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江苏省连云港市陡沟中学高一数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设,则 ( )
A. B.0 C. D.
参考答案:
A
2. 设全集,, ,则图中阴影部分表示的集合为来
A. B.
C. D.
参考答案:
B
3. 锐角三角形中,内角的对边分别为,若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 设函数=则满足≤2的x的取值范围是( ).
A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[0,+∞)
参考答案:
D
5. (5分)设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为()
A. ﹣1,1,3 B. ,1 C. ﹣1,3 D. 1,3
参考答案:
D
考点: 幂函数的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据幂函数的性质,我们分别讨论a为﹣1,1,,3时,函数的定义域和奇偶性,然后分别和已知中的要求进行比照,即可得到答案.
解答: 当a=﹣1时,函数的定义域为{x|x≠0},不满足定义域为R;
当a=1时,函数y=xα的定义域为R且为奇函数,满足要求;
当a=函数的定义域为{x|x≥0},不满足定义域为R;
当a=3时,函数y=xα的定义域为R且为奇函数,满足要求;
故选:D
点评: 本题考查的知识点是奇函数,函数的定义域及其求法,其中熟练掌握幂函数的性质,特别是定义域和奇偶性与指数a的关系,是解答本题的关键.
6. 如果a<0,b>0,那么下列不等式中一定正确的是( )
A.
|a|>|b|
B.
<
C.
a2<b2
D.
<
参考答案:
D
考点:
不等关系与不等式.
专题:
不等式的解法及应用.
分析:
根据已知条件分别对A、B、C、D,四个选项利用特殊值代入进行求解.
解答:
解:A、取a=﹣,b=1,可得|a|<|b|,故A错误;
B、取a=﹣2,b=1,可得>,故B错误;
C、取a=﹣2,b=1,可得a2>b2,故C错误;
D、如果a<0,b>0,那么<0,>0,∴<,故D正确;
故选D.
点评:
此题考查不等关系与不等式,利用特殊值法进行求解更加简便,此题是一道基础题.
7. 函数定义域为R,且对任意,恒成立.则下列选项中不恒成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
8. 直线与圆相交于两点,若,
则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
当时,圆心到直线的距离为1,要使,需满足圆心到直线的距离。
9. 设函数,则使得成立的的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
∵函数,∴,即函数为偶函数且在上单调递增,∵,∴,∴,即,故选D.
10. 在锐角中,若,则的范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在等差数列中,若,,则的最大值为 ▲ .
参考答案:
12. 已知点P在直线l:x-y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2+2y=0上,则P、Q两点距离的最小值为 .
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】|PQ|的最小值为x2+y2+2y=0的圆心(0,﹣1)到直线x﹣y+2=0的距离减去圆的半径.
【解答】解:∵C:x2+y2+2y=0的圆心(0,﹣1)到直线x﹣y+2=0的距离:
d==,
∴由题意知|PQ|的最小值为:d﹣r=﹣1=.
故答案为.
13. 已知扇形的半径为9,圆心角为120°,则扇形的弧长为______,面积为______.
参考答案:
6π;27π
【分析】
直接利用扇形弧长和面积公式计算得解.
【详解】由题得扇形的弧长扇形面积.
故答案为: 6π ;27π.
【点睛】本题主要考查扇形的弧长和面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
14. 已知直线,则当此直线在两坐标轴上的截距和最小时,的值是 ▲ .
参考答案:
1
略
15. 函数有__________个零点.
参考答案:
见解析
当时,,得,
当时,,得,
∴函数,
恒成立.所以时,
单调递增,,
,所以存在且只在存在一个使得.
所以零点个数共有个.
16.函数与互为反函数,且的图像过点,则__________.
【答案】
【解析】本题主要考查反函数.
因为函数与函数互为反函数,
函数经过点,所以函数经过点,
即,,所以,所以,
所以.
故本题正确答案为.
16. 已知函数,若方程有四个不同的解,且,则的取值范围是____________.
参考答案:
作出函数 的图象,
∵方程 有四个不同的解 ,且 ,
由图可知 ,
,
,
故 ,
其在 上是增函数,
故 ,
即 ,故答案为 .
17. 集合,则与的关系是( )
A. B. C. D. 是空集
参考答案:
A
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 求满足下列条件的直线方程:
(1)求经过直线l1:x+3y﹣3=0,l2:x﹣y+1=0的交点,且平行于直线2x+y﹣3=0的直线l方程;
(2)求在两坐标轴上截距相等,且与点A(3,1)的距离为的直线l的方程.
参考答案:
【分析】(1)联立方程,求出交点,再根据直线l平行于直线2x+y﹣3=0,得到直线l的斜率为k=﹣2,根据点斜式得到方程.
(2)设直线l的方程为+=1,则x+y﹣a=0,根据点到直线的距离公式,即可求出a的值.
【解答】解:(1)由得,∴直线l1:x+3y﹣3=0,l2:x﹣y+1=0的交点坐标为(0,1),
∵直线l平行于直线2x+y﹣3=0,
∴直线l的斜率为k=﹣2,
∴直线方程为y﹣1=﹣2(x﹣0),
即2x+y﹣1=0;
(2)设直线l的方程为+=1,则x+y﹣a=0,
则由题意得=,解得a=2或a=6,
∴直线l的方程为x+y﹣2=0,或x+y﹣6=0.
19.
为了绿化城市,准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC的草坪,且PQ∥BC,RQ⊥BC,另外△AEF的内部有一文物保护区不能占用,经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m.
(1)求直线EF的方程(4 分 ).
(2)应如何设计才能使草坪的占地面积最大?(10 分 )
参考答案:
20. 已知函数f(x)=.
(1)当a=b=1时,求满足f(x)=3x的x的值;
(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,
①判断f(x)在R的单调性并用定义法证明;
②当x≠0时,函数g(x)满足f(x)?[g(x)+2]=(3﹣x﹣3x),若对任意x∈R且x≠0,不等式g(2x)≥m?g(x)﹣11恒成立,求实数m的最大值.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
【分析】(1)当a=b=1时,f(x)=.由f(x)=3x,可得满足条件的x的值;
(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则,
①f(x)在R上单调递减,利用定义法,可证明结论;
②不等式g(2x)≥m?g(x)﹣11恒成立,即(3x+3﹣x)2﹣2≥m?(3x+3﹣x)﹣11恒成立,即m≤(3x+3﹣x)+恒成立,结合对勾函数的图象和性质,可得答案.
【解答】解:(1)当a=b=1时,f(x)=.
若f(x)=3x,即3(3x)2+2?3x﹣1=0,
解得:3x=,或3x=﹣1(舍去),
∴x=﹣1;
(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,
则f(﹣x)=﹣f(x),即=,
即(3a﹣b)(3x+3﹣x)+2ab﹣6=0,
解得:,或,
经检验,满足函数的定义域为R,
∴f(x)==.
①f(x)在R上单调递减,理由如下:
∵任取x1<x2,
则,,
则f(x1)﹣f(x2)=﹣=>0,
即f(x1)>f(x2)
∴f(x)在R上是减函数;
②∵当x≠0时,函数g(x)满足f(x)?[g(x)+2]=(3﹣x﹣3x),
∴g(x)=3x+3﹣x,(x≠0),
则g(2x)=32x+3﹣2x=(3x+3﹣x)2﹣2,
不等式g(2x)≥m?g(x)﹣11恒成立,
即(3x+3﹣x)2﹣2≥m?(3x+3﹣x)﹣11恒成立,
即m≤(3x+3﹣x)+恒成立,
仅t=3x+3﹣x,则t>2,
即m≤t+,t>2恒成立,
由对勾函数的图象和性质可得:当t=3时,t+取最小值6,
故m≤6,
即实数m的最大值为6.
21. 设是两个不共线的非零向量.
(1)设,,,那么当实数t为何值时,A,B,C三点共线;
(2)若,且与的夹角为60°,那么实数x为何值时的值最小?最小值为多少?
参考答案:
(1);(2)
【分析】
(1)由A,B,C三点共线知:存在实数λ使=λ+(1-λ),代入,,可得λ=,t=;
(2)?=||||cos60°=,∴|-2x|2=2+4x22-4x?=2+16x2-4=16x2-4+4,利用二次函数求最值可得.
【详解】(1)由A,B,C三点共线知:存在实数λ使=λ+(1-λ),
则(+)=λ(-)+(1-λ)t
则λ=,t=,
(2)?=||||cos60°=,
∴|-2x|2=2+4x22-4x?=2+16x2-4
=16x2-4+4,
∴当x=-=时,|-2x|的最小值为.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,属中档题.
22. (本小题满分13分)已知圆经过、两点,且圆心在直线上.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)若直线经过点且与圆相切,求直线的方程.
参考答案:
解:(Ⅰ)方法1:设所求圆的方程为.依题意,可得………2分
,………………………………………………………4分
解得
∴所求圆的方程为.……………………………………7分
方法2:由已知,AB的中垂线方程为:. ………………………………………2分
由得.所求圆的圆心为C(2,4).…………………………2分
.
∴所求圆的方程为.……………………………………7分
(Ⅱ)直线CB的斜率为2,所以所求切线的斜率为.…………………………10分
所求切线方程为:,即………………………13分
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