江苏省连云港市陡沟中学高一数学理下学期期末试卷含解析

江苏省连云港市陡沟中学高一数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设，则 （   ） A．            B．0          C．             D． 参考答案： A 2. 设全集,, ,则图中阴影部分表示的集合为来 A．               B． C．            D． 参考答案： B 3. 锐角三角形中，内角的对边分别为，若，则的取值范围是（      ） A.            B.        C.            D. 参考答案： B 4. 设函数＝则满足≤2的x的取值范围是(　　)．    A．[－1,2]    B．[0,2]     C．[1，＋∞)      D．[0，＋∞) 参考答案： D 5. （5分）设α∈，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（） A． ﹣1，1，3 B． ，1 C． ﹣1，3 D． 1，3 参考答案： D 考点： 幂函数的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据幂函数的性质，我们分别讨论a为﹣1，1，，3时，函数的定义域和奇偶性，然后分别和已知中的要求进行比照，即可得到答案． 解答： 当a=﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R； 当a=1时，函数y=xα的定义域为R且为奇函数，满足要求； 当a=函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R； 当a=3时，函数y=xα的定义域为R且为奇函数，满足要求； 故选：D 点评： 本题考查的知识点是奇函数，函数的定义域及其求法，其中熟练掌握幂函数的性质，特别是定义域和奇偶性与指数a的关系，是解答本题的关键． 6. 如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中一定正确的是（　　） 　 A． |a|＞|b| B． ＜ C． a2＜b2 D． ＜ 参考答案： D 考点： 不等关系与不等式． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 根据已知条件分别对A、B、C、D，四个选项利用特殊值代入进行求解． 解答： 解：A、取a=﹣，b=1，可得|a|＜|b|，故A错误； B、取a=﹣2，b=1，可得＞，故B错误； C、取a=﹣2，b=1，可得a2＞b2，故C错误； D、如果a＜0，b＞0，那么＜0，＞0，∴＜，故D正确； 故选D． 点评： 此题考查不等关系与不等式，利用特殊值法进行求解更加简便，此题是一道基础题． 7. 函数定义域为R，且对任意，恒成立．则下列选项中不恒成立的是（     ） A．    B．     C．   D． 参考答案： D 略 8. 直线与圆相交于两点，若， 则k的取值范围是（    ） A.     B.    C.     D. 参考答案： A 当时，圆心到直线的距离为1，要使，需满足圆心到直线的距离。 9. 设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： D ∵函数，∴，即函数为偶函数且在上单调递增，∵，∴，∴，即，故选D.   10. 在锐角中，若，则的范围是（    ） A．         B．     C．      D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在等差数列中，若，，则的最大值为  ▲  . 参考答案： 12. 已知点P在直线l：x－y+2=0上，点Q在圆C：x2+y2+2y=0上，则P、Q两点距离的最小值为　　． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】|PQ|的最小值为x2+y2+2y=0的圆心（0，﹣1）到直线x﹣y+2=0的距离减去圆的半径． 【解答】解：∵C：x2+y2+2y=0的圆心（0，﹣1）到直线x﹣y+2=0的距离： d==， ∴由题意知|PQ|的最小值为：d﹣r=﹣1=． 故答案为． 13. 已知扇形的半径为9，圆心角为120°，则扇形的弧长为______，面积为______. 参考答案： 6π；27π 【分析】 直接利用扇形弧长和面积公式计算得解. 【详解】由题得扇形的弧长扇形面积. 故答案为： 6π ；27π. 【点睛】本题主要考查扇形的弧长和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 14. 已知直线，则当此直线在两坐标轴上的截距和最小时，的值是     ▲     ． 参考答案： 1 略 15. 函数有__________个零点． 参考答案： 见解析 当时，，得， 当时，，得， ∴函数， 恒成立．所以时， 单调递增，， ，所以存在且只在存在一个使得． 所以零点个数共有个．   16．函数与互为反函数，且的图像过点，则__________． 【答案】 【解析】本题主要考查反函数． 因为函数与函数互为反函数， 函数经过点，所以函数经过点， 即，，所以，所以， 所以． 故本题正确答案为． 16. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是____________. 参考答案： 作出函数 的图象， ∵方程 有四个不同的解 ，且 ， 由图可知 ，   ， ， 故 ， 其在 上是增函数， 故 ， 即 ，故答案为 .   17. 集合，则与的关系是（  ） A.      B.      C.       D. 是空集 参考答案： A 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 求满足下列条件的直线方程： （1）求经过直线l1：x+3y﹣3=0，l2：x﹣y+1=0的交点，且平行于直线2x+y﹣3=0的直线l方程； （2）求在两坐标轴上截距相等，且与点A（3，1）的距离为的直线l的方程． 参考答案： 【分析】（1）联立方程，求出交点，再根据直线l平行于直线2x+y﹣3=0，得到直线l的斜率为k=﹣2，根据点斜式得到方程． （2）设直线l的方程为+=1，则x+y﹣a=0，根据点到直线的距离公式，即可求出a的值． 【解答】解：（1）由得，∴直线l1：x+3y﹣3=0，l2：x﹣y+1=0的交点坐标为（0，1）， ∵直线l平行于直线2x+y﹣3=0， ∴直线l的斜率为k=﹣2， ∴直线方程为y﹣1=﹣2（x﹣0）， 即2x+y﹣1=0； （2）设直线l的方程为+=1，则x+y﹣a=0， 则由题意得=，解得a=2或a=6， ∴直线l的方程为x+y﹣2=0，或x+y﹣6=0． 19. 为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC的草坪，且PQ∥BC,RQ⊥BC,另外△AEF的内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m． （1）求直线EF的方程(4 分 )． （2）应如何设计才能使草坪的占地面积最大？(10 分 )   参考答案： 20. 已知函数f（x）=． （1）当a=b=1时，求满足f（x）=3x的x的值； （2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数， ①判断f（x）在R的单调性并用定义法证明； ②当x≠0时，函数g（x）满足f（x）?[g（x）+2]=（3﹣x﹣3x），若对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m?g（x）﹣11恒成立，求实数m的最大值． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【分析】（1）当a=b=1时，f（x）=．由f（x）=3x，可得满足条件的x的值； （2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，则， ①f（x）在R上单调递减，利用定义法，可证明结论； ②不等式g（2x）≥m?g（x）﹣11恒成立，即（3x+3﹣x）2﹣2≥m?（3x+3﹣x）﹣11恒成立，即m≤（3x+3﹣x）+恒成立，结合对勾函数的图象和性质，可得答案． 【解答】解：（1）当a=b=1时，f（x）=． 若f（x）=3x，即3（3x）2+2?3x﹣1=0， 解得：3x=，或3x=﹣1（舍去）， ∴x=﹣1； （2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数， 则f（﹣x）=﹣f（x），即=， 即（3a﹣b）（3x+3﹣x）+2ab﹣6=0， 解得：，或， 经检验，满足函数的定义域为R， ∴f（x）==． ①f（x）在R上单调递减，理由如下： ∵任取x1＜x2， 则，， 则f（x1）﹣f（x2）=﹣=＞0， 即f（x1）＞f（x2） ∴f（x）在R上是减函数； ②∵当x≠0时，函数g（x）满足f（x）?[g（x）+2]=（3﹣x﹣3x）， ∴g（x）=3x+3﹣x，（x≠0）， 则g（2x）=32x+3﹣2x=（3x+3﹣x）2﹣2， 不等式g（2x）≥m?g（x）﹣11恒成立， 即（3x+3﹣x）2﹣2≥m?（3x+3﹣x）﹣11恒成立， 即m≤（3x+3﹣x）+恒成立， 仅t=3x+3﹣x，则t＞2， 即m≤t+，t＞2恒成立， 由对勾函数的图象和性质可得：当t=3时，t+取最小值6， 故m≤6， 即实数m的最大值为6． 21. 设是两个不共线的非零向量． （1）设，，，那么当实数t为何值时，A，B，C三点共线； （2）若，且与的夹角为60°，那么实数x为何值时的值最小？最小值为多少？ 参考答案： （1）；（2） 【分析】 （1）由A，B，C三点共线知：存在实数λ使=λ+（1-λ），代入，，可得λ=，t=； （2）?=||||cos60°=，∴|-2x|2=2+4x22-4x?=2+16x2-4=16x2-4+4，利用二次函数求最值可得． 【详解】（1）由A，B，C三点共线知：存在实数λ使=λ+（1-λ）， 则（+）=λ（-）+（1-λ）t 则λ=，t=， （2）?=||||cos60°=， ∴|-2x|2=2+4x22-4x?=2+16x2-4 =16x2-4+4， ∴当x=-=时，|-2x|的最小值为． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题． 22. （本小题满分13分）已知圆经过、两点，且圆心在直线上． （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程． 参考答案： 解：（Ⅰ）方法1：设所求圆的方程为.依题意，可得………2分 　　　，………………………………………………………4分 解得 ∴所求圆的方程为.……………………………………7分 方法2：由已知，AB的中垂线方程为：. ………………………………………2分 由得.所求圆的圆心为C（2,4）.…………………………2分 . ∴所求圆的方程为.……………………………………7分 （Ⅱ）直线CB的斜率为2，所以所求切线的斜率为.…………………………10分 所求切线方程为：，即………………………13分