2022年山西省忻州市前所中学高三数学文测试题含解析

2022年山西省忻州市前所中学高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，则A1C与BD所成的角是（  ） A．90°    B．60°      C．45°     D．30° 参考答案： A 略 2. 已知∈(,)，sin=,则tan()等于（   ）. A．     B．7      C．－         D．－7 参考答案： A 3. 在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为 A.              B.           C．               D. 参考答案： A 4. 毕业临近，5位同学按顺序站成一排合影留念，其中2位女同学，3位男同学，则女生甲不站两端，3位男同学有且只有2位相邻的排法总数有（　　）种． A．24 B．36 C．48 D．60 参考答案： C 【考点】排列、组合的实际应用． 【分析】从3名男生中任取2人看做一个元素，剩下一名男生记作B，两名女生分别记作甲、乙，则女生甲必须在A、B之间，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙． 【解答】解：从3名男生中任取2人“捆”在一起记作A， A共有C32A22=6种不同排法， 剩下一名男生记作B，两名女生分别记作甲、乙； 则女生甲必须在A、B之间 此时共有6×2=12种排法（A左B右和A右B左） 最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙， ∴共有12×4=48种不同排法． 故选C． 5. 已知F是双曲线的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ΔABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为(    )    A．(1，+∞)     B．(1,2)     C．(1,1+)    D．(2,1+) 参考答案： B 因为ΔABE是锐角三角形，所以,又，所以，两边同除以，得，结合解得：，因此选B。 6. 设函数f（x）=ex+sinx，g（x）=x﹣2，设P（x1，f（x1）），Q（x2，g（x2））（x1≥0，x2＞0），若直线PQ∥x轴，则P，Q两点间最短距离为(     ) A．2 B．3 C．4 D．5 参考答案： B 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；点到直线的距离公式． 专题：导数的概念及应用． 分析：求出导函数f′（x），根据题意可知f（x1）=g（x2），令h（x）=ex+sinx﹣x+2（x≥0），求出其导函数，进而求得h（x）的最小值即为P、Q两点间的最短距离． 解答： 解：x≥0时，f'（x）=ex+cosx≥1+cosx≥0， ∴函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增， ∵f（x1）=g（x2），所以+sinx1=x2﹣2， ∴P，Q两点间的距离等于|x2﹣x1|=||， 设h（x）=ex+sinx﹣x+2（x≥0），则h'（x）=ex+cosx﹣1（x≥0）， 记l（x）=h'（x）=ex+cosx﹣1（x≥0），则l'（x）=ex﹣sinx≥1﹣sinx≥0， ∴h'（x）≥h'（0）=1＞0， ∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0）=3， ∴|x2﹣x1|≥3，即P，Q两点间的最短距离等于3． 故选：B． 点评：本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 7. 若函数f（x）若af（－a）＞0，则实数a的取值范围是（    ）    A．（－1，0）∪（0，1）                   B．    C．                        D． 参考答案： A 8. 设是两条直线，是两个平面，则下列4组条件中： ①∥，；②； ③，∥； ④，∥，∥. 能推得的条件有（    ）组. A．             B． C． D． 参考答案： C 9. 函数的部分图象为  （   ）．    参考答案： A 10. 函数的零点一定位于的区间是(   ) A．        B．      C．     D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下列命题：①若是定义在[—1，1]上的偶函数，且在[—1，0]上是增函数，，则    ②若锐角满足    ③若则对恒成立。    ④要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位。    其中是真命题的有             （填正确命题番号）。 参考答案： 12. 已知正数满足，，则的最小值为      ． 参考答案： 13. 某市的5所学校组织联合活动，每所学校各派出2名学生．在这10名学生中任选4名学生做游戏，记 “恰有两名学生来自同一所学校”为事件，则        ． 参考答案： ； 14. 设函数是定义在R上的奇函数，且对的值为        。 参考答案： 15. 已知为第三象限的角，,则                . 参考答案： 16. 在的二项展开式中，的系数为                     参考答案：            17. 设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，.若“，”是假命题，则的取值范围为_______________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分13分）已知数列满足，，() （Ⅰ）若，数列单调递增，求实数的取值范围； （Ⅱ）若，试写出对任意成立的充要条件，并证明你的结论. 参考答案： （Ⅰ）若，则， 由， 得 或，所以只需 或. 所以实数的取值范围为∪.                 …………6分 (Ⅱ) 对任意成立的充要条件为. 必要性：由，解出； （另解：假设，得，令， ，可得：，即有.）               …………8分   充分性：数学归纳法证明：时，对一切，成立.   证明：（1）显然时，结论成立； （2）假设时结论成立，即， 当时，. 考察函数，， ① 若 ，由，知在区间上单调递增.由假设得. ② 若，对总有， 则由假设得. 所以，时，结论成立， 综上可知：当时，对一切，成立.  故对任意成立的充要条件是.     …………13 19. (本题满分l2分)已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，=(sinA，1)，=(cosA，)，且//． (I)求角A的大小； (II)若a=2，b=2，求ABC的面积． 参考答案： 20. （本小题满分12分）    已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点，离心率是，是椭圆E的长轴的两个端点（位于右侧），B是椭圆在y轴正半轴上的顶点。 （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在经过点且斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点P和Q，使得向量与共线？若存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由。 参考答案： 21. （本小题满分12分） 为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.   （1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位） （2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布（， 约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%. （ⅰ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位） （ⅱ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y，求Y的分布列及数学期望．（说明：表示的概率.参考数据：,） 参考答案： 解：（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为： …3分 （2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为， 根据题意，，即. 由得，， 所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为分.    …………7分 （ⅱ）因为，，. 所以的分布列为 Y P                      …………………………………………………………………10分 所以.                               …………………………12分   22. 等差数列中，，前7项和 （1）求数列的公差d； （2）等比数列中，，求数列的前n项和 参考答案： （1）   …………4分 ∴  …………5分   又∵，∴   ……6分 （2）由（1）知数列是以1为首项，1为公差的等差数列，   ∴   ………………8分    ∴     …………10  分    ∴数列的公比    ………………12分 ∴ ………………14分