湖南省衡阳市麇城实验中学高三数学理月考试卷含解析

湖南省衡阳市麇城实验中学高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在平面上，已知⊥，||=||=1，=+，若||＜，则||的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： 考点： 向量的模． 专题： 平面向量及应用． 分析： 根据⊥，=+，可知：四边形AB1PB2是一个矩形．以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系．设|AB1|=a，|AB2|=b．点O的坐标为（x，y），点P（a，b）．根据向量的坐标运算、模的计算公式、不等式的性质即可得出． 解答： 解：根据⊥，=+，可知：四边形AB1PB2是一个矩形． 以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系．设|AB1|=a，|AB2|=b． 点O的坐标为（x，y），点P（a，b）． ∵||=||=1， ∴， 变形为． ∵||＜，∴， ∴1﹣x2+1﹣y2，∴．① ∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2≤1．同理，x2≤1． ∴x2+y2≤2．② 由①②可知：． ∵=，∴．故选：D． 点评： 本题考查了向量的平行四边形法则、矩形的定义、向量的坐标运算、模的计算公式、不等式的性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 2. 设 a=sin46°，b=cos46°，c=tan46°．则（　　） A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a 参考答案： A 【考点】任意角的三角函数的定义；三角函数线． 【专题】转化思想；数形结合法；综合法；三角函数的求值． 【分析】由条件利用诱导公式、正弦函数的单调性和值域，得出结论． 【解答】解：由 a=sin46°，b=cos46°=sin44°，c=tan46°＞tan45°=1， 而y=sinx在（0，）上是增函数且函数值小于1， 可得 c＞a＞b， 故选：A． 【点评】本题主要考查诱导公式、正弦函数的单调性和值域，属于基础题． 3. 若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1 参考答案： D 【考点】函数的值． 【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】利用分段函数的性质求解． 【解答】解：∵f（x）=，f（f（1））=1， ∴f（1）=lg1=0， f（f（1））=f（0）=0+==a3=1， 解得a=1． 故选：D． 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质及定积分的性质的合理运用． 4. 若复数z满足z(1-2i)=5(i为虚数单位），则复数z为    (A)    (B)1+2i     (C) 1-2i          (D) 参考答案： B 略 5. f（x）=，则f（f（﹣1））等于(     ) A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 参考答案： D 考点：对数的运算性质；函数的值． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据分段函数的定义域，先求f（﹣1）的值，进而根据f（﹣1）的值，再求f（f（﹣1））． 解答： 解：由分段函数知，f（﹣1）=， 所以f（f（﹣1））=f（2）=3+log22=3+1=4． 故选D． 点评：本题考查分段函数求值以及对数的基本运算．分段函数要注意各段函数定义域的不同．在代入求值过程中要注意取值范围． 6. 已知如图所示的程序框图是为了求出使n!＜5000的n最大值，那么在①和②处可以分别填入（　　） A. S＜5000？；S＝n?（n+1） B. S≥5000？；S＝S?n C. S＜5000？；S＝S?n D. S≥5000？；S＝n?（n+1） 参考答案： C 【分析】 根据程序框图了解程序功能进行求解． 【详解】因为要求“否”时，n＝n﹣1，然后输出n，所以①处应填S＜5000？； 又因为使n!＜5000的n的最大值，所以②处应该填S＝S?n， 故选：C． 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，了解程序框图的功能是解决本题的关键． 7. 参考答案： C 略 8. 在中，，若O为内部的一点，且满足，则（     ）    A.         B.        C.          D. 参考答案： C 9. 某几何体的三视图如右所示，若该几何体的外接球的表面积为，则正视图中(    ) A.            B.             C.            D. 参考答案： A 10. 若都是实数，且，则“”是“”的 （A）充分不必要条件              （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件                （D）既不充分又不必要条件 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数为偶函数，且，若函数，则______． 参考答案： 2014  12. 若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为          ． 参考答案： 1120 13. 正方体的棱长为，是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦最长时，的取值范围是  ▲  . 参考答案： 略 14. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为.若，，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为          ． 参考答案： 由正弦定理得，由得，则由得，则 .   15. 以下四个命题中：   ①为了解600名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为30；   ②直线y=kx与圆恒有公共点；   ③在某项测量中，测量结果服从正态分布N(2，)(>0)．若在(-∞，1)内取值的概率为0．15，则在(2，3)内取值的概率为0．7；   ④若双曲线的渐近线方程为，则k=1．   其中正确命题的序号是             ． 参考答案： ② 16. 执行如右图所示的程序框图，若输出的，则输入整数的最小值是          . 输入整数 输出 开始 结束 否 是 参考答案： 17. 向量，满足，且，，则，夹角的等于______. 参考答案： 由得，即，所以，所以。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分13分) 已知函数． (1)    求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在上的最大值和最小值，并指出此时相应的x的值． 参考答案： 解：(1)      ∴  ··························· 4分 由，得 ∴ 单调递减区间为················································· 7分 (2) 由 (1) 知   ∵      ∴ ∴ 当 当    13分 略 19. （本大题12分）  设，其中为正实数 （Ⅰ）当时，求的极值点； （Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。 参考答案： 20. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： （Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和 平均分； (Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人， 求他们在同一分数段的概率. 参考答案： 解析：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：   直方图如右所示 （Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为 所以，抽样学生成绩的合格率是% 利用组中值估算抽样学生的平均分   ＝＝71 估计这次考试的平均分是71分 （Ⅲ）， ，”的人数是18,15,3。所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。        21. 已知函数 (1)若在x∈[1，+∞]上是增函数，求实数的取值范围； (2)若x=是的极值点，求在上的最小值和最大值． 参考答案： 解析：（1）在x∈[1，+∞]上是增函数                        在[1，+∞]恒成立                             当时等号成立                 由题可知             当时 ，                此时 由可得；          由可得，            所以函数的单调递增区间为， 函数的单调递增区间为              又 极小值为 函数的函数的最小值为 函数的函数的最大值为              当时 ，                         此时 由，在上为增函数，              略 22. （10分）已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为10，是一个与n无关的常数，数列{an}的前n项和为Sn． （1）求数列{an}的通项公式及数列的前n项和Tn； （2）若a1，a2，a4恰为等比数列{bn}的前三项，记数列cn=an（cosnπ+bn），求{cn}的前n项和为Kn． 参考答案： （1）（2）Kn=． （1）∵是一个与n无关的常数，∴a1=d． 又，∴a1=1， ∴an=n，， ∴， ∴Tn=…+=…+==． （2）∵b1=a1=1，b2=a2=2，是等比数列{bn}的前3项， ∴． ∴cn=n（﹣1）n+n×2n﹣1， 记， 则， Bn=1+2×21+3×22+…n×2n﹣1=（n﹣1）2n+1． Kn=．