2022-2023学年北京史家营中学高三数学文月考试卷含解析

2022-2023学年北京史家营中学高三数学文月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列说法错误的是（　　） A．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分不必要条件 B．若p∨q是假命题，则p∧q是假命题 C．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，2x＞0” D．命题“对任意的x∈R”，2x＞x2”是真命题 参考答案： D 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑． 【分析】A．根据不等式的基本性质，“a＞b”不一定“ac2＞bc2”结论，因为必须有c2＞0这一条件；反过来若“ac2＞bc2”，说明c2＞0一定成立，一定可以得出“a＞b”，即可得出答案； B．利用复合命题的真假关系进行判断； C．根据特称命题的否定是全称命题．即可得到结论． D．x=2，4时，命题不正确． 【解答】解：当c=0时，a＞b?ac2＞bc2；当ac2＞bc2时，说明c≠0，由c2＞0，得ac2＞bc2?a＞b，故“ac2＞bc2”是“a＞b”成立的充分不必要条件，正确． 若命题p∨q是假命题，则p，q都是假命题，所以命题p∧q是假命题，正确； ∵命题是特称命题， ∴根据特称命题的否定是全称命题．得到命题的否定是：对任意的x∈R，2x＞0， x=2，4时，命题不正确． 故选：D． 【点评】本题考查不等式的性质和充要条件的判断，考查复合命题，考查命题的否定与真假判断，是一道好题，本题是基本概念题． 2. 将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象可能为（     ） 参考答案： D 本题主要考查余弦函数的图象. 将函数的图象向左平移个单位后得到,故选D. 3. 若z=（a﹣1）+ai为纯虚数，其中a∈R，则=（　　） A．﹣i B．i C．1+i D．1﹣i 参考答案： A 【考点】A7：复数代数形式的混合运算． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案． 【解答】解：z=（a﹣1）+ai为纯虚数， ∴a=1， ∴===﹣i， 故选：A 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 4. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个设计几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】由p?q，反之不成立．即可得出． 【解答】解：由p?q，反之不成立． ∴p是q的充分不必要条件． 故选：A． 5. 已知函数，则 A．          B．       C．       D． 参考答案： D 略 6. 函数的定义域为(    ) A．(,1) B．(,∞) C．(1,+∞)  D．( ,1)(1,+∞) 参考答案： A 略 7. 设集合，则（   ） A．                B．                     C．                  D． 参考答案： D  考点：1、集合的表示；2、集合的并集及补集. 8. 已知抛物线与双曲线有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则的最小值为(     ) A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】抛物线，可得x2=8y，焦点F为（0，2），则双曲线的c=2，可得双曲线方程，利用向量的数量积公式，结合配方法，即可求出的最小值． 【解答】解：抛物线，可得x2=8y，焦点F为（0，2），则双曲线的c=2， 则a2=3，即双曲线方程为， 设P（m，n）（n≥），则n2﹣3m2=3，∴m2=n2﹣1， 则=（m，n）?（m，n﹣2）=m2+n2﹣2n=n2﹣1+n2﹣2n=（n﹣）2﹣， 因为n≥，故当n=时取得最小值，最小值为3﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 9. 设集合，则（     ）    A、 B、 C、 D、 参考答案： A 略 10. 已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞﹣2f（x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1）的解集是（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0）∪（0，1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，0）∪（0，1） 参考答案： D 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质． 【分析】f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，可得：f（﹣x）=f（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出． 【解答】解：∵f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数， ∴f（﹣x）=f（x）． 对任意正实数x满足xf′（x）＞﹣2f（x）， ∴xf′（x）+2f（x）＞0， ∵g（x）=x2f（x）， ∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0． ∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴g（x）在（﹣∞，0）递减； 若不等式g（x）＜g（1）， 则|x|＜1，x≠0， 解得：0＜x＜1或﹣1＜x＜0， 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，       ，       ，成等比数列． 参考答案： 12. 在，AB=则BC的长度是       参考答案： 答案：  13. 观察下列不等式: ，，，……由以上不等式推测到一个一般的结论：对于，               ； 参考答案： 14. 不等式选讲选做题）（若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k=          。 参考答案： 15. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过      小时后，学生才能回到教室. 参考答案： 0.6 16. 已知命题p：不等式|x﹣1|＞m的解集是R，命题q：f（x）=在区间（0，+∞）上是减函数，若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则实数m的范围是           ． 参考答案： [0，2） 【考点】复合命题的真假；绝对值不等式的解法． 【专题】规律型． 【分析】分别求出命题p，q成立的等价条件，然后根据若p或q为真命题，p且q为假命题，确实实数m的取值范围． 【解答】解：∵不等式|x﹣1|＞m的解集是R， ∴m＜0，即p：m＜0． 若f（x）=在区间（0，+∞）上是减函数， 则2﹣m＞0， 即m＜2，即q：m＜2． 若p或q为真命题，p且q为假命题， 则p，q一真一假． 若p真，q假，则．此时m无解． 若p假，q真，则，解得0≤m＜2． 综上：0≤m＜2． 故答案为：0≤m＜2或[0，2）． 【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系的应用，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键． 17. 已知的展开式各项系数之和为64，则n =_____，展开式中含项的系数为_____. 参考答案： 6    15 【分析】 利用赋值法，令，则的展开式各项系数之和为，即可求得n；再由二项展开式的通项求得含项的系数. 【详解】令，则的展开式各项系数之和为，则； 其中通项，令，则，故项的系数为15. 故答案为：(1). 6；(2). 15 【点睛】本题考查求二项展开式中指定项的系数，还考查了赋值法的应用，属于基础题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，讨论的单调性； （3）若对任意的恒有成立，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（1）当时，………   1分 由,解得.                           ………………………   2分 ∴在上是减函数，在上是增函数.         ………………………   3分 ∴的极小值为，无极大值.             ………………………   4分 （2）.   ……   6分 ①当时，在和上是减函数，在上是增函数；………7分 ②当时，在上是减函数；                  ………………………   8分 ③当时，在和上是减函数，在上是增函数.……   9分 （3）当时，由（2）可知在上是减函数， ∴.         ………………………   10分 由对任意的恒成立， ∴                   ………………………   11分 即对任意恒成立， 即对任意恒成立，                    ………………………   12分 由于当时，，∴.     ………………………   13分 略 19. 已知等差数列{bn}满足，数列{an}的前n项和记为Sn，且. （1）分别求出{an},{bn}的通项公式； （2）记，求{cn}的前n项和Tn. 参考答案： 解：（1）因为所以当时，； 当时， 所以，故 设，则 所以，则 所以 因此，即 （2）由（1）知即 所以   20. 已知矩形ABCD与直角梯形ABEF，，点G为DF的中点，，P在线段CD上运动. （1）证明：平面； （2）当P运动到CD的中点位置时，PG与PB长度之和最小，求二面角的余弦值. 参考答案： （1）连接交于，连，为的中点. ∴为的中位线， ∴，而平面，平面， ∴平面. （2）延迟至，使，连，，则，∴， 当、、三点共线时，与长度之和最小，即与长度之和最小， ∵为中点，∴. 在中，，∴， ，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系， ∴，，，， ∴，，， 设为平面的一个法向量， ∴，即， 令，∴，，∴. 同理可得平面的一个法向量， 设二面角的大小为，为钝角， ∴，∴求二面角的余弦值. 21. 已知f(x)＝，曲线在点（1，f(1)）处的切线斜率为2. （I）求f(x)的单调区间； （11）若2 f(x)一（k＋1）x＋k>0（kZ）对任意x＞1都成立，求k的最大值 参考答案： 解：（Ⅰ）的定义域为，求导可得， 由得，， 令得； 令得， 所以的减区间为，增区间为． …………………………（4分） （Ⅱ）由题意：，即， 恒成立， 令，则， 令，则， 在上单调递增， 又， 且， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以， ，， ， ，所以k的最大值为4． ………………………………………（12分） 22. （本小题满分14分）已知函数的导函数是，在处取得极值，且， （Ⅰ）求的极大值和极小值； （Ⅱ）记在闭区间上的最大值为，若对任意