2022年湖南省郴州市锦山中学高三数学文模拟试题含解析

2022年湖南省郴州市锦山中学高三数学文模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若函数满足：在定义域D内存在实数，使得成立，则称函数为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（  ）． A． ①③        B． ②④        C． ①②         D． ③④ 参考答案： B 2. 若函数f（x）同时具有以下两个性质：①f（x）是偶函数，②对任意实数x，都有f（+x）=f（﹣x），则f（x）的解析式可以是(     ) A．f（x）=cosx B．f（x）=cos（2x+） C．f（x）=sin（4x+） D．f（x）=cos6x 参考答案： C 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：先判断三角函数的奇偶性，再考查三角函数的图象的对称性，从而得出结论． 解答： 解：由题意可得，函数f（x）是偶函数，且它的图象关于直线x=对称． ∵f（x）=cosx是偶函数，当x=时，函数f（x）=，不是最值， 故不满足图象关于直线x=对称，故排除A． ∵函数f（x）=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，不满足条件，故排除B． ∵函数f（x）=sin（4x+）=cos4x是偶函数，当x=时，函数f（x）=﹣1，是最小值， 故满足图象关于直线x=对称，故C满足条件． ∵函数f（x）=cos6x是偶函数，当x=时，函数f（x）=0，不是最值， 故不满足图象关于直线x=对称，故排除D， 故选：C． 点评：本题主要考查三角函数的奇偶性的判断，三角函数的图象的对称性，属于中档题． 3. 执行如图的程序，则输出的结果等于 A. B. C. D. 参考答案： C   【知识点】程序框图L1 执行程序框图，有 i=1，s=0，t=0 第1次执行循环，有s=1，T=1 第2次执行循环，有i=2，s=1+2=3，T=1+ 第3次执行循环，有i=3，s=1+2+3=6，T=1++ 第4次执行循环，有i=4，s=1+2+3+4=10，T=1++ … 第99次执行循环，有i=99，s=1+2+3+..+99，T=1+++…+ 此时有i=100，退出循环，输出T的值． ∵T=1+++…+，则通项an===， ∴T=1+（1﹣）+（﹣）+（）+（）+…+（）=2=． ∴输出的结果等于．故选：C． 【思路点拨】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T的值，当i=100，退出循环，输出T的值． 4. 集合，则下列结论正确的是（   ）             （A）               （B）      （C）         （D） 参考答案： D 略 5. 已知是上是增函数，那么实数a的取值范围是（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 略 6. 把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则=（       ） A.             B.          C.              D. 参考答案： A 7. 若,则的取值范围是__________. A． B． C． D． 参考答案： D 略 8. 已知数列的通项公式为，把数列的各项排列成如图的三角数阵：记表示该数阵中第s行的第t个数，则对应的数是 （A）                                                                           （B） （C）                                                                           （D） 参考答案： C 略 9. 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 A． B． C．3 D．2 参考答案： A 设椭圆离心率，双曲线离心率，由焦点三角形面积公式得，即，即，设， 由柯西不等式得最大值为. 10. 已知为虚数单位,则复数在复平面上所对应的点在(     ) A．第一象限          B．第二象限       C．第三象限        D．第四象限， 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 1）已知实数满足，则的最小值为            。     (2)在极坐标系中，曲线与 的交点的极坐标为            。 参考答案： 15（1）．2             15（2）．   略 12. 命题对，都有，则是____________________. 参考答案： 13. 已知为奇函数，且，当时，，则        . 参考答案： 14. 设等差数列{an}的公差d＜0，前n项和为Sn，已知3是﹣a2与a9的等比中项，S10=20，则d=　　． 参考答案： ﹣2 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】由等差数列通项公式、等比中项定义、等差数列前n项和公式，列出方程组，由此能求出公差d． 【解答】解：∵等差数列{an}的公差d＜0，前n项和为Sn，3是﹣a2与a9的等比中项，S10=20， ∴， 解得a1=11，d=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用． 15. 等比数列的前项和为，且成等差数列．若，则 ＝        ． 参考答案： 15 略 16. 已知，若恒成立，则实数的取值范围是            . 参考答案： 因为，所以.若恒成立，则,解得 17. 已知中AC=4，AB=2，若G为的重心，则             。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 在中，分别为内角的对边，且 （Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，试求内角B、C的大小. 参考答案： 解：（Ⅰ）∵     由余弦定理得                  故           -----------------5分 （Ⅱ）∴B+C=................................6分 ∵， ∴，                          ----------------7分 ∴， ∴， ∴                                        ----------------9分 ∴B+=……………………………………………10分 又∵为三角形内角，                                   ---------------11分     故.                                    ----------------12分 19. 已知函数f（x）=lnx﹣bx﹣（a、b为常数），在x=1时取得极值． （Ⅰ）求实数a﹣b的值； （Ⅱ）当a=﹣2时，求函数f（x）的最小值； （Ⅲ）当n∈N*时，试比较（）n（n+1）与（）n+2的大小并证明． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（Ⅰ）求导数，利用函数在x=1时取得极值，可求实数a﹣b的值； （Ⅱ）确定f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，可得f（x）在（0，+∞）内有唯一极小值，也就是f（x）在（0，+∞）内的最小值； （Ⅲ）由（II）知f（x）min=f（1）=3且f（x）在（0，1]上单调递减，证明ln+﹣＞0，可得结论． 【解答】解：（I）∵f（x）=lnx﹣bx﹣， ∴f′（x）=， ∵在x=1时取得极值， ∴f′（1）=﹣b+1+a=0 ∴a﹣b=﹣1              …4分 （II）a=﹣2，b=﹣1， ∴， ∴， ∴f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增， ∴f（x）在（0，+∞）内有唯一极小值，也就是f（x）在（0，+∞）内的最小值， ∴f（x）min=f（1）=3…8分 （III）由（II）知f（x）min=f（1）=3且f（x）在（0，1]上单调递减． ∵， ∴ ∴ln+﹣＞0，∴n（n+1）ln＞0﹣（n+2）， ∴（）n（n+1）与（）n+2  … 20. （本小题满分12分） 如图，已知平行四边形与直角梯形所在的平面互相垂直，其中 ,为的中点。  （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角（锐角）的余弦值。 参考答案： 21. 已知函数f(x)+lnx，其中a∈R． （Ⅰ）给出a的一个取值，使得曲线y=f（x）存在斜率为0的切线，并说明理由； （Ⅱ）若f（x）存在极小值和极大值，证明：f（x）的极小值大于极大值． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（I）令f′（x）=0在定义域上有解即可； （II）判断f（x）的单调性，求出f（x）的极值，再利用作差法计算极值的差即可． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是{x|x＞0，且x≠2}， f′（x）=﹣+=． 令f′（x）=0得x2﹣（4+a）x+4=0． 若曲线y=f（x）存在斜率为0的切线，则方程x2﹣（4+a）x+4=0在定义域{x|x＞0，且x≠2}上有解， 不妨设x=1是方程x2﹣（4+a）x+4=0的解，则a=1． ∴当a=1时，曲线y=f（x）存在斜率为0的切线． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 f′（x）=﹣+． ①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立， ∴f（x）在区间（0，2）和（2，+∞）上单调递增，不合题意． ②当a＞0时，令f′（x）=0，得x2﹣（4+a）x+4=0． △=（4+a）2﹣16=a2+8a＞0， ∴方程必有两个不相等的实数解x1，x2，不妨设x1＜x2． 则，∴0＜x1＜2＜x2． 列表： x （0，x1） x1 （x1，2） （2，x2） x2 （x2，+∞） f′（x） + 0 ﹣ ﹣ 0 + f（x） ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ ∴f（x）存在极大值f（x1），极小值f（x2）． f（x2）﹣f（x1）=（+lnx2）﹣（+lnx1）=a（）+（lnx2﹣lnx1）． ∵0＜x1＜2＜x2，且a＞0， ∴a（）＞0，lnx2﹣lnx1＞0， ∴f（x2）＞f（x1）． ∴f（x）的极小值大于极大值． 　 22. （本小题满分13分） 已知函数，三个内角的对边分别为且.  （I） 求角的大小；  （Ⅱ）若，，求的值. 参考答案： 解：（I）因为                                                     ………………6分    又，，                          ………………7分    所以，                      ………………9分  （Ⅱ）由余弦定理                          得到，所以               ………………11分 解得（舍）或                                      ………………13分   所以