浙江省金华市黄宅中学高三数学文测试题含解析

浙江省金华市黄宅中学高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数y=的值域是（    ）    （A）．[0,+∞）    （B）．（0,4]     （C）．[0,4）     （D）．（0,4） 参考答案： C 2. 设函数Ｒ）满足，则的值是 （A）3 （B）2 　（C）1 　（D）0 参考答案： D 3. 已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．（，2） D．[，） 参考答案： A 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】根据若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，得到函数f（x）在区间（0，e]上不单调，从而求得a的取值范围． 【解答】解：∵g'（x）=（1﹣x）e1﹣x， ∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减， 又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0， ∴g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]． ， 当时，f′（x）=0，f（x）在处取得最小值， 由题意知，f（x）在（0，e]上不单调，所以，解得， 所以对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立， 当且仅当a满足条件且f（e）≥1 因为f（1）=0，所以恒成立，由f（e）≥1解得 综上所述，a的取值范围是． 故选：A． 4. 执行如右图所示的程序框图，则输出的= A．B．C．  D． 参考答案： D 5. 函数f（x）=的图象为(     ) A． B． C． D． 参考答案： C 考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法． 专题：图表型；数形结合． 分析：我们看，该函数是偶函数，所以对称区间上的图象关于y轴对称，则易知结论． 解答： 解： 当x≥0时，是一条直线，所以选项都满足 当x＜0时，y=3|x|=3﹣x与y=3x（x≥0）关于y轴对称． 故选C 点评：本题主要考查函数图象在作图和用图时，一定要注意关键点，关键线和分布规律． 6. 若一个底面是等腰直角三角形（C为直角顶点）的三棱柱的 “正视图如图所示，则该三棱柱的体积等于 A．    B．1   C．    D． 参考答案： 7. 已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形，正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，则此几何体的体积是（  ） A. B. C. D. 参考答案： D 分析】 根据几何体的三视图，得该几何体是正四棱锥，再由公式球体积即可. 【详解】根据几何体的三视图，得该几何体是底面边长1,高为的正四棱锥， 所以该几何体的体积为. 【点睛】本题主要考查几何体的体积，属于基础题型. 8. 若α∈，且，则的值等于(　  　) A.         B.             C.   D. 参考答案： D 略 9. 在复平面内，复数对应的点位于    （   ） A．第一象限     B．第二象限    C．第三象限   D．第四象限 参考答案： D 10. 复数的实部记作，则 A.              B.              C.            D. 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若，则的最小值是___▲______. 参考答案： 7 12. 已知，则   . 参考答案： 13. 若要使函数在上是减函数，则实数的取值范围是_____. 参考答案： 14. 如图，已知球是棱长为的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为           参考答案： 略 15. 已知的展开式中，的系数为，则          ． 参考答案： 4  16. 圆x2+y2+2x﹣2y﹣7=0的半径是　　． 参考答案： 3 考点： 圆的一般方程． 专题： 计算题；直线与圆． 分析： 把圆的方程化为标准形式，求得半径． 解答： 解：圆x2+y2+2x﹣2y﹣7=0可化为圆（x+1）2+（y﹣1）2=9， ∴圆x2+y2+2x﹣2y﹣7=0的半径是3， 故答案为：3 点评： 本题主要考查圆的标准方程，属于基础题． 17. 已知，则=__________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c． （1）证明：A=2B； （2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）由正弦定理和正弦函数的性质，即可证明A=2B成立； （2）由余弦定理和正弦、余弦函数的性质，化简求值即可． 【解答】解：（1）证明：△ABC中，a=2bcosB， 由，得sinA=2sinBcosB=sin2B， ∵0＜A，B＜π， ∴sinA=sin2B＞0， ∴0＜2B＜π， ∴A=2B或A+2B=π， 若A+2B=π，则B=C，b=c这与“b≠c”矛盾， ∴A+2B≠π； ∴A=2B； （2）∵a2+c2=b2+2acsinC， ∴， 由余弦定理得cosB=sinC， ∵0＜B，C＜π， ∴或， ①当时，则， 这与“b≠c”矛盾，∴； ②当时，由（1）得A=2B， ∴， ∴． 19. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosB+b=2a，b=6，a=4． （1）求角C的大小； （2）若点D在AB边上，AD=CD，求CD的长． 参考答案： 【考点】HT：三角形中的几何计算． 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式，求得sinB=2sinBcosC，求得cosC=，根据C的取值范围，即可求得角C的大小； （2）由余弦定理求得c=2，设CD=x，在△ABC和△ACD中，分别应用余弦定理求得cosA=，cosA=，联立即可求得CD的长． 【解答】解：（1）由正弦定理可知： ===2R，（R为外接圆半径）， a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 由2ccosB+b=2a，2sinCcosB+sinB=2sinA=2sin（B+C）=2sinBcosC+2cosBsinC， ∴sinB=2sinBcosC，由B∈（0，π），则sinB≠0， 则cosC=， 由C∈（0，π）， 则C=， ∴角C为； （2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=28，则c=2， 设CD=x，则在△ABC中，cosA===， 在△ACD中，cosA==， ∴=，解得：x=， ∴CD的长． 20. （本题满分15分）        已知抛物线的准线为，焦点为F，圆M的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点O作倾斜角为的直线，交于点A，交圆M于另一点B，且AO=OB=2.    （1）求圆M和抛物线C的方程；    （2）若P为抛物线C上的动点，求的最小值；    （3）过上的动点Q向圆M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标.   参考答案： 解：（1）即p=2      ……………………2分 设圆M的半径为r，则　 所以圆Ｍ的方程为： ……………………５分 （２）设Ｐ（x,y）(x0)，则                                    =   …………8分    所以当x=0时 有最小值为2                              …………10分 （3）以点Q为圆心，QS为半径作圆Q,则ST即为圆O与圆Q的公共弦   …………11分 设Q（-1，t）则QS2=QM2—4= t2 , 所以圆Q的方程为 从而直线QS的方程为 3x—ty—2 =0                          ……………………13分 因为一定是上述方程的解，所以直线QS恒过一个定点， 且该定点坐标为                                     ……………………15分 21. (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆C的参数方程．以O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C的极坐标方程； （2）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长． 参考答案： （1）；（2） 【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．N3 解析：（1）圆C的普通方程为，又 所以圆C的极坐标方程为                          ………5分 （2）设，则由       解得   ………7分 设，则由解得 ………9分 所以                                                  ………10分 【思路点拨】（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设为点P的极坐标，由，联立即可解得．设的极坐标，同理可解得．利用|即可得出． 22. (本题满分18分) 对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数. （1）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由； 第一组：； 第二组：； （2）设，生成函数.若不等式 在上有解，求实数的取值范围； （3）设，取，生成函数图像的最低点坐标为. 若对于任意正实数且.试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由. 参考答案： （1）① 所以是的生成函数 ② 设，即， 则，该方程组无解.所以不是的生成函数.  （2） 若不等式在上有解， ， 即 设，则，， ，故，. （3）由题意，得，则 ，解得，所以 假设存在最大的常数，使恒成立. 于是设 =   令，则，即 设在上单调递减， ，故存在最大的常数