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广西壮族自治区桂林市中庸中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图所示,集合M,P,S是全集V的三个子集,则图中阴影部分所表示的集合是
A. B.
C. D.
参考答案:
C
2. 在锐角△ABC中,a=1,B=2A,则b的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】HP:正弦定理.
【分析】由条件可得<3 A<π,且 0<2A<,故<A<,<cosA<,由正弦定理可得 b=2cosA,从而得到 b 的取值范围.
【解答】解:在锐角△ABC中,a=1,∠B=2∠A,
∴<3 A<π,且 0<2A<,故<A<,
故 <cosA<.
由正弦定理可得=,
∴b=2cosA,
∴<b<,
故选:B.
3. 已知三点A(-2,-1),B(x,2),C(1,0)共线,则x为:( )
A、7 B、-5 C、3 D、-1
参考答案:
A
4. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.2 B.1 C. D.
参考答案:
C
5. 如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. (5分)过点A(4,1)的圆C与直线x﹣y﹣1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程是()
A. (x﹣5)2+y2=2 B. (x﹣3)2+y2=4 C. (x﹣5)2+y2=4 D. (x﹣3)2+y2=2
参考答案:
考点: 圆的标准方程.
专题: 计算题;直线与圆.
分析: 求出直线x﹣y﹣1=0的斜率,利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出过点B的直径所在直线方程的斜率,求出此直线方程,根据直线方程设出圆心C坐标,根据|AC|=|BC|,利用两点间的距离公式列出方程,求出方程的解确定出C坐标,进而确定出半径,写出圆的方程即可.
解答: ∵直线x﹣y﹣1=0的斜率为1,
∴过点B直径所在直线方程斜率为﹣1,
∵B(2,1),
∴此直线方程为y﹣1=﹣(x﹣2),即x+y﹣3=0,
设圆心C坐标为(a,3﹣a),
∵|AC|=|BC|,即=,
解得:a=3,
∴圆心C坐标为(3,0),半径为,
则圆C方程为(x﹣3)2+y2=2.
故选:D.
点评: 此题考查了圆的标准方程,涉及的知识有:两点间的距离公式,两直线垂直时斜率满足的关系,求出圆心坐标与半径是解本题的关键.
7. 已知是两两不重合的三个平面,下列命题中错误的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
参考答案:
B
8. 设正六边形的中心为点,为平面内任意一点,则( )
A. B. C.3 D.6
参考答案:
D
略
9. 在等比数列中,,则( )
A.; B.; C.; D.。
参考答案:
B
略
10. 圆柱的底面积为S,侧面展开图为正方形,那么这个圆柱的侧面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量,,且与垂直,则x的值为______.
参考答案:
【分析】
根据与垂直即可得出,进行数量积的坐标运算即可求出x的值.
【详解】;
;
.
故答案为:.
【点睛】本题考查向量垂直的充要条件,以及向量数量积的坐标运算,属于基础题.
12. 在中,若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则 = .
参考答案:
3
解析: 切割化弦,已知等式即,
亦即,即=1,即.
所以,,故.
13. 设集合S={1,2},A与B是S的两个子集,若AB=S,则称(A,B)为集合S的一个分拆,当且仅当A=B时(A,B)与(B,A)是同一个分拆。那么集合S的不同的分拆个数有_______________个。w.w.w.k.s.5.u.
参考答案:
9
14. 设集合A={5,a+1},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B= .
参考答案:
{1,2,5}
15. 函数的值域是 .
参考答案:
16. 函数y=[x]叫做“取整函数”,其中符号[x]表示x的整数部分,即[x]是不超过x的最大整数,例如[2]=2;[2.1]=2;[﹣2.2]=﹣3,那么[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2016]的值为 .
参考答案:
4941
【考点】函数的值.
【专题】计算题;分类讨论;函数的性质及应用.
【分析】分类讨论,当1≤n≤9时,[lgn]=0;当10≤n≤99时,[lgn]=1;当100≤n≤999时,[lgn]=2;当1000≤n≤9999时,[lgn]=3;从而分别求和即可.
【解答】解:当1≤n≤9时,
[lgn]=0,
当10≤n≤99时,
[lgn]=1,
当100≤n≤999时,
[lgn]=2,
当1000≤n≤9999时,
[lgn]=3,
故[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2016]
=0×9+1×90+2×900+3×1017
=90+1800+3051
=4941,
故答案为:4941.
【点评】本题考查了分类讨论的思想应用及对数运算的应用.
17. 若集合{1,2,3}={a,b,c},则a+b+c= .
参考答案:
6
【考点】集合的相等.
【分析】利用集合相等的定义求解.
【解答】解:∵{1,2,3}={a,b,c},
∴a+b+c=1+2+3=6.
故答案为:6.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数是定义在上的偶函数,当时,
(1)求函数的解析式,并画出函数的图像。
(2)根据图像写出的单调区间和值域。
参考答案:
解:(1)由,当,
又函数为偶函数, —————(3分)
故函数的解析式为 —————(4分)
函数图像略。 —————(7分)
(2)由函数的图像可知,函数的单调递增区间为
单调递减区间为,函数的值域为 ———(12分)
略
19. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在x轴上、半径为2的圆C位于y轴右侧,且与直线相切.
(1)求圆C的方程;
(2)在圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A,B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】圆的标准方程;点到直线的距离公式.
【分析】(1)设圆心是(x0,0)(x0>0),由直线于圆相切可知,圆心到直线的距离等于半径,利用点到直线的距离公式可求x0,进而可求圆C的方程
(2)把点M(m,n)代入圆的方程可得,m,n的方程,结合原点到直线l:mx+ny=1的距离h<1可求m的范围,根据弦长公式求出AB,代入三角形的面积公式,结合二次函数的性质可求最大值
【解答】解:(1)设圆心是(x0,0)(x0>0),它到直线的距离是,
解得x0=2或x0=﹣6(舍去)…
∴所求圆C的方程是(x﹣2)2+y2=4…
(2)∵点M(m,n)在圆C上
∴(m﹣2)2+n2=4,n2=4﹣(m﹣2)2=4m﹣m2且0≤m≤4…
又∵原点到直线l:mx+ny=1的距离…(8分)
解得…(10分)
而
∴…(11分
20. 已知函数定义域为R的为奇函数.
(1)求实数a和b的值,并判断并证明函数f(x)在(1,+∞)上的单调性;
(2)已知k<0,且不等式对任意的恒成立,求实数k的取值范围.
参考答案:
(1),
∴, ------------------------------------2分
任取,且
--------------------------5分
∵
∴----------------------------------6分
(2)
-------------------------------------7分
∵∴--------------------.8分
----------------------------------------.10分
∵,∴-----------------------------12分
21. 已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)判断函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)若对任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题;函数奇偶性的性质;二次函数的性质;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)利用奇函数定义f(x)=﹣f(x)中的特殊值f(0)=0求b的值;
(Ⅱ)设x1<x2然后确定f(x1)﹣f(x2)的符号,根据单调函数的定义得到函数f(x)的单调性;
(III)结合单调性和奇函数的性质把不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0转化为关于t的一元二次不等式,最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,
即?b=1,
∴.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
设x1<x2则f(x1)﹣f(x2)=﹣=
因为函数y=2x在R上是增函数且x1<x2∴f(x1)﹣f(x2)=>0
即f(x1)>f(x2)
∴f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数
(III)f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数,又因为f(x)是奇函数,
所以f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0
等价于f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),
因为f(x)为减函数,由上式可得:t2﹣2t>k﹣2t2.
即对一切t∈R有:3t2﹣2t﹣k>0,
从而判别式.
所以k的取值范围是k<﹣.
22. (12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD.底面ABCD为梯形,AB∥DC,AB⊥BC,PA=AB=BC,点E在棱PB上,且PE=2EB.
(1)求证:平面PAB⊥平面PCB;
(2)求证:PD∥平面EAC.
参考答案:
考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
专题: 证明题.
分析: (1)根据PA⊥底面ABCD,得到PA⊥BC,结合AB⊥BC,可得BC⊥平面PAB.最后根据面面垂直的判定定理,可证出平面PAB⊥平面PCB.
(2)利用线面垂直的性质,可得在直角梯形ABCD中AC⊥AD,根据题中数据结合平行线分线段成比例,算出DC=2AB,从而得到△BPD中,PE:EB=DM:MB=2,所以PD∥EM,由线面平行的判定定理可得PD∥平面EAC.
解答: (1)∵PA⊥底面ABCD,BC?底面ABCD,∴PA⊥BC,
又∵AB⊥BC,PA∩AB=A,∴
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