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2022-2023学年江西省萍乡市张佳坊中学高一数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,则所在的象限是( )
A. 二、四 B. 一、二 C. 一、四 D. 二、三
参考答案:
C
【分析】
由得出或,分两种情况讨论,即可确定角所在的象限.
【详解】,或.
若且,则角为第一象限角;
若且,则角第四象限角.
综上所述,角为第一或第四象限角.
故选:C.
【点睛】本题考查象限角与三角函数值符号之间的关系,考查推理能力,属于基础题.
2. 数列{an}为等比数列,且,公比,则( )
A.2 B.4 C.8 D.16
参考答案:
B
,故选B。
3. 方程表示的图形是半径为()的圆,则该圆圆心在( )
A.第一象限 B.第二象限 C..第三象限 D.第四象限
参考答案:
D
略
4. 在△ABC中,若,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
参考答案:
A
5. 已知直线,互相平行,则的值是( )
A. B. C.或 D.
参考答案:
B
6. 已知A,B,C,是的三个内角,若的面积( )
A. B. C.3 D.
参考答案:
D
7. 若()2a+1<()3﹣2a,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(,+∞) C.(﹣∞,1) D.(﹣∞,)
参考答案:
B
【考点】指数函数的单调性与特殊点.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】考查指数函数,利用函数为单调减函数,可得不等式,从而可求实数a的取值范围.
【解答】解:考查指数函数
∵,()2a+1<()3﹣2a,
∴2a+1>3﹣2a
∴a>
∴实数a的取值范围是()
故选B.
【点评】本题考查指数函数的单调性,考查解不等式,正确运用指数函数的单调性是关键.
8. 圆x2+y2﹣2x=0的圆心到直线y=x+1的距离是( )
A.1 B.2 C. D.
参考答案:
D
【考点】点到直线的距离公式.
【专题】计算题.
【分析】先把圆的方程化为标准方程,得圆心坐标,再利用点到直线的距离公式可求解.
【解答】解:先把圆的方程化为标准方程:(x﹣1)2+y2=1,∴圆心坐标为(1,0),
∴圆心到直线y=x+1的距离,
故选D.
【点评】本题考查圆的标准方程形式,点到直线的距离公式的应用,直线和圆的位置关系.运用点到直线的距离公式时,应注意吧方程化为一般式.
9. 已知数列{an}是一个递增数列,满足,,,则( )
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
参考答案:
B
【分析】
代入n=1,求得=1或=2或=3,由数列是一个递增数列,满足分类讨论求得结果.
【详解】当n=1时,则=2,因为,
可得=1或=2或=3,
当=1时,代入得舍去;
当=2时,代入得
,即=2,,
,又是一个递增数列,且满足
当=3时,代入得不满足数列是一个递增数列,舍去.
故选B.
【点睛】本题考查数列递推式,考查学生的计算能力与逻辑推理能力,属于中档题.
10. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0,则直线AB的一般方程是 .
参考答案:
3x﹣y=0
【考点】直线的一般式方程.
【分析】动直线x+my=0经过定点A(0,0);直线mx﹣y﹣m+3=0经过定点B(1,3).即可得出.
【解答】解:动直线x+my=0经过定点A(0,0);
直线mx﹣y﹣m+3=0即m(x﹣1)+(3﹣y)=0经过定点B(1,3).
∴直线AB的方程为:y=x,化为:3x﹣y=0.
故答案为:3x﹣y=0.
12. 函数f(x)=x2﹣2x+b的零点均是正数,则实数b的取值范围是 .
参考答案:
(0,1]
【考点】函数的零点与方程根的关系.
【分析】根据一元二次函数函数零点的性质即可得到结论.
【解答】解:∵f(x)=x2﹣2x+b的对称轴为x=1>0,
∴要使函数f(x)=x2﹣2x+b的零点均是正数,
则,
即,
解得0<b≤1,
故答案为:(0,1]
13. 已知函数,且,则的解析式为 。
参考答案:
略
14. f(x)=的定义域为 .
参考答案:
[﹣1,1)∪(1,+∞)
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】根据函数f(x)的解析式,列出不等式组,求出解集即可.
【解答】解:要使函数f(x)=有意义,
应满足,
即,
解得x≥﹣1且x≠1;
所以函数f(x)的定义域为[﹣1,1)∪(1,+∞).
故答案为:[﹣1,1)∪(1,+∞).
【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题,是基础题目.
15. 已知函数(其中,)的部分图象如图所示,则________,________.
参考答案:
2 ;
由图知函数的周期是,又知,,时,,故答案为(1);(2).
【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质,属于中档题.利用图象先求出周期,用周期公式求出,利用特殊点求出,正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键,由特殊点求时,可以先求出的所有的值,再根据题设中的条件,取特殊值即可.
16. 在,角A、B、C所对的边分别为,若,则=
参考答案:
17. 函数()的最小正周期为,则__________。
参考答案:
2
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知二次函数对任意,有,函数f(x)的最小值为-3,且.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若方程在区间(0,2)上有两个不相等实数根,求k的取值范围.
参考答案:
(1)设,由 得
所以
(2)由得方程在区间上有两个不相等实数根.
由 可得
19. 现需要设计一个仓库,由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD - A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.
(1)若,,则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,当PO1为多少时,下部的正四棱柱侧面积最大,最大面积是多少?
参考答案:
(1)(2)当为时,下部分正四棱柱侧面积最大,最大面积是.
【分析】
(1)直接利用棱锥和棱柱的体积公式求解即可;
(2)设,下部分的侧面积为,由已知正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.可以求出的长,利用正四棱锥的侧棱长,结合勾股定理,可以求出的长,由正方形的性质,可以求出的长,这样可以求出的表达式,利用配方法,可以求出的最大值.
【详解】(1),则,
.
,
故仓库的容积为.
(2)设,下部分的侧面积为,
则,
,,
,
设,
当即时,,
答:当为时,下部分正四棱柱侧面积最大,最大面积是.
【点睛】本题考查了棱锥、棱柱的体积计算,考查了求正四棱柱侧面积最大值问题,考查了配方法,考查了数学运算能力.
20. 已知,设.
(1)求的最小正周期;
(2)在△ABC中,已知A为锐角,,BC=4,AB=3,求的值.
参考答案:
(1) (2)
【分析】
(1)先根据向量坐标运算和正弦的二倍角公式求出f(x)的解析式,在由周期公式即可求得函数的周期;
(2)由(1)和可求出sinA和cosA,再根据正弦定理可求得sinC和cosC,然后根据sinB=sin(A+C)即可求得.
【详解】(1)
所以
的最小正周期为
(2)因为
所以
由正弦定理得:
=
【点睛】本题重点考查了三角函数的化简和利用正弦定理求解三角形,属于中档题目,解题中需要熟练掌握三角函数的二倍角公式、和角公式,对字母运算能力要求较高.
21. 设函数f(x)的定义域为R,如果存在函数g(x),使得f(x)≥g(x)对于一切实数x都成立,那么称g(x)为函数f(x)的一个承托函数.已知函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0).
(1)若a=1,b=2.写出函数f(x)的一个承托函数(结论不要求证明);
(2)判断是否存在常数a,b,c,使得y=x为函数f(x)的一个承托函数,且f(x)为函数的一个承托函数?若存在,求出a,b,c的值;若不存在,说明理由.
参考答案:
(1)g(x)=x (2)存在,a=c=,b=.
【分析】
(1)由题意可得c=1,进而得到f(x),可取g(x)=x;
(2)假设存在常数a,b,c满足题意,令x=1,可得a+b+c=1,再由二次不等式恒成立问题解法,运用判别式小于等于0,化简整理,即可判断存在.
【详解】(1)函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),
可得a-b+c=0,又a=1,b=2,
则f(x)=x2+2x+1,
由新定义可得g(x)=x为函数f(x)的一个承托函数;
(2)假设存在常数a,b,c,使得y=x为函数f(x)的一个承托函数,
且f(x)为函数的一个承托函数.
即有x≤ax2+bx+c≤x2+恒成立,
令x=1可得1≤a+b+c≤1,即为a+b+c=1,
即1-b=a+c,
又ax2+(b-1)x+c≥0恒成立,可得a>0,且(b-1)2-4ac≤0,
即为(a+c)2-4ac≤0,即有a=c;
又(a-)x2+bx+c-≤0恒成立,
可得a<,且b2-4(a-)(c-)≤0,
即有(1-2a)2-4(a-)2≤0恒成立.
故存在常数a,b,c,且0<a=c<,b=1-2a,
可取a=c=,b=.满足题意.
【点睛】本题考查新定义的理解和运用,考查不等式恒成立问题的解法,注意运用赋值法和判别式法,考查运算能力,属于中档题.
21. (本小题满分10分)已知=,= ,=,设是直
线上一点,是坐标原点
⑴求使取最小值时的;
⑵对(1)中的点,求的余弦值.
参考答案:
21. (1)设,则,由题意可知 又.所以 即,所以,
则,
当时,取得最小值,此时,即.
(2)因为.
略
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