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江苏省盐城市大丰大中镇第二高级中学高一数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,若直线与直线平行,则m的值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
参考答案:
B
2. 在△ABC中,,且△ABC面积为1,则下列结论不正确的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
根据三角形面积公式列式,求得,再根据基本不等式判断出C选项错误.
【详解】根据三角形面积为1得,三个式子相乘,得到,由于,所以.所以,故C选项错误.所以本小题选C.
【点睛】本小题主要考查三角形面积公式,考查基本不等式的运用,属于中档题.
3. 根据表格中的数据,可以判定函数f(x)=ex﹣x﹣3的一个零点所在的区间是( )
x
﹣1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+3
2
3
4
5
6
A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
参考答案:
C
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】利用表格计算函数f(x)=ex﹣x﹣3的值,利用零点判定定理,求解即可.
【解答】解:由表格可得:
x
﹣1
0
1
2
3
ex﹣x﹣3
﹣1.63
﹣2
﹣1.38
2.39
14.09
可得f(1)<0,f(2)>0,函数f(x)=ex﹣x﹣3是连续函数,
所以函数的零点在(1,2)之间.
故选:C.
4. 由直线上的一点向圆引切线,则切线长的最小值为:
A.1 B. C. D.
参考答案:
C
5. 在等比数列中,若,,则的值为( )
A. B.3 C.6 D.
参考答案:
q4=,q2=.=-9×=-3,选A.
6. 已知集合A={﹣1,0,1},B={x|1≤2x<4},则A∩B等于( )
A.{1} B.{﹣1,1} C.{1,0} D.{﹣1,0,1}
参考答案:
C
【考点】交集及其运算.
【分析】由1≤2x<4得20≤2x<22,求出x的范围及求出集合B,由交集的运算求出A∩B.
【解答】解:由1≤2x<4得20≤2x<22,所以0≤x<2,则B={x|0≤x<2},
又合A={﹣1,0,1},则A∩B={0,1},
故选:C.
7. 函数f(x)=ex与函数g(x)=﹣2x+3的图象的交点的横坐标所在的大致区间是( )
A.(﹣1,0) B. C. D.(1,2)
参考答案:
C
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】题目转化为求函数h(x)=f(x)﹣g(x)=ex+2x﹣3的零点,根据h()h(1)<0,可得函数h(x) 的零点所在区间.
【解答】解:函数f(x)=ex与函数g(x)=﹣2x+3的图象的交点的横坐标,
即求函数h(x)=f(x)﹣g(x)=ex+2x﹣3的零点,
由于函数h(x)是连续增函数,且 h()=﹣2<0,h(1)=e﹣1>0,
故 h()h(41)<0,故函数h(x) 的零点所在区间是(,1),
故选:C.
【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,函数零点的判定定理,体现了化归与转化的数学思想,属于基础题.
8. 古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,……叫做三角数,它有一定的规律性,第30个三角数与第28个三角数的差为( )
A. 20 B. 29 C. 30 D. 59
参考答案:
D
9. 给出以下四个命题:
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
参考答案:
B
【考点】LP:空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】对于立体几何中的线线、线面、面面关系的判定可依据课本中有关定理结论进行判断,也可列举反例从而说明不正确即可.
【解答】解:观察正方体中的线面位置关系,结合课本中在关线面位置关系的定理知,
①②④正确.
对于③,A′B′、A′D′都平行于一个平面AC,但它们不平行,故③错.
故选B.
【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力,属于基础题.
10. 将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),则所得图象的函数解析式为 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知集合A,B满足,集合A={x|x=7k+3,k∈N},B={x|x=7k﹣4,k∈Z},则A,B两个集合的关系:A B(横线上填入?,?或=)
参考答案:
?
【考点】集合的表示法;集合的包含关系判断及应用.
【分析】根据题意,已知分析两个集合中元素的性质,可得结论.
【解答】解:根据题意,集合A={x|x=7k+3,k∈N},
表示所有比7的整数倍大3的整数,其最小值为3,
B={x|x=7k﹣4,k∈Z},表示所有比7的整数倍小4的整数,
也表示所有比7的整数倍大3的整数,
故A?B;
故答案为:?.
12. 二次不等式的解集为,则ab的值为_______.
参考答案:
6
【分析】
由二次不等式与二次方程的关系可得,从而得解.
【详解】二次不等式的解集为,
则,且的两个根为和.
所以,解得.
所以
【点睛】本题主要考查了二次方程与二次不等式的关系,属于基础题.
13. -1与+1的等比中项是________.
参考答案:
14. .已知直线与,则与之间的距离为___.
参考答案:
【分析】
题目中的两条直线为平行线,运用公式进行求解
【详解】因为直线:与:平行,
所以与之间的距离为.
15. 不等式(2+1)()0的解集是____________________________.
参考答案:
16. 经过圆的圆心,并且与直线垂直的直线方程为 .
参考答案:
略
17. 若向量,,则= .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设函数f(x)=lg(ax﹣bx),且f(1)=lg2,f(2)=lg12
(1)求a,b的值.
(2)当x∈[1,2]时,求f(x)的最大值.
(3)m为何值时,函数g(x)=ax的图象与h(x)=bx﹣m的图象恒有两个交点.
参考答案:
【考点】对数函数的图象与性质;函数的最值及其几何意义.
【专题】计算题;方程思想;分类法;函数的性质及应用.
【分析】(1)由已知可得a﹣b=2,a2﹣b2=12,解得答案;
(2)当x∈[1,2]时,4x﹣2x∈[2,12],结合对数函数的图象和性质,可得答案;
(3)若函数g(x)=ax的图象与h(x)=bx﹣m的图象恒有两个交点,则4x﹣2x=m有两个解,令t=2x,则t>0,则t2﹣t=m有两个正解,进而得到答案.
【解答】解:(1)∵f(x)=lg(ax﹣bx),且f(1)=lg2,f(2)=lg12,
∴a﹣b=2,a2﹣b2=12,
解得:a=4,b=2;
(2)由(1)得:函数f(x)=lg(4x﹣2x),
当x∈[1,2]时,4x﹣2x∈[2,12],
故当x=2时,函数f(x)取最大值lg12,
(3)若函数g(x)=ax的图象与h(x)=bx﹣m的图象恒有两个交点.
则4x﹣2x=m有两个解,令t=2x,则t>0,
则t2﹣t=m有两个正解;
则,
解得:m∈(﹣,0)
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,熟练掌握对数函数的图象和性质,是解答的关键.
19. (本小题满分16分)
设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为,画面的上下各留8cm的空白,左右各留5cm的空白.
(1)试确定画面的高与宽的尺寸,使宣传画所用的纸张面积最小;
(2)当时,试确定的值,使宣传画所用纸张面积最小。
参考答案:
解:设画面的高为,宽为,则,……………………2分
(1)设纸张面积为,则有……………………………4分
……………………………5分
当且仅当时,即时,取最小值, ……………………………6分
此时,高,宽 .……………………………8分
(2)如果,则上述等号不能成立.函数S(λ)在上单调递增.………11分
现证明如下:
设,
则
因为,
又,
所以,故在上单调递增, ……………………………14分
因此对,当时,取得最小值. ……………………………16分
20. (本小题满分12分)已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=ma-3b.
(1)当m为何值时,c与d垂直?
(2)当m为何值时,c与d共线?
参考答案:
21. 已知直线l:,一个圆的圆心C在x轴上且该圆与y轴相切,该圆经过点.
(1)求圆C的方程;
(2)求直线l被圆截得的弦长.
参考答案:
(1);(2).
【分析】
(1)由题意设圆心,半径,将点代入圆C的方程可求得a,可得圆的方程;(2)求出圆心C到直线l的距离d,利用勾股定理求出l被圆C所截得弦长.
【详解】(1)∵圆心在轴上且该圆与轴相切,
∴设圆心,半径,,
设圆方程为,
将点代入得,
∴,
∴ 所求圆的方程为.
(2)∵圆心到直线:的距离,
∴直线被圆截得的弦长为.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及圆的方程的应用问题,考查了垂径定理的应用,是基础题.
22. (本小题满分12分)
(1)化简; (2)求证:.
参考答案:
解(1)
(2)
略
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