山西省运城市第二中学分校高三数学文测试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （5分） “sinx=”是“x=”的（ ）
A． 充要条件 B． 充分不必要条件
C． 必要不充分条件 D． 既不充分又不必要条件
参考答案：
C
【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】： 简易逻辑．
【分析】： 根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
解：若x=满足sinx=，但x=不成立，即充分性不成立，
若x=，则sinx=成立，即必要性成立，
故“sinx=”是“x=”的必要不充分条件，
故选：C
【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数之间的关系是解决本题的关键．
2. 如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个纸巢，将体积为的球放在纸巢上方，则球的最高点与纸巢底面的距离为
A． B. C. D.
参考答案：
D
3. 已知集合A={x||x|<2},B={?2,0,1,2},则A∩B=
（A）{0,1} （B）{?1,0,1}
（C）{?2,0,1,2} （D）{?1,0,1,2}
参考答案：
A
分析：将集合A，B化成最简形式，再进行求交集运算.
详解：
故选A.
4. 已知集合的值为 （ ）
A．1或－1或0 B．－1 C．1或－1 D．0
参考答案：
A
因为,即m=0,或者,得到m的值为1或－1
或0，选A
5. 设集合，则A∩B=（）
A. {1} B. {1,2}
C. {－2,－1,0,1} D. {－2,－1,0,1,2}
参考答案：
A
【分析】
先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．
【详解】∵集合A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，
B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A∩B＝{1}．
故选：A．
【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6. 复数，则复数z的模等于
A．2 B． C． D．4
参考答案：
B
略
7. 已知函数f（x）=，若g（x）=ax﹣|f（x）|的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，） B．（0，） C．（0，） D．[，）
参考答案：
A
【考点】函数的图象；分段函数的应用．
【分析】将函数g（x）的零点问题转化为y=|f（x）|与y=ax的图象的交点问题，借助于函数图象来处理．
【解答】解：由于函数g（x）=ax﹣|f（x）|有3个零点，则方程|f（x）|﹣ax=0有三个根，
故函数y=|f（x）|与y=ax的图象有三个交点．
由于函数f（x）=，则其图象如图所示，
从图象可知，当直线y=ax位于图中两虚线之间时两函数有三个交点，
因为点A能取到，则4个选项中区间的右端点能取到，排除BC，
∴只能从AD中选，故只要看看选项AD区间的右端点是选还是选，
设图中切点B的坐标为（t，s），则斜率k=a=（lnx）′|x=t=，
又（t，s）满足：，解得t=e，
∴斜率k=a==，
故选：A．
8. 若直角坐标平面内A、B两点满足条件；①点A、B都在f(x)的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对(A，B)是函数的一个“姊妹点对”(点对(A，B)与(B，A)可看作一个“姊妹点对”)．已知函数f(x)＝，则f(x)的“姊妹点对”有( )个.
A．1 B．3
C． 2 D．4
参考答案：
C
略
9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
（A）2 （B）1 （C） （D）
参考答案：
D
由程序框图知，，；，；，；，；…∴是以3为周期循环出现的，
又，∴,，∴,
当时，便退出循环，∴输出。
10. 设是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A． B．，则
C．，则 D．，则
参考答案：
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设正三棱柱ABC﹣A'B'C'中，，则该正三棱柱外接球的表面积是 ．
参考答案：
20π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】根据三棱柱的底面边长及高，先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱外接球的球半径，代入球的表面积公式即可得到棱柱的外接球的表面积．
【解答】解：由正三棱柱的底面边长为2，
得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r=2，
又由正三棱柱的高为2，则球心到圆O的球心距d=1，
根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，
满足勾股定理，我们易得球半径R满足：
R2=r2+d2=5，
∴外接球的表面积S=4πR2=4π×5=20π．
故答案为：20π．
【点评】本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积和表面积，考查数形结合思想、化归与转化思想，其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键．
12. 若偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|的零点个数为 个．
参考答案：
10
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】运用函数的对称性和奇偶性，确定函数y=f（x）的周期，构造函数y=f（x），h（x）=|lgx|，则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|的零点问题转化为图象的交点问题，结合图象，即可得到结论．
【解答】解：∵偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），
即函数f（x）关于x=1对称，即有f（x+2）=f（﹣x）=f（x），
则函数y=f（x）的周期为2，
构造函数y=f（x），h（x）=|lgx|，画出它们的图象，
则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|的零点问题转化为图象的交点问题，由于f（x）的最大值为1，
所以x＞10时，图象没有交点，在（0，1）上有一个交点，
（1，3），（3，5），（5，7），（7，9）上各有两个交点，在（9，10）上有一个交点，故共有10个交点，
即函数零点的个数为10．
故答案为：10．
13. 函数的定义域是___________．
参考答案：
略
14. 在体积为的三棱锥的棱上任取一点，则三棱锥的体积大于的概率是 .
参考答案：
略
15. 已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2， AB＝3，则切线AD的长为__________．
参考答案：
16. 抛物线的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个动点，线段PQ的中点为M，过M作抛物线准线的垂线，垂足为N，若，则的最大值为_____．
参考答案：
分析：设|PF|=2a，|QF|=2b，．由抛物线定义得|PQ|=a+b，由余弦定理可得（a+b）2=4a2+4b2﹣8abcosθ，进而根据基本不等式，求得的θ取值范围，从而得到本题答案.
详解：设|PF|=2a，|QF|=2b，
由抛物线定义，得|PF|=|PA|，|QF|=|QB|，
在梯形ABPQ中，2|MN|=|PA|+|QF|=2a+2b，
∵|MN|=|PQ|，
∴|PQ|=a+b，
由余弦定理得，设∠PFQ=θ，
（a+b）2=4a2+4b2﹣8abcosθ，
∴a2+b2+2ab=4a2+4b2﹣8abcosθ，
∴cosθ=，当且仅当a=b时取等号，
∴θ≤，
故答案为：
点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系和基本不等式等，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键有二，其一是要联想到抛物线的定义解题，从而比较简洁地求出MN和PQ,其二是得到后要会利用基本不等式求最值.
17. 已知幂函数f(x)的部分对应值如下表：
则不等式f(|x|)≤2的解集是________．
参考答案：
[－4,4]
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）化简或求值：
（1）
（2）。
参考答案：
解：（1） 原式==2×22×33+2 — 7— 2+ 1 =210
（2）。解：分子=；
分母=；原式=1。
略
19. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知，且.
(Ⅰ)求的最大值；（Ⅱ）求证：.
参考答案：
(Ⅰ)∵，且
∴，∴（当且仅当时，等号成立）
的最大值为 （5分
（Ⅱ）证法一：（分析法）
欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0，即证4(ab)2-33(ab)+8≥0，即证ab≤或ab≥8.
∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立.
∵1=a+b≥，∴ab≤，从而得证. （10分
证法二:(比较法）
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥，∴ab≤.
(a+)(b+)-=≥0.
∴(a+)(b+)≥. （10分）
20. （本题满分12分）
如图甲，直角梯形中，，，点、分别在，上，且，，，，现将梯形沿折起，使平面与平面垂直（如图乙）．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当的长为何值时，二面角的大小为？
参考答案：
法一：（Ⅰ）MB//NC，MB平面DNC，NC平面DNC，
MB//平面DN C．…………………2分
同理MA//平面DNC，又MAMB=M, 且MA,MB平面MA B．
． （6分）
（Ⅱ）过N作NH交BC延长线于H，连HN，
平面AMND平面MNCB，DNMN, …………………8分
DN平面MBCN，从而,
为二面角D-BC-N的平面角． = …………………10分
由MB=4，BC=2，知60o，
． sin60o = …………………11分
由条件知： …………………12分 解法二：如图，以点N为坐标原点，以NM，NC，ND所在直线分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系易得NC=3，MN=，
设，则．
（I）．
，
∵，
∴与平面共面，又，． （6分）
（II）设平面DBC的法向量，
则，令，则，
∴． （8分）
又平面NBC的法向量． （9分）
…………………11分
即： 又即 …………………12分
21. （本题满分12分）已知函数
(1)若是定义域上的单调函数,求的取值范围;
(2)若在定义域上有两个极值点、,证明:
参考答案：
(Ⅰ)
当a≥时,Δ≤0,f￠(x)≤0,f(x)在(0,+∞)单调递减.当0
0