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江西省赣州市俄眉中学高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( )
A. 米 B. 米 C. 200米 D. 200米
参考答案:
A
2. 已知函数,则f(-2)的值为( )
A.1 B.2 C.4 D.5
参考答案:
C
略
3. 若,则下列不等式成立的是
A-. B. C. D.
参考答案:
C
4. 已知函数,则的最小值是( )
A.0 B.
C.1 D.不存在
参考答案:
B
略
5. 在下列条件中,可判断平面与平面平行的是 ( )
A.、都垂直于平面 B.内存在不共线的三点到平面的距离相等
C.、是内两条直线,且,
D.、是两条异面直线,且,,,
参考答案:
D
略
6. 若函数,在处取最小值,则=( )
A. B. C.3 D.4
参考答案:
C
略
7. 已知数列{an},a1=1,an+1=an﹣n,计算数列{an}的第20项.现已给出该问题算法的程序框图(如图所示).为使之能完成上述的算法功能,则在如图判断框中(A)处和(B)处依次应填上合适的语句是( )
A.n≤20,S=S﹣n B.n≤20,S=S+n C.n≤19,S=S﹣n D.n≤19,S=S+n
参考答案:
D
【考点】程序框图.
【分析】由已知可得程序的功能是:计算满足条件a1=1,an+1=an﹣n的数列的第20项,由于S的初值为1,故循环需要执行19次,又因为循环变量的初值为1,故循环变量的值为小于20(最大为19)时,循环继续执行,当循环变量的值大于等于20时,结束循环,输出值S.据此可得(A),(B)处满足条件的语句.
【解答】解:由已知可得程序的功能是:
计算满足条件a1=1,an+1=an﹣n的数列的第20项,
由于S的初值为1,故循环需要执行19次,
又因为循环变量的初值为1,
故循环变量的值为小于20(最大为19)时,循环继续执行,
当循环变量的值大于等于20时,结束循环,输出累加值S.
故该语句应为:A:n<=19或n<20;B:s=s+n.
故选:D.
8. 设全集U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩?UB=( )
A.{x|0≤x<1} B.{x|0<x≤1} C.{x|x<0} D.{|x>1}
参考答案:
B
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】由全集R及B,求出B的补集,找出A与B补集的交集即可.
【解答】解:∵全集U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},
∴?UB={x|x≤1},
则A∩?UB={x|0<x≤1},
故选:B.
9. 已知数列的前项和为,则( )
A.5 B. 9 C.16 D.25
参考答案:
B
10. 三棱锥P﹣ABC的侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=2,则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积是( )
A.2π B.4π C.π D.8π
参考答案:
B
【考点】球的体积和表面积;球内接多面体.
【专题】计算题;空间位置关系与距离.
【分析】以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱,作长方体如图,则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球.算出长方体的对角线即为球直径,结合球的表面积公式,可算出三棱锥P﹣ABC外接球的体积.
【解答】解:以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱,作长方体如图
则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球.
∵长方体的对角线长为2,
∴球直径为2,半径R=,
因此,三棱锥P﹣ABC外接球的体积是πR3=π×()3=4π
故选:B.
【点评】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直,求它的外接球的表面积,着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
参考答案:
增;减
12. 函数恒过定点 .
参考答案:
(1,2)
略
13. 已知函数对于满足的任意,,给出下列结论:
①; ②;
③. ④
其中正确结论的序号是___________.
参考答案:
②③
14. 数列的前项和为,,,则= .
参考答案:
略
15. 已知函数,若,则实数________ .
参考答案:
2
略
16. 设,则的值为__________.
参考答案:
17. 如图所示,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针针尖位置若初始位置为,当秒针从(注此时)正常开始走时,那么点的纵坐标与时间的函数关系为________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足.
(1)求角A的大小;
(2)若,且,求△ABC 的面积.
参考答案:
(1) (2)
19. 某城市1991年底人口为500万,人均住房面积为6 m2,如果该城市每年人口平均增长率为1%,则从1992年起,每年平均需新增住房面积为多少万m2,才能使2010年底该城市人均住房面积至少为24m2?(可参考的数据1.0118=1.20,1.0119=1.21,1.0120=1.22).
参考答案:
解 设从1992年起,每年平均需新增住房面积为x万m2,则由题设可得下列不等式
解得.
答 设从1992年起,每年平均需新增住房面积为605万m2.
20. f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=.
(1)求f(x)在(﹣1,0)上的解析式;
(2)证明:f(x)在(0,1)上是减函数.
参考答案:
【考点】奇偶性与单调性的综合;函数奇偶性的性质.
【专题】转化思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】(1)利用函数奇偶性的性质,利用对称关系即可求f(x)在(﹣1,0)上的解析式;
(2)利用函数单调性的定义即可证明:f(x)在(0,1)上是减函数.
【解答】解:(1)若x∈(﹣1,0),则﹣x∈(0,1),
∵当x∈(0,1)时,f(x)=.
∴当﹣x∈(0,1)时,f(﹣x)===.
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(﹣x)==﹣f(x).
即f(x)=﹣,x∈(﹣1,0);
(2)证明:f(x)在(0,1)上是减函数.
设任意的x1,x2∈(0,1),且x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=﹣=,
∵0<x1<x2<1,
∴1<<,
∴﹣<0,1﹣?<0,
∴f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故函数f(x)在(0,1)上是单调减函数.
【点评】本题考查函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解,要求熟练掌握利用定义证明函数的单调性,利用函数奇偶性的性质和单调性的定义是解决本题的关键.
21. 已知函数.
(1)判断函数在上的单调性,并用单调性的定义加以证明;
(2)若,求函数在上的值域.
参考答案:
解:(1)当时,函数在上是减函数;…………………..2分
当时,函数在上是增函数. …………………..4分
用单调性的定义加以证明(略). …………………..7分
(2)由(1)知函数在上是减函数,
所以函数在上的值域为. …………………..10分
略
22. (本小题满分12分)
已知函数为奇函数
(1)判断函数的奇偶性;
(2)若时,,求当时,函数的解析式。
参考答案:
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