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广东省江门市公侨中学高三数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看,蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成,中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成,菱形的一个角度是,这样的设计含有深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》.用数学的眼光去看蜂巢的结构,如图,在六棱柱的三个顶点A,C,E处分别用平面,平面,平面截掉三个相等的三棱锥,,,平面,平面,平面交于点P,就形成了蜂巢的结构.如图,以下四个结论①;②;③B,M,N,D四点共面;④异面直线与所成角的大小为.其中正确的个数是( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
B
【分析】
不妨设正六边形的边长为1,①由已知可得与都是边长为的等边三角形,即可判断出正误;②由①可知:,即可判断出正误;③由已知可得:四边形是平行四边形,即可判断出正误;④利用异面直线与所成角的范围即可判断出正误.
【详解】由题意,不妨设正六边形的边长为1,
①由与都是边长为的等边三角形,∴,正确;
②由①可知:,因此②不正确;
③由已知可得:四边形是平行四边形,因此,,,四点共面,正确;
④异面直线与所成角不可能为钝角.因此不正确.
其中正确的个数是2.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征,平面的基本性质,以及异面直线所成角的判定的知识的综合应用,着重考查了推理与运算能力.
2. 关于函数,下列结论中不正确的是
(A)在区间上单调递增 (B)的一个对称中心为
(C)的最小正周期为 (D)当时,的值域为
参考答案:
D
略
3. 在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为
A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10–10.1
参考答案:
D
【分析】
先求出,然后将对数式换为指数式求再求
【详解】两颗星的星等与亮度满足 ,
令 , ,
,
,
故选D.
4. 已知复数(为虚数单位),则的共轭复数( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 设,,,则a,b,c的大小关系是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
6. 已知函数的定义域为,若在上为增函数,则称为“一阶比增函数”;若在上为增函数,则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为,所有“二阶比增函数”组成的集合记为.若函数,且,,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【知识点】利用导数研究函数的单调性.B12
解析:因为且,即在是增函数,所以.而在不是增函数,而,所以当是增函数时,有,所以当不是增函数时,有.综上所述,可得的取值范围是.
【思路点拨】由已知可得在不是增函数,而,所以当是增函数时,有,所以当不是增函数时,有.综上所述,可得的取值范围是.
7. 已知球O的内接圆柱的体积是2π,底面半径为1,则球O的表面积为( )
A.6π B.8π C.10π D.12π
参考答案:
B
【考点】球的体积和表面积.
【分析】圆柱的底面半径为1,根据球O的内接圆柱的体积是2π,所以高为2,则圆柱的轴截面的对角线即为球的直径,确定球的半径,进而可得球的表面积.
【解答】解:由题意得,圆柱底面直径为2,球的半径为R,
由于球O的内接圆柱的体积是2π,所以高为2,
则圆柱的轴截面的对角线即为球的直径,
即2=2R,∴R=,
∴球的表面积=4πR2=8π,
故选:B.
【点评】本题考查球内接多面体与球的表面积的计算,正确运用公式是关键,属于基础题.
8. 函数,则的图象大致是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
9. 已知集合,集合,则、满足 ( )
A. B. C. D.且
参考答案:
B
10. 给定两个向量=(1,2),=(x,1),若()与()平行,则x的值等于
A.1 B. C.2 D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对于三次函数(),定义:设是函数y=f(x)的导数y=的导数,若方程=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心;且‘拐点’就是对称中心.”
请你将这一发现为条件,函数,则它的对称中心为 ;
计算= .
参考答案:
; 2012
12. 设是实数,成等比数列,且成等差数列,则的值是
▲ 。
参考答案:
略
13. .已知三点,若为锐角,则的取值范围是 .
参考答案:
14. 函数f(x)=cos(﹣2x)﹣2cos2x在区间[0,]上的取值范围是 .
参考答案:
[﹣2,1]
略
15. 函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为, ,数列的通项公式为 .
参考答案:
5,
略
16. 如果
参考答案:
17. 已知各项为正数的等比数列若存在两项、使得,则的最小值为
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,数列的前n项和为Tn,且,n∈N*.
(1)证明数列{an}是等比数列,并写出通项公式;
(2)若对n∈N*恒成立,求λ的最小值;
(3)若成等差数列,求正整数x,y的值.
参考答案:
解:(1)因为,
其中Sn是数列{an}的前n项和,Tn是数列的前n项和,且an>0,
当n=1时,由,
解得a1=1,…(2分)
当n=2时,由,
解得; …(4分)
由,
知,
两式相减得,
即,…(5分)
亦即2Sn+1﹣Sn=2,从而2Sn﹣Sn﹣1=2,(n≥2),
再次相减得,又,
所以
所以数列{an}是首项为1,公比为的等比数列,…(7分)
其通项公式为,n∈N*.…(8分)
(2)由(1)可得,
,…(10分)
若对n∈N*恒成立,
只需=3×=3﹣对n∈N*恒成立,
∵3﹣<3对n∈N*恒成立,∴λ≥3.
(3)若成等差数列,其中x,y为正整数,
则成等差数列,
整理,得2x=1+2y﹣2,
当y>2时,等式右边为大于2的奇数,等式左边为偶数或1,
等式不能成立,
∴满足条件的正整数x,y的值为x=1,y=2.
略
19. 已知函数.
(Ⅰ)从区间内任取一个实数,记“函数在区间上有两个不同的零点”为事件,求事件发生的概率;
(Ⅱ)若连续掷两次正方体骰子得到的点数分别为和,记“在恒成立”为事件,求事件发生的概率.
参考答案:
解:(Ⅰ)函数在区间上有两个不同的零点,
,即有两个不同的正根和
………………………………………………………4分
…………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由已知:,所以,即
,
在恒成立 …… ……………………………8分
当时,适合;
当时,均适合;
当时,均适合;
满足的基本事件个数为. ………………………………………………10分
而基本事件总数为,……………………………………………………………11分
. ………………………………………………………………………12分
略
20. (本小题13分)在数列中,().
(1)求的值;
(2)是否存在常数,使得数列是一个等差数列?若存在,求的值及的通项公式;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(1),;
(2)假设存在满足条件的常数,则常数
又
此时 .
21. 设向量,其中x∈.
(Ⅰ)若∥,求x的值;
(Ⅱ)设函数f(x)=(+)?,求f(x)的最大值.
参考答案:
考点:平面向量数量积的运算;平行向量与共线向量;两角和与差的正弦函数;正弦函数的定义域和值域.
专题:计算题;三角函数的图像与性质.
分析:(I)根据,利用向量平行的条件建立关于x的等式,算出sinx()=0,结合x∈(0,)可得,从而算出x的值;
(II)根据向量数量积计算公式与三角恒等变换,化简得f(x)=(+)?=sin(2x﹣)+.再根据x∈(0,)利用正弦函数的图象与性质加以计算,可得x=时,f(x)的最大值等于.
解答: 解:(I)∵,
∴由得,
即sinx()=0.
∵x∈(0,),
∴sinx>0,可得,
∴tanx==,
解得x=;
(II)∵,
∴f(x)=(+)?=()cosx+2sin2x
=sin2x+(1+cos2x)+(1﹣cos2x)=sin2x﹣cos2x+=sin(2x﹣)+.
∵x∈(0,),
∴2x﹣∈(﹣,),
∴sin(2x﹣)∈(﹣,1],
∴f(x)∈(1,]
当且仅当2x﹣=即x=时,f(x)的最大值等于.
点评:本题着重考查了向量平行的条件、向量的数量积计算公式、同角三角函数的基本关系、三角性质变换与三角函数的图象与性质等知识,属于中档题.
22. 给定椭圆(),称圆为椭圆的“伴随圆”.
已知椭圆过点,离心率为.
(I)求椭圆的方程;
(II)若直线与椭圆交于两点,与其“伴随圆”交于两点,当 时,
求面积的最大值.
参考答案:
1)
2)
,令,当时
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