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浙江省丽水市安仁中学高三数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知圆的半径为,为该圆的两条切线,为两切点,那么的最小值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
【知识点】圆方程的综合应用;平面向量数量积的运算.F3 H4
【答案解析】D 解析:如图所示:设PA=PB=x(x>0),∠APO=α,则∠APB=2α,
PO=,,
==x2(1﹣2sin2α)==,
令=y,则,即x4﹣(1+y)x2﹣y=0,由x2是实数,
所以△=[﹣(1+y)]2﹣4×1×(﹣y)≥0,y2+6y+1≥0,
解得或.故()min=﹣3+2.此时.
【思路点拨】要求的最小值,我们可以根据已知中,圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,结合切线长定理,设出PA,PB的长度,和夹角,并将表示成一个关于X的函数,然后根据求函数最值的办法,进行解答.
2. 已知边长为2的等边三角形ABC,D为BC的中点,以AD为折痕进行翻折,使∠BDC为直角,则过A,B,C,D四点的球的表面积为( )
A.3π B.4π C. 5π D.6π
参考答案:
C
3. 已知函数f(x=sin x+ cos x,g(x)=2sin x,动直线x=t与f(x)、g(x)的图象分别交于点P、Q,则|PQ|的取值范围是
A.[0,1] B.[0,] C.[0,2] D.[1,]
参考答案:
B
略
4. 如果直线与平面,满足:和,那么必有( )
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
参考答案:
B
5. 若空间中四条两两不同的直线,满足则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C.与既不垂直也不平行 D.与的位置关系不确定
参考答案:
D
解析:本题考查空间中线线的位置关系。以正方体为模型,易知和的位置关系可能有或,故与的位置关系不确定.故答案为D.
6. 从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取1件,每次取出后放回,连续取两次,则取出两件产品中恰有一件是次品的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 已知R,其中为虚数单位,则的值为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
8. 若点满足线性约束条件的最大值为
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
D
9. 已知函数的部分图像如图所示,若将函数的图像上点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,再向右平移个单位,所得到的函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
由图象可得,故,
∴,
∵点(0,1)在函数的图象上,
∴,
∴,
又,
∴.
∴.
将函数的图像上点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的所得图象对应的解析式为,然后再向右平移个单位,所得图象对应的解析式为,即.选D.
10. 函数在区间上零点的个数为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 给出下列命题:
① 已知线性回归方程,当变量增加2个单位,其预报值平均增加4个单位;
② 在进制计算中, ;
③ 若,且,则;
④ “”是“函数的最小正周期为4”的充要条件;
⑤ 设函数的最大值为M,最小值为m,则M+m=4027,其中正确命题的个数是 个。
参考答案:
4
12. 等差数列{an}中,,,则与等差中项的值为_____
参考答案:
11
【分析】
利用可得与等差中项.
【详解】根据题意,等差数列中,,,
则有,
则与等差中项为;
故答案为:11.
【点睛】本题考查等差中项,充分利用为等差数列时,则是解题的关键.
13. 已知和的图像的连续的三个交点、、构成三角形,则的面积等于
参考答案:
14. 已知;,若的充分不必要条件是,
则实数的取值范围是___________________
参考答案:
15. 已知圆锥的母线长为5cm,侧面积为15πcm2,则此圆锥的体积为 cm3.
参考答案:
12π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【专题】计算题.
【分析】先求圆锥的底面半径,再求圆锥的高,然后求其体积.
【解答】解:已知圆锥的母线长为5cm,侧面积为15πcm2,
所以圆锥的底面周长:6π
底面半径是:3
圆锥的高是:4
此圆锥的体积为:
故答案为:12π
【点评】本题考查圆锥的侧面积、体积,考查计算能力,是基础题.
16. 计算 .
参考答案:
无
略
17. 若实数、{,,,},且,则曲线表示焦点在轴上的双曲线的概率是 ----- ▲ .
参考答案:
答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=λAA′,点M,N分别为A′B和B′C′ 的中点.
(Ⅰ)证明:MN∥平面A′ACC′;
(Ⅱ)若二面角A′-MN-C为直二面角,求 λ 的值.
参考答案:
略
19. 已知函数,, (1)若,求函数的极值;
(2)若函数在上单调递减,求实数的取值范围;
(3)在函数的图象上是否存在不同的两点,使线段的中点的横坐标与直线的斜率之间满足?若存在,求出;若不存在,请说明理由.
参考答案:
解:(1)的定义域为
,
故单调递增;
单调递减,
时,取得极大值,无极小值。
(2),,
若函数在上单调递增,
则对恒成立
,只需
时,,则,,
故,的取值范围为
(3)假设存在,不妨设,
由得,整理得
令,,,
在上单调递增,
,故
不存在符合题意的两点。
略
20. 如图,平行四边形ABCD和矩形ADEF,平面ABCD平面ADEF,为BC的中点,M在AF上且,DP交AC与N点。
(1)求证:平面BCEF;
(2)若四边形ABCD为矩形,且,
求DM与平面MAP所成角的正弦值。
参考答案:
21. (12分)
在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?
参考答案:
解析:
如图建立坐标系:以O为原点,正东方向为x轴正向.
在时刻:t(h)台风中心的坐标为
此时台风侵袭的区域是,其中t+60,
若在t时,该城市O受到台风的侵袭,则有
即
即, 解得.
答:12小时后该城市开始受到台风气侵袭
22.
(12分) 如图直三棱柱的底面是等腰直角三角形,,且二面角的度数为°
(1)求的长;
(2)求证平面.
参考答案:
解析:解法一:
(1)由题意知°,即,又平面,∴
于是就是二面角的平面角且°
在中,°,,∴ …6分
(2)由(1)知是正方形,,又是直棱柱且
∴平面,于是,故平面. …12分
解法二:
(1) 由题意知°,又是直棱柱
设,如图建立直角坐标系易知
于是, ,,
易知平面的一个法向量为,
设平面的法向量为由,得 ,取
所以,则
由于二面角等于°∴,
得 ∴ …6分
(2)由(1)得,,易知,故
,故 ∴平面. …12分
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