河南省信阳市伞陂镇中学高一数学理期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1.
参考答案：
B
略
2. 设a、b、c是非零向量，下列命题正确的是( )
A．(a·b)·c＝a·(b·c)
B．|a－b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2
C．若|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与b的夹角为60°
D．若|a|＝|b|＝|a－b|，则a与b的夹角为60°
参考答案：
D
对于A，数量积的运算不满足结合律，A错；对于B，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2－2|a||b|·cos
＋|b|2，B错，对于C、D，由三角形法则知|a|＝|b|＝|a－b|组成的三角形为正三角形，则＝60°，∴D正确．
3. 已知为锐角，，则=
A． B． C． D．
参考答案：
D
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）
A．8+4 B．8+4 C．8+16 D．8+8
参考答案：
A
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体是三棱锥，由三视图求出棱长、判断出线面的位置关系，由条件和面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．
【解答】解：根据三视图和题意知几何体是三棱锥P﹣ABC，
直观图如图所示：
D是AC的中点，PB⊥平面ABC，且PD=BD=2，
∴PB⊥AB，PB⊥BC，PB⊥BD，则PB=2，
∵底面△ABC是等腰三角形，AB=BC=2，AC=4，
∴PA=PC=2，
∴该几何体的表面积S==8+4，
故选A．
5. （5分）若角α的终边在直线y=2x上，则sinα等于（）
A． ± B． ± C． ± D． ±
参考答案：
B
考点： 任意角的三角函数的定义．
专题： 三角函数的求值．
分析： 角的终边是射线，分两种情况讨论角的终边所在的象限，对于各种情况在终边上任取一点，利用三角函数的定义求出sinα的值．
解答： ∵角α的终边落在直线y=2x上
当角α的终边在第一象限时，
在α终边上任意取一点（1，2），则该点到原点的距离为
∴sinα==
当角α的终边在第三象限时，
在α终边上任意取一点（﹣1，﹣2），则该点到原点的距离为
∴sinα=．
故选：B．
点评： 已知角的终边求三角函数的值，在终边上任意取一点利用三角函数的定义求出三角函数值，注意终边在一条直线上时要分两种情况．
6. 若变量x，y满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．5 B．4 C．1 D．－5
参考答案：
B
画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
由，得，故，
∴．
故选B．
7. 平面向量a与b的夹角为，， 则
（A） (B) (C) 4 (D)12
参考答案：
B
解析：由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12
∴
8. 若，则之间的大小关系为（ ）.
A．<< B．<< C．<< D．<<
参考答案：
D
9. 已知f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4，0)，且其反函数的图象过点(1，7)，则f(x)是( )
A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数
参考答案：
A
10. 张邱建，北魏人，约公元5世纪，古代著名数学家，一生从事数学研究，造诣很深，其代表作《张邱建算经》采用问答式，调理精密，文词古雅，是世界数学资料库中的一份异常．其卷上第22题有一个“女子织布”问题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．问日益几何．”翻译过来的意思是意思是某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天宫织布390尺，则该女子织布每天增加（ ）尺？
A． B． C． D．
参考答案：
A
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】由题意易知该女子每天织的布成等差数列，且首项为5，前30项和为390，由求和公式可得公差d的方程，解方程可得所求值．
【解答】解：由题意易知该女子每天织的布（单位：尺）成等差数列，
设公差为d，由题意可得首项为5，前30项和为390，
∴30×5+d=390，
解得d=．
故选：A．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若两点到直线的距离相等，则实数_________
参考答案：
4或-2或6
略
12. 在中，则_______.
参考答案：
13. 如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是 ．
参考答案：
3
14. 平面直角坐标系中，不等式组 所表示的平面区域的面积为_________。
参考答案：
15. 若平面向量、满足=1，=，=0，则在上的投影为__________。
参考答案：
略
16. 直三棱柱ABC- A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。
参考答案：
20π
【详解】
17. 等差数列1,-3,-7,…的前10项和为_____.[
参考答案：
-170
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知向量, , .
（Ⅰ）求的值; （Ⅱ）若, , 且, 求.
参考答案：
（Ⅰ）, , .
, ,
即 , ………5分 .
（Ⅱ）,
, ， .
19. 设函数．
（1）求f（9）的值；
（2）若f（x0）=8，求x0．
参考答案：
【考点】函数的值．
【专题】计算题．
【分析】（1）直接利用分段函数求出f（9）的值，即可．
（2）分别在x≤2与x＞2时列出方程，求出满足题意的x的值．
【解答】（本题满分16分）
解：（1）因为9＞2，所以f（9）=2×9=18…（4分）
（2）①若，则，即x0=或x0=﹣，
而x0≤2，所以x0的值为﹣； …（10分）
②若2x0=8，则x0=4＞2，所以x0=4，
综上得x0=4或x0=﹣…（16分）
【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．
20. （8分）已知x，y满足约束条件，求目标函数z=x+2y+2的最大值和最小值．
参考答案：
作出不等式组对应的平面区域，
由z=x+2y+2，得y=﹣1，平移直线y=﹣1，由图象可知当直线经过点A时，
直线y=﹣1的截距最小，此时z最小，
由，得，即A（﹣2，﹣3）．
此时z=﹣2+2×（﹣3）+2=﹣6．
由图象可知当直线与x+2y﹣4=0重合时，
直线y=﹣1的截距最大，此时z最大，
此时x+2y=4，z=x+2y+2=4+2=6．
故答案为：﹣6≤z≤6．
21. 已知函数
（1）求f（x）的解析式，并判断f（x）的奇偶性；
（2）比较与的大小，并写出必要的理由．
参考答案：
【考点】函数奇偶性的判断；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）利用换元法以及函数奇偶性的定义即可求f（x）的解析式并判断f（x）的奇偶性；
（2）利用对数函数的性质，进行比较即可．
【解答】解：（1）设x2﹣1=t（t≥﹣1），则x2=t+1，
则f（t）=logm，
即f（x）=logm，x∈（﹣1，1），
设x∈（﹣1，1），则﹣x∈（﹣1，1），
则f（﹣x）=logm=﹣logm=﹣f（x），
∴f（x）为奇函数；
（2）=f（）=logm=logm，
=logm=logm，
∵m＞1，
∴y=logmx为增函数，
∴logm＞logm，
即＞．
【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的判断，根据对数函数的性质是解决本题的关键．
22. 已知函数f（x）=+lg（2﹣x）的定义域为A，g（x）=﹣x2+1的值域为B．设全集U=R．
（1）求集合A，B；
（2）求A∩（?UB）．
（3）已知C={x|a≤x≤a+2}，若B∩C=C，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】（1）求出f（x）的定义域确定出A，求出g（x）的值域确定出B即可；
（2）根据全集R，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；
（3）根据B∩C=C?C?B，即可求出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵，解得﹣1≤x＜2，
∴A=[﹣1，2），
∵g（x）=﹣x2+1的值域为B，
∴B=（﹣∞，1]
（2）CUB=（1，+∞），
∴A∩（?UB）=（1，2），
（3）∵B∩C=C?C?B，
∴a+2≤1，
∴a∈（﹣∞，﹣1]．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，函数的定义域与值域参数的取值范围，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
