平面EDB。 。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
(II) 解:
方法一、
作交DC于F。连结BF。设正方形
ABCD的边长为。
底面ABCD,
为DC的中点。
底面ABCD,BF为BE在底面ABCD内的射影,故为直线EB与底面ABCD所成的角。
在中,
在中,
所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为 。。。。。。。。。12分
方法二(略)
21. 已知函数,.
当m=-2时,求不等式的解集;
,都有恒成立,求m的取值范围.
参考答案:
当m=-2时,,
当解得当恒成立
当解得
此不等式的解集为.
当时,
当时,不等式化为.
由
当且仅当即时等号成立.
,.
当时,不等式化为.
,令,.
,
在上是增函数.
当时,取到最大值为.
.
综上.
22. 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱
形,∠ABC=60°,平面PAB⊥平面ABCD,
PA=PB=2AB.
(1)证明:PC⊥AB;
(2)求二面角B-PC-D的余弦值.
参考答案:
略
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