专题09 函数的最值
考点一 求已知函数的最值
【方法总结】
导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤
(1)求函数f(x)的导数f′(x)；
(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；
(3)求f(x)在给定区间上的端点值；
(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；
(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．
【例题选讲】
[例1](1)函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为________．
答案 －1 解析 f′(x)＝－1，令f′(x)＝0得x＝1．当x∈(0，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0．∴当x＝1时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＝－1．
(2)函数f(x)＝x2＋x－2lnx的最小值为 ．
答案 解析 因为f′(x)＝x＋1－＝(x＞0)，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝＋1＝．
(3)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)＝－，则函数g(x)＝f′(x)ex在区间[0，2]上的最小值为 ．
答案 －2e 解析 由题意可得f′(x)＝x2＋2mx＋n，∵f′(x)为偶函数，∴m＝0，故 f(x)＝x3＋nx＋2，∵f(1)＝＋n＋2＝－，∴n＝－3．∴f(x)＝x3－3x＋2，则f′(x)＝x2－3．故g(x)＝ex(x2－3)，则g′(x)＝ex(x2－3＋2x)＝ex(x－1)·(x＋3)，据此可知函数g(x)在区间[0，1)上单调递减，在区间(1，2]上单调递增，故函数g(x)的极小值，即最小值为g(1)＝e1·(12－3)＝－2e．
(4)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．
答案 － 解析 ∵f(x)的最小正周期T＝2π，∴求f(x)的最小值相当于求f(x)在[0，2π]上的最小值．f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝4cos2x＋2cosx－2＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．令f′(x)＝0，解得cosx＝或cosx＝－1，x∈[0，2π]．∴由cosx＝－1，得x＝π；由cosx＝，得x＝π或x＝．∵函数的最值只能在导数值为0的点或区间端点处取到，f(π)＝2sinπ＋sin2π＝0，f ＝2sin＋sin＝，f ＝－，f(0)＝0，f(2π)＝0，∴f(x)的最小值为－．
(5)设正实数x，则f(x)＝的值域为________．
答案 解析 令ln x＝t，则x＝et，∴g(t)＝，令t2＝m，m≥0，∴h(m)＝，∴h′(m)＝，令h′(m)＝0，解得m＝1，当0≤m<1时，h′(m)>0，函数h(m)单调递增，当m≥1时，h′(m)<0，函数h(m)单调递减，∴h(m)max＝h(1)＝，∵f(0)＝0，当m→＋∞时，h(m)→0，∴f(x)＝的值域为．
(6)已知函数f(x)＝elnx和g(x)＝x＋1的图象与直线y＝m的交点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1－x2的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[2，＋∞) C． D．
答案 A 解析 由题意知f(x1)＝g(x2)，所以eln x1＝x2＋1，即x2＝eln x1－1，则x1－x2＝x1－eln x1＋1，x1>0．令h(x)＝x－eln x＋1(x>0)，则h′(x)＝1－＝．当x>e时，h′(x)>0，当0
0)，则φ′(x)＝，当x∈(0，1)时，φ′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(1)＝e－1，∴k≤e－1．
(8)(多选)设函数f(x)＝，则下列选项正确的是( )
A．f(x)为奇函数 B．f(x)的图象关于点(0，1)对称
C．f(x)的最大值为＋1 D．f(x)的最小值为－＋1
答案 BCD 解析 f(x)＝＋1，不满足f(－x)＝－f(x)，故A项错误；令g(x)＝，则g(－x)＝＝＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，则f(x)关于点(0，1)对称，B项正确；设f(x)＝＋1的最大值为M，则g(x)的最大值为M－1，设f(x)＝＋1的最小值为N，则g(x)的最小值为N－1，当x＞0时，g(x)＝，所以g′(x)＝，当0＜x＜1时，g′(x)＞0，当x＞1时，g′(x)＜0，所以当0＜x＜1时，g(x)单调递增，当x＞1时，g(x)单调递减，所以g(x)在x＝1处取得最大值，最大值为g(1)＝，由于g(x)为奇函数，所以g(x)在x＝－1处取得最小值，最小值为g(－1)＝－，所以f(x)的最大值为M＝＋1，最小值为N＝－＋1，故C、D项正确．故选B、C、D．
[例2] 已知函数f(x)＝excos x－x．
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解析 (1)因为f(x)＝excos x－x，所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0．
又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1．
(2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x．
当x∈时，h′(x)＜0，所以h(x)在区间上单调递减．
所以对任意x∈，有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0．所以函数f(x)在区间上单调递减．
因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，最小值为f＝－．
[例3] (2017·浙江)已知函数f(x)＝(x－)e－x．
(1)求f(x)的导函数；
(2)求f(x)在区间上的取值范围．
解析 (1)f′(x)＝(x－)′e－x＋(x－)(e－x)′＝e－x－(x－)e－x
＝e－x＝(1－x)e－x．
(2)令f′(x)＝(1－x)e－x＝0，解得x＝1或．
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化如下表：
x
1
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
e－
0
e－
又f＝e－，f(1)＝0，f＝e－，则f(x)在区间上的最大值为e－．
又f(x)＝(x－)e－x＝(－1)2e－x≥0．
综上，f(x)在区间上的取值范围是．
[例4] (2021·北京)已知函数f(x)＝．
(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值．
解析 (1)当a＝0时，f(x)＝，则f′(x)＝＝．
当x＝1时，f(1)＝1，f′(1)＝－4，
故y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－4(x－1)，整理得4x＋y－5＝0．
(2)已知函数f(x)＝，则f′(x)＝＝．
若函数f(x)在x＝－1处取得极值，则f′(－1)＝0，即＝0，解得a＝4．
经检验，当a＝4时，x＝－1为函数f(x)的极大值，符合题意．
此时f(x)＝，其定义域为R，f′(x)＝，
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝4．f(x)，f′(x)随x的变化趋势如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，4)
4
(4，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(4，＋∞)，单调递减区间为(－1，4)．
由上表知f(x)的极大值为f(－1)＝1，极小值为f(4)＝－．
又因为x<时，f(x)>0；x>时，f(x)<0，
所以函数f(x)的最大值为f(－1)＝1，最小值为f(4)＝－．
[例5] 已知函数f(x)＝
(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值；
(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．
解析 (1)当x<1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
极小值
极大值
故当x＝0时，函数f(x)取到极小值，极小值为f(0)＝0，
当x＝时，函数f(x)取到极大值，极大值为f＝．
(2)①当－1≤x<1时，根据(1)知，函数f(x)在[－1，0)和上单调递减，在上单调递增．
因为f(－1)＝2，f＝，f(0)＝0，所以f(x)在[－1，1)上的最大值为2．
②当1≤x≤e时，f(x)＝aln x，当a≤0时，f(x)≤0；
当a>0时，f(x)在[1，e]上单调递增．则f(x)在[1，e]上的最大值为f(e)＝a．
故当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；
当a<2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2．
【对点训练】
1．函数y＝在[0，2]上的最大值是( )
A． B． C．0 D．
1．答案 A 解析 易知y′＝，x∈[0，2]，令y′＞0，得0≤x＜1，令y′＜0，得1＜x≤2，所以函数y
＝在[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以y＝在[0，2]上的最大值是ymax＝，故选A．
2．函数f(x)＝2x－lnx的最小值为________．
2．答案 1＋ln 2 解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2－＝，当0时，
f′(x)>0．∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，∴f(x)min＝f ＝1－ln ＝1＋ln 2．
3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是( )
A．－37 B．－29 C．－5 D．以上都不对
3．答案 A 解析 ∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，∴
x＝0为极大值点，也为最大值点，∴f(0)＝m＝3，∴m＝3．∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5．∴最小值是－37．故选A．
4．已知函数f(x)＝x＋2sinx，x∈[0，2π]，则f(x)的值域为( )
A． B． C． D．[0，2π]
4．答案 D 解析 f′(x)＝1＋2cosx，x∈[0，2π]，令f′(x)＝0，得cosx＝－，∴x＝或x＝，又f
＝＋，f ＝－，f(0)＝0，f(2π)＝2π，f －f ＝－2<0，∴f(0)
展开阅读全文
温馨提示：
金锄头文库所有资源均是用户自行上传分享，仅供网友学习交流，未经上传用户书面授权，请勿作他用。
相关搜索