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2022-2023学年河北省张家口市郭磊庄中学高二数学文模拟试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，在证明过程的第二步从n＝k到n＝k＋1时，左边增加的项数是 ( )
A．2k B．2k－1 C． D．2k＋1
参考答案：
A
略
2. 如图，若在矩形OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
可求出阴影部分的面积与矩形的面积，利用几何概型可求出豆子落在图中阴影部分的概率.
【详解】解：图中阴影部分的面积为：，
矩形的面积为:,
可得豆子落在图中阴影部分的概率为，
故选A.
3. 设则（ ）
A. B. C. D. 1
参考答案：
A
4. 已知不等式对任意的恒成立的x的取值集合为A，不等式对任意的恒成立的m取值集合为B，则有（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
将转化为的一次不等式求得集合A;分离参数，解出m的范围即可求得集合B,即可判断集合间的关系求解
【详解】令，则关于的一次函数必单调，则 ，解得或，即
又 对任意的恒成立
又 单调递减，故 ，故 ，即
综上
故选：D．
【点睛】本题考查集合间的关系，不等式恒成立问题，考查分离参数法的运用，考查一次函数的单调性，解题的关键是求出函数的最大值
5. 已知直线PQ的斜率为，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是（ ）
A． B． C．0 D．﹣
参考答案：
A
【考点】直线的点斜式方程．
【专题】数形结合；转化思想；直线与圆．
【分析】直线PQ的斜率为，可知：直线PQ的倾斜角为120°，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的倾斜角为60°，即可得出．
【解答】解：直线PQ的斜率为，可知：直线PQ的倾斜角为120°，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的倾斜角为60°，因此斜率是．
故选：A．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了数形结合的方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
6. 已知n元均值不等式为：，其中均为正数，已知球的半径为R，利用n元均值不等式求得球的内接正四棱锥的体积的最大值为
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
先根据球和正四棱锥的内接关系求出半径与边长的关系式，写出体积公式，利用n元均值不等式可求最大值.
【详解】设正四棱锥的底面边长为，高为，则有，解得；
正四棱锥的体积
，当且仅当时取到最大值，故选A.
【点睛】本题主要考查四棱锥体积求解和n元均值不等式的应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.
7. 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任意一点O，下列条件中能确定点M与点A，B，C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
【考点】共线向量与共面向量．
【分析】一般地如果M，A，B，C四点共面，那么=a，（a+b+c=1）．
【解答】解：若M，A，B，C四点共面，
则=a，（a+b+c=1），
在A中，，不成立；
在B中，1﹣，不成立；
在C中，，不成立；
在D中，，成立．
故选：D．
8. 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）（n﹣mi）为实数的概率为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
9. 设四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，若该棱锥的五个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A．25π B．32π C．36π D．50π
参考答案：
A
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】设AC、BD的交点为F，连接PF，则PF是四棱锥P﹣ABCD的高且四棱锥P﹣ABCD的外接球球心O在PF上．由正四棱锥的性质，结合题中数据算出AF=2且PF=4，Rt△AOF中根据勾股定理，得R2=22+（4﹣R）2，解之得R=2.5，利用球的表面积公式即可算出经过该棱锥五个顶点的球面面积．
【解答】解：设AC、BD的交点为F，连接PF，则PF是四棱锥P﹣ABCD的高，
根据球的对称性可得四棱锥P﹣ABCD的外接球球心O在直线PF上，
∵正方形ABCD边长为2，∴AF=AB=2
Rt△PAF中，PF=4
连接OA，设OA=0P=R，则
Rt△AOF中AO2=AF2+OF2，即R2=22+（4﹣R）2
解之得R=2.5
∴四棱锥P﹣ABCD的外接球表面积为S=4πR2=4π×2.52=25π
故选：A．
【点评】本题给出正四棱锥，求它的外接球的表面积，着重考查了正四棱锥的性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于基础题．
10. 曲线y＝x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB(O是原点)是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
参考答案：
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在区间（0，1）上随机取两个数m, n,则关于x的一元二次方程有实根的概率为
参考答案：
略
12. 曲线围成的封闭图形的面积是_____________,
参考答案：
略
13. 若直线y=kx+b是曲线y=ex+2的切线，也是曲线y=ex+1的切线，则b= ．
参考答案：
4﹣2ln2
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设直线y=kx+b与y=ex+2和y=ex+1的切点分别为和，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到b的值．
【解答】解：设直线y=kx+b与y=ex+2和y=ex+1的切点分别为和，
则切线分别为，，
化简得：，，
依题意有：，
所以．
故答案为：4﹣2ln2．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求得导数和设出切点是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．
14. 计算__ __
参考答案：
-2+i ；
略
15. 在，则A中元素在B中所对应的元素为_______________。
参考答案：
16. 抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为 ．
参考答案：
；
解析：设抛物线方程为，则顶点及焦点坐标为，若设点坐标为，则，
故．（当或时取等号）
17. 若方程表示椭圆，则m的取值范围是 ．
参考答案：
（1，2）∪（2，3）
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由于方程表示椭圆，可得，即可．
【解答】解：∵方程表示椭圆，∴，解得1＜m＜3，且m≠2．
故答案为（1，2）∪（2，3）．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数在与时，都取得极值。
（1）求的值；
（2）若，求的单调区间和极值；
（3）若对都有恒成立，求的取值范围。
参考答案：
解：（1）f ′(x)＝3x2＋2a x＋b＝0．
由题设，x＝1，x＝－为f ′(x)＝0的解．
－a＝1－，＝1×(－)．∴a＝－，b＝－2
经检验得：这时与都是极值点．
（2）f (x)＝x3－x2－2 x＋c，由f (－1)＝－1－＋2＋c＝，c＝1．
∴f (x)＝x3－x2－2 x＋1．
∴ f (x)的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1）．
当x＝－时，f (x)有极大值，f (－)＝；
当x＝1时，f (x)有极小值，f (1)＝－
（3）由（1）得，f ′(x)＝(x－1)(3x＋2)，f (x)＝x3－x2－2 x＋c，
f (x)在[－1，－及（1，2]上递增，在（－，1）递减．
而f (－)＝－－＋＋c＝c＋．f (2)＝8－2－4＋c＝c＋2．
∴ f (x)在[－1，2]上的最大值为c＋2．∴ ，∴
∴ 或∴ 或
略
19. 设命题p:函数在[－1,0]是减函数；命题，都有成立．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．
参考答案：
（1）；（2）
【分析】
（1）将问题转化为在上恒成立；分别在和求得范围，取交集得到结果；（2）由含逻辑连接词命题的真假性可知真假或假真，分别在两种情况下求得范围，取并集得到结果.
【详解】（1）当命题为真命题时，在上恒成立
当时，；当时，，则
综上所述：
即：若命题为真命题，则
（2）当命题为真命题时，等价于，即
由得： ，解得：
若为真命题，为假命题，则真假或假真
当真假时，；当假真时，
综上所述：
【点睛】本题考查根据命题的真假性求解参数范围的问题，涉及到函数单调性与导数的关系、恒成立问题的求解、含逻辑连接词的命题的真假性的性质应用等知识；解题关键是分别求出两个命题为真时参数的取值范围.
20. 已知函数f(x)＝x2＋ln x.
求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
参考答案：
解：(1)∵f(x)＝x2＋ln x
∴f′(x)＝2x＋………………………………….4分
∵x＞1时，f′(x)＞0，故f(x)在[1，e]上是增函数…8分，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，
最大值是f(e)＝1＋e2………………………….12分
略
21. 如图，在三棱锥中，已知△是正三角形，平面，
，为的中点，在棱上，且，
（1）求证：平面；
（2）若为的中点，问上是否存在一点，使平面？若存在，说
明点的位置；若不存在，试说明理由；
（3）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
参考答案：
解：（1）取AC的中点H，因为 AB＝BC， BH⊥AC．
因为 AF＝3FC， F为CH的中点．
而E为BC的中点， EF∥BH．则EF⊥AC．
由于 △BCD是正三角形， DE⊥BC．
因为 AB⊥平面BCD， AB⊥DE．
因为 AB∩BC＝B， DE⊥平面ABC． DE⊥AC．
而DE∩EF＝E， AC⊥平面DEF
（2）存在这样的点N，当CN＝时，MN∥平面DEF．
连CM，设CM∩DE＝O，连OF．
由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．
所以 当CF＝CN时，MN∥OF．所以 CN＝
（3）
略
22. 数列的前项和记为，，（）
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又，，成等比数列，求的表达式；
参考答案：
解：（Ⅰ） 由 可得 （），
两式相减得，于是（），
又 ∴ ，
故是首项为，公比为得等比数列， ∴
（Ⅱ）设的公差为， 由 ，可得，得，
故可设 ，又，，，
由题意可得 ，
解得 ，，
∵等差数列的各项为正，∴，于是，
；
略
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