2022-2023学年山东省威海市苘山中学高二数学文月考试卷含解析

2022-2023学年山东省威海市苘山中学高二数学文月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为45°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】直线与平面所成的角． 【分析】由题意，可得当O、B、A、C四点共面时顶点A与点O的距离最大，设此平面为β．由面面垂直判定定理结合BO⊥α，证出β⊥α．过D作DE⊥α于E，连结CE，根据面面垂直与线面垂直的性质证出DH∥α，从而点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离．设正四面体ABCD的棱长为1，根据BC与平面α所成角为45°和正四面体的性质算出H到平面α的距离，从而在Rt△CDE中，利用三角函数的定义算出sin∠DCE=，即得直线CD与平面α所成角的正弦值． 【解答】解：∵四边形OBAC中，顶点A与点O的距离最大， ∴O、B、A、C四点共面，设此平面为β ∵BO⊥α，BO?β，∴β⊥α 过D作DH⊥平面ABC，垂足为H， 设正四面体ABCD的棱长为1，则Rt△HCD中，CH=BC= ∵BO⊥α，直线BC与平面α所成角为45°， ∴∠BCO=45°，结合∠HCB=30°得∠HCO=75° 因此，H到平面α的距离等于HCsin75°=×= 过D作DE⊥α于E，连结CE，则∠DCE就是直线CD与平面α所成角 ∵DH⊥β，α⊥β且DH?α，∴DH∥α 由此可得点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离，即DE= ∴Rt△CDE中，sin∠DCE==，即直线CD与平面α所成角的正弦值等于 故选：A 2. 已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝(　　) A．－3i              B．3i           C．±3i            D．4i 参考答案： B 3. 如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在曲线是(     ) A．直线的一部分             B．圆的一部分       C．双曲线的一部分           D．抛物线的一部分 参考答案： D 略 4. 已知等比数列的公比为正数，且，，则（  ） A.     B.    C.     D.2 参考答案： B 5. 四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名相邻，但三名女生不能连排，则不同的排法数有(　　) A．3600          B．3200          C．3080        D．2880 参考答案： D 略 6. 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元与70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有(   ) A、8种           B、7种             C、6种          D、5种 参考答案： B 略 7. 点P( 1, 4, -3)与点Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是（    ）   A．( 4, 2, 2)        B．(2, -1, 2)     C．(2, 1 , 1)         D．( 4, -1, 2) 参考答案： C 8. 以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程为（   ） A.     B. C.   D. 参考答案： D 略 9. 有一堆形状大小相同的珠子,其中只有一粒质量比其他的轻,某同学经过思考,认为根据科学的算法,利用天平(不用砝码),二次称量肯定能找到这粒质量较轻的珠子,则这堆珠子最多有(   )粒 A.6         B.7         C.9         D.12 参考答案： C 10. 已知点F1，F2分别是双曲线的左右两焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于P，Q两点，若△PQF2是以∠PQF2为顶角的等腰三角形，其中，则双曲线离心率e 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】由题意设θ=，可得∠F1PF2=，设|QP|=|QF2|=x，则由双曲线的定义可得|PF1|=2a，即有|PF2|=4a，在△PF1F2中，运用余弦定理和诱导公式，以及离心率公式，解不等式即可得到e的范围． 【解答】解：△PQF2是以∠PQF2为顶角的等腰三角形， 其中设θ=， 可得∠F1PF2=， 设|QP|=|QF2|=x， 则由双曲线的定义可得|QF1|﹣|QF2|=2a，即|PF1|=2a， 即有|PF2|=4a， 在△PF1F2中，由余弦定理可得，cos∠F1PF2= =﹣e2=﹣sin∈（﹣1，﹣]， 解得≤e＜3． 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点， 为右焦点,若是正三角形，则椭圆的离心率为       . 参考答案： 12.  在等差数列中，若任意两个不等的正整数，都有，，设数列的前项和为，若，则      （结果用表示）。 参考答案： 13. 已知定义在R上的函数f（x）满足f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，且f（0）=0则下列命题正确的是　　．（写出所有正确命题的序号） ①f（x）有极大值，没有极小值； ②设曲线f（x）上存在不同两点A，B处的切线斜率均为k，则k的取值范围是； ③对任意x1，x2∈（2，+∞），都有恒成立； ④当a≠b时，方程f（a）=f（b）有且仅有两对不同的实数解（a，b）满足ea，eb均为整数． 参考答案： ①②③④ 【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的极值． 【分析】由已知中函数f（x）满足f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，可得f（x）=xe﹣x，f′（x）=（1﹣x）e﹣x，逐一分析四个命题的真假，可得答案． 【解答】解：①∵f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x， ∴f（x）=xe﹣x，f′（x）=（1﹣x）e﹣x， 令f′（x）＞0，解得：x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1， ∴函数f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减， ∴函数f（x）的极大值是f（1），没有极小值； 故①正确； ②∵k=f′（x）=（1﹣x）e﹣x， ∴f″（x）=e﹣x（x﹣2）， 令f″（x）＞0，解得：x＞2，令f″（x）＜0，解得：x＜2， ∴f′（x）在（﹣∞，2）递减，在（2，+∞）递增， ∴f′（x）最小值=f′（x）极小值=f′（2）=﹣， 而x→∞时，f′（x）→0， ∴k的取值范围是； 故②正确； ③结合①②函数f（x）在（2，+∞）上是凹函数， ∴恒成立， 故③正确； ④当a≠b时，方程f（a）=f（b），不妨令a＜b， 则a∈（0，1）， 则ea∈（1，e）， 又有ea为整数． 故ea=eb=2， 同理a＞b时，也存在一对实数（a，b）使ea=eb=2， 故有两对不同的实数解（a，b）满足ea，eb均为整数． 故④正确； 故答案为：①②③④ 14. 抛物线的准线方程为             ． 参考答案： 15. 空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是　　． 参考答案： 3πa2 【考点】球内接多面体． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，求出对角线长，即可求出球的表面积． 【解答】解：空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为，所以这个球面的面积． 故答案为：3πa2 【点评】本题是基础题，考查球的内接体知识，球的表面积的求法，考查空间想象能力，计算能力，分析出，正方体的对角线就是球的直径是解好本题的关键所在． 16. 正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的外接球表面积为　　　　　　    参考答案： 试题分析： 由正三棱柱的底面边长为2，易得底面所在平面截其外接圆O的半径,又由正三棱柱的高为2，则球心到圆O的球心距,根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形， 满足勾股定理，我们易得球半径R满足： 故外接球的表面积 考点：棱柱的几何特征及球的体积和表面积 17. 若是正数，且满足，则的最小值为                     参考答案： 2 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 幂函数是偶函数且在区间上单调递减。 ①求函数 ②讨论的奇偶性. 参考答案：     略 19. （本小题满分14分）已知函数，，其中． （1）若是函数的极值点，求实数的值； （2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围． 参考答案： （1）解法1：∵，其定义域为，   ∴．                 ∵是函数的极值点，∴，即．                                          ∵，∴．                                               经检验当时，是函数的极值点， ∴．　                                             解法2：∵，其定义域为，∴．                令，即，整理，得． ∵， ∴的两个实根（舍去），， 当变化时，，的变化情况如下表： — 0 ＋ 极小值 依题意，，即， ∵，∴．                            （2）解：对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．                        当［1，］时，．∴函数在上是增函数． ∴．                        ∵，且，． ②当1≤≤时，若1≤＜，则， 若＜≤，则． ∴函数在上是减函数，在上是增函数． ∴. 由≥，得≥， 又1≤≤，∴≤≤．                      ③当且［1，］时，， ∴函数在上是减函数． ∴. 由≥，得≥， 又，∴． 综上所述，的取值范围为．        20. 在△ABC中，已知，直线l经过点C． (Ⅰ)若直线l:与线段AB交于点D，且D为△ABC的外心，求△ABC的外接圆的方程； (Ⅱ)若直线l方程为，且△ABC的面积为10，求点C的坐标． 参考答案： （Ⅰ）解法一：由已知得，直线AB的方程为， 即，…………2分 联立方程组得：，解得，  …………4分 又，△ABC的外接圆的半径为…………6分 ∴△ABC的外接圆的方程为． …………8分 解法二：由已知得，,且D为△ABC的外心，∴△ABC为直角三角形，D为线段AB的中点，∴圆心，圆的半径,…………6分 ∴△ABC的外接圆的方程为.…………8分 或线段AB即为△ABC的外接圆的直径，故有△ABC的外接圆的方程为，即． （Ⅱ）设点C的坐标为，由已知得，, AB