上海昂立中学生教育(上南分校)2022年高二数学文月考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列不等式恒成立的是
A． B．
C． D．
参考答案：
D
2. 已知e为自然对数的底数，函数e的单调递增区间是
A. B． C． D．
参考答案：
A
3. 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB= （ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
4. 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数成等比数列，设视力在4.6到之间的学生数为最大频率为，则a, b的值分别为
A. 77, 0.53 B. 70, 0.32 C. 77, 5.3 D. 70, 3.2
参考答案：
B
略
5. 已知函数在区间(0,2]内任取两个不相等的实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C. D．
参考答案：
A
6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．64 B．72 C．80 D．112
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题．
【分析】由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可
【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64，
上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积×，
故该几何体的体积是64+8=72．
故选B．
【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题．
7. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据椭圆的长轴长是短轴长的2倍可知a=2b，进而可求得c关于a的表达式，进而根据求得e．
【解答】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，椭圆的离心率，
故选D．
8. 命题“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（ ）
A．?x∈R，x3﹣x2+1≥0 B．?x∈R，x3﹣x2+1＞0
C．?x∈R，x3﹣x2+1≤O D．?x∈R，x3﹣x2+1＞0
参考答案：
B
【考点】全称命题；命题的否定．
【分析】将量词否定，结论否定，可得结论．
【解答】解：将量词否定，结论否定，可得?x∈R，x3﹣x2+1＞0
故选B．
【点评】本题考查命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
9. 对任意的实数k，直线与圆的位置关系为（ ）
A.相离 B. 相切 C. 相交 D. 以上选项均有可能
参考答案：
C
直线恒过定点，
圆的方程即，当时，，
则点在圆内部，据此可知：直线与圆的位置关系为相交.
10. 函数上点（1，-1）处的切线方程为（ ）.
A． B.
C． D.
参考答案：
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 直线交抛物线于A，B两点，若AB中点的横坐标是2,则________.
参考答案：
12. 已知函数的导函数为，则_________.
参考答案：
【分析】
先对函数求导，再将代入导函数，即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查导数的计算，熟记公式即可，属于基础题型.
13. 如图所示，A，B分别是椭圆的右、上顶点，C是AB的三等分点（靠近点B），F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且MF⊥OA，则椭圆的离心率为 ．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】数形结合；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设A（a，0），B（0，b），F（c，0），椭圆方程为+=1（a＞b＞0），求得C和M的坐标，运用O，C，M共线，即有kOC=kOM，再由离心率公式计算即可得到所求值．
【解答】解：设A（a，0），B（0，b），F（c，0），
椭圆方程为+=1（a＞b＞0），
令x=c，可得y=b=，
即有M（c，），
由C是AB的三等分点（靠近点B），
可得C（，），即（，），
由O，C，M共线，可得kOC=kOM，
即为=，即有b=2c，
a==c，则e==．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法，注意运用直线的有关知识，考查运算能力，属于中档题．
14. = ．
参考答案：
略
15. 三个学习小组分别对不同的变量组（每组为两个变量）进行该组两变量间的线性相关作实验，并用回归分析的方法分别求得相关系数与方差如下表所示，其中第 小组所研究的对象（组内两变量）的线性相关性更强。
参考答案：
二
略
16. =
参考答案：
17. 已知函数（）的最小正周期为则= .
参考答案：
2
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，期望为．
（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，
则
（Ⅱ）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3
又
所以X的分布列为
所以．
考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望．
19. 用数学归纳法证明：能被64整除．
参考答案：
证明：（1）当时，，能被64整除，命题成立．
（2）假设时，命题成立，即能被64整除，
则当时，．
因为能被64整除，
所以能被64整除．
即当时，命题也成立．
由（1）和（2）可知，对任何，命题成立．
20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：
（Ⅰ）PA∥平面EDB
（Ⅱ）AD⊥PC．
参考答案：
【考点】直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接OE，证明OE∥PA，即可证明PA∥平面EDB；
（Ⅱ）证明AD⊥平面PCD，即可证明AD⊥PC．
【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接OE
∵底面ABCD是正方形，∴O为AC中点，
∵在△PAC中，E是PC的中点，
∴OE∥PA，…
∵OE?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．…
（Ⅱ）∵侧棱PD⊥底面ABCD，AD?底面ABCD，
∴PD⊥AD，
∵底面ABCD是正方形，
∴AD⊥CD，
又PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PCD．…
∴AD⊥PC．…
21. (本小题满分10分)
设其中a为正实数．
(1)当a＝时，求f(x)的极值点；
(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
参考答案：
对f(x)求导得f′(x)＝
(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知1＋ax2－2ax≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0
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