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2022年山西省运城市河津城北中学高一数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若方程mx﹣x﹣m=0(m>0,且m≠1)有两个不同实数根,则m的取值范围是( )
A.m>1 B.0<m<1 C.m>0 D.m>2
参考答案:
A
【考点】函数的零点.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由题意得,函数y=mx与y=x+m有两个不同的交点,结合图象得出结果.
解:方程mx﹣x﹣m=0有两个不同实数根,等价于函数y=mx与y=x+m的图象有两个不同的交点.
当m>1时,如图(1)有两个不同交点;
当0<m<1时,如图(2)有且仅有一个交点.
故选A.
【点评】本题考查方程根的个数的判断,体现了数形结合及转化的数学思想.
2. 下列函数 ① ② ③
④。其中最小值为2的有( )
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
参考答案:
A
3. 的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
化简,利用基本不等式求解即可.
【详解】,
,
当且仅当,即时等号成立,
所以最小值是,故选B.
【点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
4. 函数()对于任意实数都有( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
5. 若三点共线 则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
6. 若直线的倾斜角为,则( ).
A、0° B、60°? C、90° D、180°
参考答案:
B
7. 等比数列中,,公比,用表示它前n项的积:,则中最大的是( )
A B C D
参考答案:
C
8. 已知函数的图象与函数(a>0且a≠1)的图象关于直线对称,且点在函数的图像上,则实数a的值为( )
A.2 B. C.4 D.
参考答案:
A
因为图象关于直线对称且在函数的图像上,则点在函数(且)上,代入解得,故选A.
9. ( )
A.>0 B.<3 C.>-3 D.
参考答案:
B
10. 已知集合A={0,1},B={1,2},则A∪B=( )
A.{0,1,2} B.{1,0,1,2} C.{1} D.不能确定
参考答案:
A
【考点】并集及其运算.
【分析】根据并集的概念求解即可.
【解答】解:∵集合A={0,1},B={1,2},∴A∪B={0,1,2}.
故选:A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是 .
参考答案:
4
【考点】程序框图.
【专题】算法和程序框图.
【分析】执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,k的值,当S=2059时,不满足条件S<100,退出循环,输出k的值为4.
【解答】解:执行程序框图,可得
k=0,S=0
满足条件S<100,S=1,k=1
满足条件S<100,S=3,k=2
满足条件S<100,S=11,k=3
满足条件S<100,S=2059,k=4
不满足条件S<100,退出循环,输出k的值为4.
故答案为:4.
【点评】本题主要考察了程序框图和算法,正确得到退出循环时K的值是解题的关键,属于基础题.
12. 在等差数列中,若,且它的前n项和有最大值,则当取得最小正值时,n的值为_______.
参考答案:
.
试题分析:因为等差数列前项和有最大值,所以公差为负,所以由得,所以,=,所以当时,取到最小正值.
考点:1、等差数列性质;2、等差数列的前项和公式.
【方法点睛】求等差数列前项和的最值常用的方法有:(1)先求,再利用或求出其正负转折项,最后利用单调性确定最值;(2)利用性质求出其正负转折项,便可求得前项和的最值;(3)利用等差数列的前项和(为常数)为二次函数,根据二次函数的性质求最值.
13. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,直线与直线所成的角为 ▲ .
参考答案:
14. 函数f(x)=的单调递减区间为 .
参考答案:
(﹣∞,0),(0,+∞)
【考点】函数单调性的判断与证明.
【分析】先求导,再令f′(x)<0,解得即可.
【解答】解:∵f(x)=1+,
∴f′(x)=﹣<0
∵x≠0
∴函数f(x)的单调递减区间为(﹣∞,0),(0,+∞),
故答案为:(﹣∞,0),(0,+∞).
15. 中,,,,则_______,_______,_______
参考答案:
、、
16. 已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是________.
参考答案:
[1,2]
17. 定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为,过点作轴于点,直线与的图像交于点,则线段的长为 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数=是奇函数.
⑴ 求实数的值;
⑵ 判断在其定义域上的单调性,并用函数单调性的定义证明;
⑶ 对任意的实数,不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
解:⑴ ∵=是奇函数,
∴对任意R, 有=-
∴).
∴.
∴
⑵在R上是增函数,证明如下:
=.
设、∈R且<,
=
∵<,∴>,
∴>0, 即>,
∴在R上是增函数.
⑶ 对任意的实数,不等式恒成立,
则只要<
∵+1>1, ∴0<<1, ∴-1<-<0 ,
∴-<-<, 即 <<,
∴, ∴.
故所求实数的取值范围是
略
19. (本小题分)已知在棱长为2的正方体中,为的中点.
(Ⅰ)求证:∥;
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
参考答案:
(Ⅰ)证明:如图,连接交于点,连接,
则由题在中,是两边、上的中位线,
∴∥……………………………………4分
又∵
∴∥………………………………6分
(Ⅱ)解:由题…………………………8分
而在三棱锥中,,高为正方体的棱长,
∴,即.……………12分
20. 如图所示,A,B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点,点P在单位圆上,∠AOP=θ(0<θ<π),C点坐标为(﹣2,0),平行四边形OAQP的面积为S.
(1)求?+S的最大值;
(2)若CB∥OP,求sin(2θ﹣)的值.
参考答案:
【考点】任意角的三角函数的定义;单位圆与周期性.
【分析】(1)求出A(1,0),B(0,1).P(cos θ,sin θ),然后求解?,以及平行四边形OAQP的面积,通过两角和与差的三角函数,以及正弦函数的值域求解即可.
(2)利用三角函数的定义,求出sinθ,cosθ,利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数求解表达式的值.
【解答】解:(1)由已知,得A(1,0),B(0,1).P(cos θ,sin θ),因为四边形OAQP是平行四边形,
所以=+=(1+cosθ,sinθ).
所以?=1+cosθ.
又平行四边形OAQP的面积为
S=|?|sin θ=sin θ,
所以?+S=1+cosθ+sin θ=sin(θ+)+1.
又0<θ<π,
所以当θ=时, ?+S的最大值为+1.
(2)由题意,知=(2,1),=(cosθ,sinθ),
因为CB∥OP,所以cosθ=2sinθ.
又0<θ<π,cos2θ+sin2θ=1,
解得sin θ=,cos θ=,
所以sin2θ=2sin θcosθ=,cos 2θ=cos2θ﹣sin2θ=.
所以sin(2θ﹣)=sin 2θcos﹣cos 2θsin=×﹣×=.
21. 如图所示,在正方体ABCD - A1B1C1D1中,点E为棱BB1的中点,F为CD中点.
求证:(1)平面;
(2)平面平面.
参考答案:
(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【分析】
(1)将平面延展为平面,通过证明,证得平面.
(2)通过证明、,证得平面,由此证得平面平面.
【详解】(1)取中点,连接,,,
由正方体中,
,
取中点,连接,则,,
四边形为平行四边形,
又且,
,
面,面,
∴面,
(2)在正方形中,
由,
得,
因为,
,
,
因为面,
且面
,
又因为,
平面,
平面,
∴平面平面.
【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.
22. 若二次函数满足,且方程的一个根为1.
(1)求函数的解析式;
(2)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1) ∵且 ks5u
∴ ∴ 3分
(2)由题意知:在上恒成立,5分
整理得在上恒成立,
令
∵ ∴
当时,函数得最大值,所以,解得或. 10分
略
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