广西壮族自治区桂林市中庸中学高一数学理期末试卷含解析

广西壮族自治区桂林市中庸中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图所示，集合M,P,S是全集V的三个子集，则图中阴影部分所表示的集合是                  A．           B． 　 C．     D． 参考答案： C 2. 在锐角△ABC中，a=1，B=2A，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】HP：正弦定理． 【分析】由条件可得＜3 A＜π，且  0＜2A＜，故＜A＜，＜cosA＜，由正弦定理可得 b=2cosA，从而得到 b 的取值范围． 【解答】解：在锐角△ABC中，a=1，∠B=2∠A， ∴＜3 A＜π，且  0＜2A＜，故＜A＜， 故  ＜cosA＜． 由正弦定理可得=， ∴b=2cosA， ∴＜b＜， 故选：B． 3. 已知三点A（－2,－1）,B（x，2）,C（1，0）共线,则x为：（　 ） A、7        B、-5         C、3        D、-1 参考答案： A 4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ） A．2         B．1         C．        D．    参考答案： C 5. 如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（     ） 　　　　　　　        A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　　D． 参考答案： A 6. （5分）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y﹣1=0相切于点B（2，1），则圆C的方程是（） A． （x﹣5）2+y2=2 B． （x﹣3）2+y2=4 C． （x﹣5）2+y2=4 D． （x﹣3）2+y2=2 参考答案： 考点： 圆的标准方程． 专题： 计算题；直线与圆． 分析： 求出直线x﹣y﹣1=0的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出过点B的直径所在直线方程的斜率，求出此直线方程，根据直线方程设出圆心C坐标，根据|AC|=|BC|，利用两点间的距离公式列出方程，求出方程的解确定出C坐标，进而确定出半径，写出圆的方程即可． 解答： ∵直线x﹣y﹣1=0的斜率为1， ∴过点B直径所在直线方程斜率为﹣1， ∵B（2，1）， ∴此直线方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0， 设圆心C坐标为（a，3﹣a）， ∵|AC|=|BC|，即=， 解得：a=3， ∴圆心C坐标为（3，0），半径为， 则圆C方程为（x﹣3）2+y2=2． 故选：D． 点评： 此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：两点间的距离公式，两直线垂直时斜率满足的关系，求出圆心坐标与半径是解本题的关键． 7. 已知是两两不重合的三个平面，下列命题中错误的是（    ）    A．若，则           B．若，则 C．若，则          D．若，则 参考答案： B 8. 设正六边形的中心为点,为平面内任意一点，则(  ) Ａ．       B．      Ｃ．3 Ｄ．6 参考答案： D 略 9. 在等比数列中，，则（    ） A．；         B．；          C．；         D．。 参考答案： B 略 10. 圆柱的底面积为S,侧面展开图为正方形,那么这个圆柱的侧面积为(    ) A.         B.      C.         D. 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知向量，，且与垂直，则x的值为______. 参考答案： 【分析】 根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值． 【详解】； ； ． 故答案为：． 【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题． 12.  在中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则 =       ． 参考答案： 3 解析：  切割化弦，已知等式即， 亦即，即=1，即．      所以，，故． 13. 设集合S={1，2}，A与B是S的两个子集，若AB=S，则称（A，B）为集合S的一个分拆，当且仅当A=B时（A，B）与（B，A）是同一个分拆。那么集合S的不同的分拆个数有_______________个。w.w.w.k.s.5.u. 参考答案： 9 14. 设集合A＝{5，a+1}，集合B＝{a，b}.若A∩B={2}，则A∪B=        . 参考答案： {1，2，5} 15. 函数的值域是         . 参考答案： 16. 函数y=[x]叫做“取整函数”，其中符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如[2]=2；[2.1]=2；[﹣2.2]=﹣3，那么[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2016]的值为　　． 参考答案： 4941 【考点】函数的值． 【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用． 【分析】分类讨论，当1≤n≤9时，[lgn]=0；当10≤n≤99时，[lgn]=1；当100≤n≤999时，[lgn]=2；当1000≤n≤9999时，[lgn]=3；从而分别求和即可． 【解答】解：当1≤n≤9时， [lgn]=0， 当10≤n≤99时， [lgn]=1， 当100≤n≤999时， [lgn]=2， 当1000≤n≤9999时， [lgn]=3， 故[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2016] =0×9+1×90+2×900+3×1017 =90+1800+3051 =4941， 故答案为：4941． 【点评】本题考查了分类讨论的思想应用及对数运算的应用． 17. 若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c=　   　． 参考答案： 6 【考点】集合的相等． 【分析】利用集合相等的定义求解． 【解答】解：∵{1，2，3}={a，b，c}， ∴a+b+c=1+2+3=6． 故答案为：6． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数是定义在上的偶函数，当时， （1）求函数的解析式，并画出函数的图像。 （2）根据图像写出的单调区间和值域。 参考答案： 解：（1）由，当， 又函数为偶函数，    —————（3分） 故函数的解析式为   —————（4分） 函数图像略。                          —————（7分）    （2）由函数的图像可知，函数的单调递增区间为      单调递减区间为，函数的值域为   ———（12分） 略 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上、半径为2的圆C位于y轴右侧，且与直线相切． （1）求圆C的方程； （2）在圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】圆的标准方程；点到直线的距离公式． 【分析】（1）设圆心是（x0，0）（x0＞0），由直线于圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式可求x0，进而可求圆C的方程 （2）把点M（m，n）代入圆的方程可得，m，n的方程，结合原点到直线l：mx+ny=1的距离h＜1可求m的范围，根据弦长公式求出AB，代入三角形的面积公式，结合二次函数的性质可求最大值 【解答】解：（1）设圆心是（x0，0）（x0＞0），它到直线的距离是， 解得x0=2或x0=﹣6（舍去）… ∴所求圆C的方程是（x﹣2）2+y2=4… （2）∵点M（m，n）在圆C上 ∴（m﹣2）2+n2=4，n2=4﹣（m﹣2）2=4m﹣m2且0≤m≤4… 又∵原点到直线l：mx+ny=1的距离…（8分） 解得…（10分） 而 ∴…（11分 20. 已知函数定义域为R的为奇函数． （1）求实数a和b的值，并判断并证明函数f(x)在(1,+∞)上的单调性； （2）已知k＜0，且不等式对任意的恒成立，求实数k的取值范围． 参考答案： （1）， ∴，  ------------------------------------2分 任取，且 --------------------------5分 ∵ ∴----------------------------------6分 （2）    -------------------------------------7分   ∵∴--------------------.8分 ----------------------------------------.10分 ∵，∴-----------------------------12分 21. 已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数． （Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）判断函数f（x）的单调性； （Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质；二次函数的性质；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）利用奇函数定义f（x）=﹣f（x）中的特殊值f（0）=0求b的值； （Ⅱ）设x1＜x2然后确定f（x1）﹣f（x2）的符号，根据单调函数的定义得到函数f（x）的单调性； （III）结合单调性和奇函数的性质把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0， 即?b=1， ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 设x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=﹣= 因为函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2∴f（x1）﹣f（x2）=＞0 即f（x1）＞f（x2） ∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数 （III）f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，又因为f（x）是奇函数， 所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0 等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2）， 因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2． 即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0， 从而判别式． 所以k的取值范围是k＜﹣． 22. （12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC，点E在棱PB上，且PE=2EB． （1）求证：平面PAB⊥平面PCB； （2）求证：PD∥平面EAC． 参考答案： 考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题： 证明题． 分析： （1）根据PA⊥底面ABCD，得到PA⊥BC，结合AB⊥BC，可得BC⊥平面PAB．最后根据面面垂直的判定定理，可证出平面PAB⊥平面PCB． （2）利用线面垂直的性质，可得在直角梯形ABCD中AC⊥AD，根据题中数据结合平行线分线段成比例，算出DC=2AB，从而得到△BPD中，PE：EB=DM：MB=2，所以PD∥EM，由线面平行的判定定理可得PD∥平面EAC． 解答： （1）∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴PA⊥BC， 又∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴