浙江省温州市龙港第一中学2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析

浙江省温州市龙港第一中学2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知点M（x，y）满足，若ax+y的最大值为1，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 参考答案： A 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 则A（1，0），B（3，4），C（1，2） 若z=ax+y过A时取得最大值为1，则a=1， 此时，目标函数为z=x+y， 即y=﹣x+z， 平移直线y=﹣x+z，当直线经过B（3，4）时， 此时z最大为1，故不满足条件， 若z=ax+y过B时取得最大值为1，则3a+4=1，解得a=﹣1， 此时，目标函数为z=﹣x+y， 即y=x+z， 平移直线y=x+z，当直线经过C（1，2）时，截距最大，此时z最大为3，不满足条件， 若z=ax+y过C时取得最大值为1，则a+2=1，解得a=﹣1， 此时，目标函数为z=﹣x+y， 即y=x+z， 平移直线y=x+z，当直线经过C（1，2）时，截距最大，此时z最大为1，不满足条件， 故a=﹣1； 故选：A 【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键． 2. 已知函数f（x）=（e为自然对数的底数），函数g（x）满足g′（x）=f′（x）+2f（x），其中f′（x），g′（x）分别为函数f（x）和g（x）的导函数，若函数g（x）在[﹣1，1]上是单调函数，则实数a的取值范围为（　　） A．a≤1 B．﹣≤a≤1 C．a＞1 D．a≥﹣ 参考答案： B 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】求出f（x）的导数，从而求出g（x）的导数，构造?（x）=ax2+2ax+1，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的具体范围即可． 【解答】解：∵f（x）=， ∴， ∴， ∵g（x）在[﹣1，1]上是单调函数， 则当﹣1≤x≤1时，g'（x）≥0恒成立或g'（x）≤0恒成立， 又∵g'（0）=1＞0，所以当﹣1≤x≤1时，g'（x）≤0恒成立必定无解， ∴必有当﹣1≤x≤1时，g'（x）≥0恒成立， 设?（x）=ax2+2ax+1， 当a=0时，?（x）=1成立； 当a＞0时，由于?（x）在[﹣1，1]上是单调递增， 所以?（﹣1）≥0得a≤1； 当a＜0时，由于?（x）在在[﹣1，1]上是单调递减， 所以?（1）≥0得， 综上：． 故选：B 3. 椭圆，为上顶点，为左焦点，为右顶点，且右顶点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（  　　） A. B.    C. D. 参考答案： B 略 4. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（　　） A．2 B． C． D．3 参考答案： C 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．据此可求出原几何体的体积． 【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面． 则体积为=，解得x=． 故选：C． 5. 命题“若，则是直角三角形”的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题的个数是（    ） A．0                B．1                C．2                D．3 参考答案： B 6. 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是(　　) A、12.5　12.5　　　　　　   　　B、12.5　13 C、13　12.5  　　　　　　　 　　D、13　13 参考答案： B 略 7. 异面直线是指（　　） A．空间中两条不相交的直线 B．平面内的一条直线与平面外的一条直线 C．分别位于两个不同平面内的两条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线 参考答案： D 【考点】异面直线的判定． 【分析】依据异面直线的定义，逐一分析研究各个选项的正确性，可以通过举反例的方法进行排除． 【解答】解：A 不正确，因为空间中两条不相交的直线可能平行． B 不正确，因为平面内的一条直线与平面外的一条直线可能平行，也可能相交． C不正确，因为分别位于两个不同平面内的两条直线可能平行，也可能相交． D 正确，这就是异面直线的定义． 故选 D． 8. 函数的递增区间是（    ） A．         B．  C．       D． 参考答案： C 略 9. 德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定.现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（  ） A. 128 B. 64 C. 32 D. 6 参考答案： D 【分析】 根据变化规律，从结果开始逆推，依次确定每一项可能的取值，最终得到结果. 【详解】根据规律从结果逆推，若第项为，则第项一定是 则第项一定是；第项可能是或 若第项是，则第项是；若第项是，则第项是 若第项是，则第项是；若第项是，则第项是或 若第项是，则第项是或；若第项是，则第项是；若第项是，则第项是 若第项是，则第项是；若第项是，则第项是；若第项是，则第项是或；若第项是，则第项是或 取值集合为：，共个 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据数列的规律求解数列中的项，关键是能够明确规律的本质，采用逆推法来进行求解. 10. 已知函数，正实数、、满足，若实数是函数的一个零点，那么下列四个判断：①；②；③；④．其中可能成立的个数为 A．1            B．2                 C．3            D．4 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 曲线在处的切线的斜率            参考答案： 2 12. 若函数十世纪的图象与轴所围成的封闭图形的面积为a，则的展开式中各项系数和为______(用数字作答) 参考答案： 13. 在数列中，=____________. 参考答案： 31  略 14. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：20～7：20之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7:00～8:00之间，则你父亲在离开家前能得到报纸的概率是______. 参考答案： 15. 函数y=（tanx﹣1）cos2x的最大值是　　． 参考答案： 【考点】复合三角函数的单调性． 【专题】计算题；三角函数的图像与性质． 【分析】将y=（tanx﹣1）cos2x转化为y=sin（2x﹣）﹣，利用正弦函数的性质即可求得其最大值． 【解答】解：∵y=（tanx﹣1）cos2x =sinx cosx﹣cos2x =（sin2x﹣cos2x ）﹣ =sin（2x﹣）﹣，x≠kπ+． 当x=kπ+（k∈Z）时，ymax=． 故答案为：． 【点评】本题考查复合三角函数的单调性，考查三角函数间的关系式，考查辅助角公式的应用及正弦函数的性质，考查转化思想与运算能力，属于中档题． 16. 设函数f (x)＝x3·cosx＋1，若f (a)＝5，则f (－a)＝       ． 参考答案： －3 略 17. 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为　　． 参考答案： 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离． 【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0， 因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立， 所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即． 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1． （1）求曲线C的方程； （2）是否存在整数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有|FA|2+|FB|2＜|AB|2？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】直线与抛物线的位置关系． 【分析】（1）设P（x，y）（x＞0）是曲线C上任意一点，列出方程求解即可． （2）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=λy+m，联立利用韦达定理，结合向量的数量积推出m2﹣6m+1＜4λ2，对任意实数λ，4λ2的最小值为0，转化求解即可得到m的取值范围． 【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0）是曲线C上任意一点， 那么点P（x，y）满足：， 化简得y2=4x（x＞0）． （2）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）． 设l的方程为x=λy+m，由得y2﹣4λy﹣4m=0，△=16（λ2+m）＞0， 于是①，又，②， 又，于是不等式②等价于③， 由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4λ2④对任意实数λ，4λ2的最小值为0， 所以不等式④对于一切π成立等价于m2﹣6m+1＜0，即． 由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线， 都有|FA|2+|FB|2＜|AB|2，且m的取值范围为． 19. （本题满分12分）如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点, CA=CB=CD=BD=2, AB=AD=. （1）求证:平面BCD; （2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值; （3）求点E到平面ACD的距离. 参考答案： (Ⅰ).证明:连结OC .     同理. 在中,由已知可得      即      ∴平面  …………………………………4分 (Ⅱ)解:以O为原点,如图建立空间直角 坐标系,则 ,  ∴ 异面直线AB与CD所成角余弦的大小为   …………………………………8分   (Ⅲ)设E到平面ACD的距离为h,由E是BC的中点得B到平面ACD的距离为2h  又经计算得:       E到平面ACD的距离为                     …………………………………12分   20. (本小题满分14分)已知向量m＝(sin x，sin x)，n＝(sin x，－cos x)，设函数f(x)＝m·n，若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于坐标原点对称． (1)求函数g(x)在区间上的最大值，并求出此时x的值； (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若f(A)－g(A)＝，b＋c＝7，△ABC的面积为2，求边a的长． 参考答案： 故所求边a的长为5. 21. 求出函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2